2020-2021年盐城高三期中数学试卷（解析版） 8页

盐城市 2021 届高三年级第一学期期中考试 数学试题 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.命题“ ∀ x ∈ (0,1),x2 − x < 0”的否定是( ) A. ∃ x ∉ (0,1),x2 - x ≥ 0 B. ∃ x ∈ (0,1),x2 - x ≥ 0 C. ∀ x ∉ (0,1),x2 - x < 0 D. ∀ x ∈ (0,1),x2 - x ≥ 0 【答案】B. 2.已知集合 A = {x|y = ln(x - 1)}，集合 B =    y|y =  1 2 x ,x > -2 ，则 A ∩ B = ( ) A. ∅ B. [1,4) C. (1,4) D. (4, + ∞) 【答案】C. A =  1, + ∞ , B =  0,4 A ∩ B = (1,4) 3.已知向量 a,b 满足 |a| = |b|，且 a,b 的夹角为 π 3 ，则 b 与 a - b 的夹角为( ) A. π 3 B. π 2 C. 3π 4 D. 2π 3 【答案】D. 4. 在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙"问题:今有垣厚若千尺，两鼠对穿,大鼠日一 尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍,小鼠日自半,大意是有两只老鼠从墙的两选分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,若垣厚 33 尺, 则两鼠几日可相逢( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B. an = 2n - 1,Sn = 2n - 1 bn =  1 2 n - 1 ,Tn = 2 -  1 2 n - 1 Pn = Sn + Tn = 2n -  1 2 n - 1 + 1P5 = 33 - 1 16 < 33,P6 = 65 - 1 32 > 33 5.函数 f(x) = x x - sinx (x ∈ [ -π,π]) 的图像大致是( ) ·1· A B C D 【答案】B. f( -x) = -x -x - sin(-x) = x x - sinx = f(x) x x - sinx = 1 + sinx x - sinx x → +∞,1 + sinx x - sinx → 1 6.要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性 14C，动植物 死亡后，停止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变.经科学测定，14C 的半衰期 为 5730 年(设 14C 的原始量为 1，经过 x 年后，14C 的含量 f(x) = ax 即 f(5730) = 1 2 )，现有一古 物，测得其 14C 的原始量的 79.37%，则该古物距今约多少年？( )(参考数据： 3 1 2 ≈ 0.7937, 5730 1 2 ≈ 0.9998) A.1910 B.3581 C.9168 D.17190 【答案】A. a5730 = 1 2 , a5730 1 3 = 0.7937 ax = 0.7937 ⇒ x = 1910 7.已知数列 {an} 满足 a1 = 1,a2 = 4,a3 = 10，且 {an + 1 - an} 是等比数列，则  8 i = 1 ai ( ) A.376 B.382 C.749 D.766 【答案】C. a3 - a2 = 2(a2 - a1), an + 1 - an = 3 ⋅ 2n - 1 an = 3 ⋅ 2n - 1 - 2 Sn = 3 ⋅ 2n - 3 - 2n,S8 = 749 ·2· 8.设 x,y ∈ (0,π)，若 sin(sinx) = cos(cosy)，则 cos(sinx) 与 sin(cosy) 的大小关系为( ) A.= B.> C.< D.以上均不对 【答案】D. 由题意知 0 < sinx ≤ 1, - 1 < cosy < 1，1rad ≈ 57∘, 因为 sin α + π 2 = cosα,sin π 2 - α = cosα，所以 sinx - π 2 = cosy 或 sinx + cosy = π 2 ,cos(sinx) = cos(cosy + π 2 ) = -sin(cosy) 或 cos(sinx) = cos(π 2 - cosy) = sin(cosy) 特值法： 令 sinx = cosy = π 4 ，则 cos(sinx) = sin(cosy) 令 cosy = -1 2 ,sinx = π - 1 2 ，cos(sinx) = cosπ - 1 2 = sin1 2 > sin(cosy) = sin( -1 2 ) 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求， 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.