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- 2021-06-24 发布
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课时达标 讲座(六)
[解密考纲]概率与统计是高考中相对独立的一块内容,处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体,注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、数据分析能力.概率问题的核心是概率计算,其中事件的互斥、对立、独立和随机变量的分布是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法,重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容相互渗透,背景新颖.
1.(2018·海南模拟)已知某班n名同学的数学测试成绩(单位:分,满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中a,b,c成等差数列,且成绩在[90,100]内的有6人.
(1)求n的值;
(2)若成绩在[40,50)内的人数是成绩在[50,60)内的人数的,规定60分以下为不及格,从不及格的人中任意选取3人,求成绩在50分以下的人数X的分布列和数学期望.
解析 (1)依题意得
⇒b=0.01,
因为成绩在[90,100]内的有6人,所以n==60.
(2)由⇒
于是成绩在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3和9,即不及格的人数为12,从中任选3人,则成绩在50分以下的人数X的所有可能取值为0,1,2,3,
且P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列如下
X
0
1
2
3
P
故X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=.
2.(2018·广东五校联考)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,
某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市,并停留3天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数,求ξ的分布列与数学期望.
解析 设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i=1,2,…,12).
依题意知,P(Ai)=,且Ai∩Aj=∅(i≠j).
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12,
所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)=,
即此人到达当日空气重度污染的概率为.
(2)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=P(A4∪A8∪A9)=P(A4)+P(A8)+P(A9)==,
P(ξ=2)=P(A2∪A11)=P(A2)+P(A11)==,
P(ξ=3)=P(A1∪A12)=P(A1)+P(A12)==,
P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)
=1---=,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
故ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
3.(2018·河南焦作模拟)某单位共10名员工,他们某年的收入如下表.
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年薪/万元
3
3.5
4
5
5.5
6.5
7
7.5
8
50
(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;
(2)从该单位中任取2人,此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ,求ξ的分布列和期望;
(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系,若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元,4.2万元,5.6万元,7.2万元,预测该员工第五年的年薪为多少?
附:线性回归方程=x+中系数计算公式
=,=-,其中,表示样本均值.
解析 (1)平均值为10万元,中位数为6万元.
(2)年薪高于5万的有6人,低于或等于5万的有4人,ξ取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
数学期望为E(ξ)=0×+1×+2×=.
(3)设xi,yi(i=1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪,
则=2.5,=5,(xi-)2=2.25+0.25+0.25+2.25=5,
(xi-)(yi-)=-1.5×(-2)+(-0.5)×(-0.8)+0.5×0.6+1.5×2.2=7,
===1.4,
=-=5-1.4×2.5=1.5,
因此线性回归方程为y=1.4x+1.5,
可预测该员工第5年的年薪收入为8.5万元.
4.(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××=,
P(X=3)=××=.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
=×+×=.
所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为.
5.(2018·河南洛阳统考)某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况,将所教两个班级的数学成绩(单位:分)绘制成如图所示的茎叶图.
(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数;
(2)若规定成绩大于或等于115分为优秀,分别求出两个班级数学成绩的优秀率;
(3)在(2)的条件下,若用甲班学生数学成绩的频率估计概率,从该校高三年级中随机抽取3人,记这3人中数学成绩优秀的人数为X,求X的分布列和数学期望.
解析 (1)由所给的茎叶图知,甲班50名同学的成绩由小到大排序,排在第25,26位的是108,109,数量最多的是103,故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是103;
乙班48名同学的成绩由小到大排序,排在第24,25位的是106,
107,数量最多的是92和101,故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为92或101.
(2)由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为=;乙班中数学成绩为优秀的人数为18,优秀率为=.
(3)用甲班学生数学成绩的频率估计概率,则高三学生数学成绩的优秀率P=,则X的所有可能取值为0,1,2,3,
且X~B,
P(X=0)=C3=;
P(X=1)=C××2=;
P(X=2)=C×2×=;
P(X=3)=C×3=;
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=或E(X)=3×=.
6.(2018·河北保定模拟)某市拟实行机动车尾号限行交替措施,为了解民众对“车辆限行”的态度,随机调查了50人,并将调查结果制成下表.
年龄/岁
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行跟踪调查,选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X,求X的分布列和期望;
(2)把年龄在[15,45)称为中青年,年龄在[45,75)称为中老年,请根据上表完成2×2列联表,并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联.
态度
年龄
赞成
不赞成
总计
中青年
中老年
总计
参考公式和数据χ2=
χ2
≤2.706
>2.706
>3.841
>6.635
A,B关联性
无关联
90%
95%
99%
解析 (1)X的取值为0,1,2,3,则
P(X=0)=·==,
P(X=1)=·+·==,
P(X=2)=·+·==,
P(X=3)=·==,
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2.
(2)2×2列联表如图所示.
态度
年龄
赞成
不赞成
总计
中青年
19
11
30
中老年
13
7
20
总计
32
18
50
χ2=≤2.706,
说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联.