【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章　第3讲　二次函数与幂函数学案 15页

第3讲　二次函数与幂函数 一、知识梳理 ‎1．幂函数 ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.‎ ‎(2)性质 ‎①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；‎ ‎②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎2．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx ‎＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx ‎＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在上是减少的；‎ 在上是增加的 在上是增加的；‎ 在上是减少的 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 常用结论 ‎1．巧识幂函数的图象和性质 ‎2．记牢一元二次不等式恒成立的条件 ‎(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 二、教材衍化 ‎1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．1‎ C. D．2‎ 解析：选C.因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.故选C.‎ ‎2．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值为 ．‎ 解析：函数y＝2x2－6x＋3＝2－的图像的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上是减少的，所以ymin＝2－6＋3＝－1.‎ 答案：－1‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)‎ ‎(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)‎ ‎(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)‎ ‎(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)幂函数定义不清晰，导致出错；‎ ‎(2)二次函数的性质理解不到位出错；‎ ‎(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错．‎ ‎1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为 ；在区间 上递减．‎ 解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x－，‎ 由性质可知函数y＝x－在(0，＋∞)上递减．‎ 答案：y＝x－　(0，＋∞)‎ ‎2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为 ．‎ 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.‎ 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 ．‎ 解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.‎ 答案： ‎　　　　　　幂函数的图象及性质(典例迁移)‎ ‎ (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)‎ ‎(2)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为 ．‎ ‎【解析】　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，‎ 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，‎ 所以2＝4α，解得α＝，‎ 所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，‎ 当0b>c，故选C.‎ ‎3．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是 ．‎ 解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，‎ 所以解得－1≤a<.‎ 答案： ‎　　　　　　求二次函数的解析式(师生共研)‎ ‎ (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．‎ ‎【解】　法一(利用一般式)：‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得 解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ 法二(利用顶点式)：‎ 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.‎ 法三(利用零点式)：‎ 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，‎ 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，‎ 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.‎ 又函数有最大值8，即＝8.‎ 解得a＝－4或a＝0(舍去)，‎ 所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：‎ ‎1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　)‎ A．－2 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1　①‎ ‎.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6　②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A.‎ ‎2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝ ．‎ 解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.‎ 又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.‎ 答案：x2＋2x ‎　　　　　　二次函数的图象与性质(多维探究)‎ 角度一　二次函数图象的识别问题 ‎ 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.‎ ‎②当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，‎ 综上，f(x)max＝ 二次函数的单调性及最值问题 ‎(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．‎ ‎(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．‎ 角度三　一元二次不等式恒成立问题 ‎ (1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是 ．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为 ．‎ ‎【解析】　(1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，‎ 则有 即解得－k在区间[－3，－1]上恒成立．‎ 设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上是减少的．‎ 所以g(x)min＝g(－1)＝1.‎ 所以k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．‎ ‎【答案】　(1)　(2)(－∞，1)‎ 不等式恒成立求参数取值范围的思路 一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．‎ ‎1．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是(　　)‎ A．a＝0 B．a<0‎ C．0f(2)>f(0)．故选A.‎ ‎3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为 ．‎ 解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，‎ 因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，‎ 所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，‎ 当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，‎ 当a<10时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；‎ ‎(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.‎ 综上可知，a的值为或－3.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．cf(b)，则(　　)‎ A．a2>b2 B．a2b 解析：选A.函数f(x)＝x＝(x2)，令t＝x2，易知y＝t，在第一象限为增函数．‎ 又f(a)>f(b)，所以a2>b2.故选A.‎ ‎3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)(　　)‎ A．在(－∞，2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的 B．在(－∞，3)上是增加的 C．在[1，3]上是增加的 D．单调性不能确定 解析：选A.由已知可得该函数图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．‎ ‎4．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．ab＝，因为y＝是减函数，所以a＝2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.‎ 又f(x＋1)－f(x)＝2x，‎ 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，‎ 即2ax＋a＋b＝2x，‎ 所以所以 因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．‎ 设g(x)＝x2－3x＋1－m，‎ 则g(x)在区间[－1，1]上是减少的，‎ 所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，‎ 由－m－1>0，得m<－1.‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·陕西西安一模)已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1f(x2)‎ C．f(x1)1)．‎ ‎(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；‎ ‎(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，‎ 所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上是减少的，‎ 即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.‎ ‎(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.‎ 所以f(x)在[1，a]上是减少的，在[a，a＋1]上是增加的，‎ 又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，‎ 又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，‎ 所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.‎ 因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，‎ 所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.‎