设函数 f(x) = 5|x|,g(x) = ax2 - x(a ∈ R)，若 f[g(1)] = 5，则 a = ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【答案】BD. f[g(1)] = 5|a - 1| = 5 ⇒ a - 1 = ± 1 ⇒ a = 2,0 10.函数 f(x) = 1 2 ax2 - (a + 2)x + 2lnx 单调递增的必要不充分条件有( ) A. a ≥ 2 B. a = 2 C. a ≥ 1 D. a > 2 【答案】AC. f'(x) = ax - (a + 2) + 2 x = (ax - 2) (x - 1) x ⇒ a = 2 11.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a2 = b2 + bc，则角 A 可为( ) A. 3π 4 B. π 4 C. 7π 12 D. 2π 3 【答案】BC. a2 = b2 + bc = b2 + c2 - 2bccosA ⇒ cosA = c 2b - 1 2 > -1 2 ⇒ A < 2π 3 12.设数列 {xn}，若存在常数 a，对任意正数 r，总存在正整数 N，当 n ≥ N，有 |xn - a| < r，则 ·3· 数列 {xn} 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有( ) A.等差数列不可能是收敛数列 B.若等比数列 {xn} 是收敛数列，则公比 q ∈ ( -1,1] C.若数列 {xn} 满足 xn = sin(π 2 n)cos(π 2 n)，则 {xn} 是收敛数列 D.设公差不为 0 的等差数列 {xn} 的前项和为 Sn(Sn ≠ 0)，则数列 1 Sn 一定是收敛数列 【答案】BCD. 对于 A，令 xn = 1,则存在 a = 1,使 |xn - a| = 0 < r，故 A 错; 对于 B，|xn| = |x1| ⋅ |q|n - 1，若 |q| > 1，则对任意正数 r，当 n > log|q|(r + 1 |x1| ) + 1 时，|xn| > r + 1，所以此时不存在正整数 N 使得定义式成立; 若 q = 1，显然符合，若 q = -1 为摆动数列 xn = ( -1)n - 1x1，只有 ± x1 两个值，不会收敛于一个 值，所以舍去；q ∈ ( -1,1) 时，取 a = 0，N =       log|q|r |x1| + 1 + 1，当 n > N 时，|xn - 0| = |x1||q|n - 1 < |x1|r |x1| = r, 故 B 正确 对于 C，xn = sin(π 2 n)cos(π 2 n) = 1 2 sin(πn) = 0，符合 对于 D，xn = x1 + (n - 1)d，Sn = d 2 n2 + (x1 - d 2 )n，当 d > 0 时，Sn 单调递增并且可以取到比 1 r 更大的正数，当 n >  d 2 - x1 +   x1 - d 2 2 + 2d r d = N 时， 1 Sn - 0 = 1 Sn < r，d < 0 同 理，所以 D 正确. 【取点二】当 Sn > 0 时，取 Sn = d 2 n2 +  a1 - d 2 n = n d 2 n + a1 - d 2 ≥ d 2 n + a1 - d 2 ，为使得 Sn > 1 r ，所以只需要 d 2 n + a1 - d 2 > 1 r ⇒ n >  1 r - a1 + d 2 d 2 = 2 - 2ra1 + dr dr = N 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在题中横线上. 13.若 sin α - π 4 = 2 3 ，则 sin2α = _______. 【解析】sin2α = sin     2 α - π 4 + π 2 = cos     2 α - π 4 = 1 - 2sin2 α - π 4 = 1 9 . 14.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，AD 为边 BC 上的中线，若 b = 4c = 4 且  AB ·4· ⋅  AD =  AB2，则 cosA = _______；中线 AD 的长为_______. 【解析】  AD = 1 2    AB +  AC ， 则  AB ⋅  AD =  AB2 ⇒ 1 2  AB ⋅    AB +  AC =  AB2 ⇒  AB ⋅  AC =  AB2 ⇒ B = π 2 ，  AB ⋅  AD =  AB2，由投影可易知 DB ⊥ AB，即 B = π 2 . b = 4,c = 1，则 a =   15，cosA = 1 4 ，AD =  c2 +  a 2 2 =   19 2 . 15.若  an 是单调递增的等差数列，且 aan = 4an，则数列  an 的前 10 项和为________. 