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- 2021-06-24 发布
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第三讲 分类讨论思想
思想方法诠释
分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论
[解析] (1)f(1)＝e1－1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，则需f(a)＝1.
当a≥0时，由f(a)＝ea－1＝1得a－1＝0，即a＝1；
当－13时，
由≥tan，得≥tan60°，
解得m≥9.
综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
(2)函数f(x)＝－2＋的图象的对称轴为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2三种情形讨论．
①当a<－2时，由图(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)，由－(a＋1)＝4，得a＝
－5，满足题意．
②当－2≤a≤2时，由图(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝，由＝4，得a＝±4(舍去)．
③当a>2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1，由a－1＝4，得a＝5，满足题意．
综上可知，a＝5或－5.
[答案] (1)A (2)5或－5
几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论
(1)二次函数对称轴的变化；
(2)函数问题中区间的变化；
(3)函数图象形状的变化；
(4)直线由斜率引起的位置变化；
(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；
(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．
[对点训练]
3．(2017·江南十校联考)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝( )
A．－ B. C．0 D．－或0
[解析] 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．
结合图形可知斜率k的值为0或－，故选D.
[答案] D
4．(2017·宁波统考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，则a的值为________．
[解析] 由三角形面积公式，得×3×1·sinA＝.
故sinA＝.
因为sin2A＋cos2A＝1，
所以cosA＝±＝± ＝±.
①当cosA＝时，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×＝8.
所以a＝2.
②当cosA＝－时，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2.
综上a＝2或2.
[答案] 2或2
要点三 由参数变化引起的分类讨论
[解] (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
(ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．
(ⅱ)若a>0，则由f′(x)＝0得x＝－lna.
当x∈(－∞，－lna)时， f′(x)<0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．
(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．
(ⅱ)若a>0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－＋lna.
①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；
②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋lna>0，即f(－lna)>0，故f(x)没有零点；
③当a∈(0,1)时，1－＋lna<0，即f(－lna)<0.
又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点．
设正整数n0满足n0>ln，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0>en0－n0>2n0－n0>0.
由于ln>－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)有一个零点．
综上，a的取值范围为(0,1)．
由参数变化引起分类讨论的关注点
若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，本例(1)中f ′(x)＝0会得出aex＝1，因ex>0，故应分a≤0，a>0讨论．(2)中当a>0时，函数f(x)的零点与f(x)的最小值相关，故讨论的依据是f(x)的最小值的正负情况．此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．
[对点训练]
5．(2017·广东江门一模)设函数f(x)＝ex－ax，a是常数．
(1)若a＝1，且曲线y＝f(x)的切线l经过坐标原点(0,0)，求该切线的方程；
(2)讨论f(x)的零点的个数．
[解] (1)a＝1时， f(x)＝ex－x，
f′(x)＝ex－1
设切点坐标是(m，em－m)，
则k＝f′(m)＝em－1，
故切线方程是：y－(em－m)＝(em－1)(x－m)．
由0－(em－m)＝(em－1)(0－m)，
得m＝1，
所求切线为：y＝(e－1)x.
(2)f′(x)＝ex－a，①当a>0时，由f′(x)＝0得x＝lna.
若xlna，则f′(x)>0.
函数f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(lna)＝a(1－lna)．
(ⅰ)00，f(x)无零点．
(ⅱ)a＝e时，f(lna)＝a(1－lna)＝0，
f(x)只有一个零点．
(ⅲ)a>e时，f(lna)＝a(1－lna)<0，根据f(0)＝1>0与函数的单调性，
f(x)在区间(－∞，lna)和(lna，＋∞)各有一个零点，f(x)共有两个零点．
②a＝0时，f(x)＝ex，f(x)无零点．
③a<0时，由f(x)＝0得，ex＝ax，
因为曲线y＝ex与y＝ax只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．
综上所述，0≤ae时，f(x)有两个零点．
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1．分类讨论的原则
(1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的思维流程
明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．
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