【解 析 】设 a n = kn + b  k > 0 ，a an = 4 a n ⇒ k  kn + b + b = 4 kn + b ，则  k2 = 4k kb + b = 4b ⇒  k = 4 b = 0 ，则 an = 4n，则 S10 =  4 + 40 × 10 2 = 220. 16.若函数 f x = 1 2 x2 + blnx + ax 在  1,2 上存在两个极值点，则 b 3a + b + 9 的取值范围 是________. 【解析】f  x = x + b x + a = x2 + ax + b x ，则 g x = x2 + ax + b 在  1,2 上有两个不同的零 点 x 1 , x 2 ，则  x1 + x2 = -a x1x2 = b ，则 b 2 + 3 ab + 9 b =  x1x2 2 - 3 x 1 x 2 x1 + x2 + 9 x 1 x 2 =  x2 1 - 3x1  x2 2 - 3x2 ，x1 ∈  1,2 ，x2 1 - 3x1 ∈   -9 4 , - 2 ，同理 x2 2 - 3x2 ∈   -9 4 , - 2 ，由于 x1 ≠ x2， x2 1 - 3x1  x2 2 - 3x2 ∈  4,81 16 . 17.设函数 f x = cos2x + msinx,x ∈  0,π . (1)若函数 f x 在 x = π 2 处的切线方程为 y = 1，求 m 的值； (2)若 ∀ x ∈  0,π ，f x > 0 恒成立，求 m 的取值范围. 解：(1) 由题意知：f(π 2 ) = -1 + m = 1，得：m = 2； (2) ∀ x ∈ (0,π)，f(x) = -2sin2x + msinx + 1 > 0 ⇒ m > 2sinx - 1 sinx 令 g(x) = 2sinx - 1 sinx ，x ∈ (0,π)，则 m > g(x)max g'(x) = 2cosx + cosx sin2x = (1 sin2x + 2)cosx ·5· x ∈ (0,π 2 ) 时，g'(x) > 0，g(x) 递增；x ∈ (π 2 ,π) 时，g'(x) < 0，g(x) 递减 故 g(x)max = g(π 2 ) = 1，因此 m > 1． 18. 设 f(x) = sin(ωx + φ)，其中 ω 为正整数， φ < π 2 .当 φ = 0 时，函数 f(x) 在      − π 5 ,π 5 单 调递增且在      − π 3 ,π 3 不单调. (1)求正整数 ω 的值; (2)在①函数 f(x) 向右平移 π 12 个单位得到奇函数；②函数 f(x) 在      0,π 3 上的最小值为 − 1 2 ；③函数 f(x) 的一条对称轴为 x = − π 12 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并 完成解答.已知函数 f(x) 满足 ,在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 a < b, f(A) = f(B).试问:这样的锐角 △ABC 是否存在，若存在，求角 C；若不存在，请说明 理由. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：(1)φ = 0 时，f(x) = sinwx，w ∈ N * 由题意知：π 2w ∈ [π 5 ,π 3 ) ⇒ 3 2 < w ≤ 5 2 又 w ∈ N *，故 w = 2； (2) 选③；f(x) = sin(2x + φ) 关于 x = -π 12 对称 则 -π 6 + φ = π 2 + kπ ⇒ φ = 2π 3 + kπ，k ∈ Z 又  φ < π 2 ，故 φ = -π 3 ，f(x) = sin(2x - π 3 ) f(A) = f(B)，即 sin(2A - π 3 ) = sin(2B - π 3 ) 2A - π 3 = 2B - π 3 + 2kπ 或 2A - π 3 + 2B - π 3 = π + 2kπ，k ∈ Z 即：A = B + kπ 或 A + B = 5π 6 + kπ，k ∈ Z 又 A，B 为 △ABC 内角，且 a < b，故 A + B = 5π 6 因此，这样的 △ABC 存在，且 C = π 6 ． 19.设函数 f(x) = (a − x)ex. ·6· （1）求函数的单调区间; （2）若对于任意的 x ∈  0, + ∞ ，不等式 f(x) ≤ x + 2 恒成立，求 a 的取值范围. 解：(1)f'(x) = (a - 1 - x)ex x < a - 1 时，f'(x) > 0；x > a - 1 时，f'(x) < 0 故 f(x) 递增区间为 (-∞,a - 1)，递减区间为 (a - 1, + ∞)； (2) ∀ x ≥ 0，不等式 (a - x)ex ≤ x + 2 恒成立 即 ∀ x ≥ 0，a ≤ x + x + 2 ex ，令 g(x) = x + x + 2 ex ，x ≥ 0，则 a ≤ g(x)min g'(x) = ex - x - 1 ex ，令 h(x) = ex - x - 1，x ≥ 0，h'(x) = ex - 1 ≥ 0 故 h(x) 在 [0, + ∞) 递增，则 h(x) ≥ h(0) = 0，即 g'(x) ≥ 0 因此 g(x) 在 [0, + ∞) 递增，所以，g(x)min = g(0) = 2 所以，a ≤ 2． 20.在 △ABC 中，D 为边 BC 上一点，DC = 2, ∠BAD = π 6 . （1）若  AD = 2 5  AB + 3 5  AC,且角 B = π 6 ,求 AC 的长. （2）若 BD =   3,且角 C = π 3 ,求角 B 的大小. 解：(1) 因为  AD = 2 5  AB + 3 5  AC，则  CD =  AD -  AC = 2 5 (  AB -  AC) = 2 5  CB 又 CD = 2，则 CB = 5，BD = 3，又 ∠BAD = ∠B = π 6 ，故 AD = BD = 3，且 ∠ADC = π 3 在 △ACD 中，由余弦定理：AC2 = AD2 + CD2 - 2AD ⋅ CDcos∠ADC = 7，故 AC =   7； (2) 设 ∠B = θ ∈ (0,π 2 )，则 ∠ADC = θ + π 6 ，∠CAD = π 2 - θ 在 △ABD 中，由正弦定理：AD sinθ = BD sin∠BAD = 2  3 在 △ACD 中，由正弦定理：AD sinC = CD sin∠CAD ，即 2AD   3 = 2 sin(π 2 - θ) = 2 cosθ 由上述两式得：  3 2sinθ =   3cosθ ⇒ sin2θ = 1 又 2θ ∈ (0,π)，故 2θ = π 2 ，即 θ = π 4 ，即 B = π 4 ． 21.设等差数列  an 的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = 2a3, S4 = 2a4 + 4 （1）求数列  an 的通项公式； ·7· （2）令 bn = an + 2 2nSn ，设数列  bn 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn < 2. 解：(1) 设 {an} 的公差为 d，由题意知： 3a1 + 3d = 2a1 + 4d 4a1 + 6d = 2a1 + 6d + 4 ⇒  a1 = 2 d = 2 故 an = a1 + (n - 1)d = 2n； (2) 由 (1) 知：Sn = n(a1 + an) 2 = n2 + n，则 bn = 2(n + 2) n(n + 1) ⋅ 2n = 1 n ⋅ 2n - 2 - 1 (n + 1) ⋅ 2n - 1 故 Tn = 1 1 ⋅ 2-1 - 1 2 ⋅ 20 + 1 2 ⋅ 20 - 1 3 ⋅ 21 + ⋯ +1 n ⋅ 2n - 2 - 1 (n + 1) ⋅ 2n - 1 = 2 - 1 (n + 1) ⋅ 2n - 1 < 2． 22.设函数 f(x) = ex − asinx − 1. 当 x ∈  − π 2 ,π 2 时，f'(x) > 0,求实数 a 的取值范围； 求证：存在正实数 a，使得 xf(x) ≥ 0 总成立. 解：(1) ∀ x ∈ (-π 2 ,π 2 )，f'(x) = ex - acosx > 0 即 ∀ x ∈ (-π 2 ,π 2 )，a < ex cosx ，令 g(x) = ex cosx ，x ∈ (-π 2 ,π 2 )，则 g(x)min > a g'(x) = ex(cosx + sinx) cos2x x ∈ (-π 2 , - π 4 ) 时，g'(x) < 0，x ∈ (-π 4 ,π 2 ) 时，g'(x) > 0 故 g(x) 在 (-π 2 , - π 4 ) 递减，(-π 4 ,π 2 ) 递增 因此，g(x)min = g(-π 4 ) =   2e-π 4 > a 所以，a ∈ (-∞,  2e-π 4 )； (2) 取 a = 1 2 <   2e-π 4 ，则 f(x) = ex - 1 2 sinx - 1 令 h(x) = x - sinx，h'(x) = 1 - cosx ≥ 0，则 h(x) 在 R 上递增 又 h(0) = 0，故 x < 0 时，h(x) < 0，即 x < sinx；x > 0 时，h(x) > 0，即 x > sinx ① x > 0 时，f(x) > ex - 1 2 x - 1，令 F(x) = ex - 1 2 x - 1，x ≥ 0，F'(x) = ex - 1 2 > 0 故 F(x) 在 [0, + ∞) 递增，因此 F(x) ≥ F(0) = 0 所以，x > 0 时，f(x) > 0，即 xf(x) > 0； ② x < -π 2 时，f(x) < e-π 2 + 1 2 - 1 < 0，即 xf(x) > 0； ③ x ∈ [-π 2 ,0] 时，由 (1) 知：f'(x) > 0，则 f(x) 在 [-π 2 ,0] 递增 因此 f(x) ≤ f(0) = 0，即 xf(x) ≥ 0； 因此，a = 1 2 时，xf(x) ≥ 0 总成立，即题意得证． ·8·