【数学】2019届一轮复习北师大版排列、组合与二项式定理学案 12页

‎ 排列、组合与二项式定理 知识精讲·‎ ‎·‎ 一．排列与组合 ‎1．排列 排列数公式：，，并且．‎ ‎2．组合 组合数公式：，，并且．‎ 组合数的两个性质：‎ ‎ ①；‎ ‎ ②．（规定）‎ 二．排列组合常用方法 ‎1．特殊元素、特殊位置优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．‎ ‎3．排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．‎ ‎4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．‎ ‎5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．‎ ‎6．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以 ‎！．‎ ‎7．错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．‎ 三．二项式定理 ‎．‎ 这个公式所表示的定理叫作二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项式展开式，其中系数叫作二项式系数．‎ ‎1．二项式展开式的通项：‎ 二项式展开式的通项：第项，‎ ‎2．二项式系数的性质： ‎ ‎ （1）对称性：．‎ ‎ （2）增减性与最大值：‎ ‎①二项式系数，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；‎ ‎②当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项取得最大值．‎ ‎ （3）各二项式系数和：．‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 排列与组合 排列、组合的概念 理解 排列数公式，组合数公式 掌握 用排列与组合解决一些简单的实际问题 掌握 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 理解 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：加法原理 例1.1.1 如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ）‎ A． 24个 B． 21个 C． 19个 D． 18个 ‎【答案】B ‎【解析】 依题意，‎ 记从2000年到2999年中的“七巧年”中的百、十、个位上的数字依次为，，，‎ ‎，的自然数解共有21组，因此从2000年到2999年中”七巧年“共有21个，故选B．‎ 例1.1.2 设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A，B是I的子集，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A，B有____组．‎ ‎【答案】 29‎ ‎【解析】 ‎ 当集合A={1，2，3}时，集合B若两个元素有6种，如3个元素有4种，若4个元素有1种，‎ 当集合A={1，2，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种 当集合A={1，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种 当集合A={2，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种 当集合A={1，2，5}时，集合B若两个元素有1种，‎ 当集合A={1，3，5}时，集合B若两个元素有1种，‎ 当集合A={1，4，5}时，集合B若两个元素有1种，‎ 当集合A={2，3，5}时，集合B若两个元素有1种，‎ 当集合A={2，4，5}时，集合B若两个元素有1种，‎ 当集合A={3，4，5}时，集合B若两个元素有1种，合计29组，‎ 故答案为 29．‎ 题模二：乘法原理 例1.2.1 某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）‎ A． 8种 B． 种 C． 种 D． 种 ‎【答案】C ‎【解析】 ∵每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，‎ ‎∴要发5个电子邮件，发送的方法的种数有3×3×3×3×3=35种．‎ 例1.2.2 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（　　）‎ A． 72‎ B． 54‎ C． 48‎ D． 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】 用分步原理：‎ 第一步：把每一对师徒看成一整体，共有3×2=6种方法；‎ 第二步：每对师徒都有两种站法共有2×2×2=8种；‎ ‎∴总的方法为6×8=48种．‎ 题模三：加法原理和乘法原理综合 例1.3.1 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”‎ 的个数是（　　）‎ A． 60‎ B． 48‎ C． 36‎ D． 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个，‎ 一共有6个面，共有6×6=36种结果，‎ 长方体的对角面组成两组，共有6个对角面，共有12种结果，‎ 根据分类计数原理知共有36+12=48种结果，‎ 故选B．‎ 例1.3.2 用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若 要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ‎________．（用数字作答）‎ ‎【答案】 14‎ ‎【解析】 有0个红色时，有 种，有2个红色时，有 种．‎ 题模四：运算公式 例1.4.1 若，则的值为 ．‎ ‎【答案】 8或6‎ ‎【解析】 由组合的性质可知，另外，，所以．故8或6．‎ 例1.4.2 ‎ A． 6‎ B． 12‎ C． 18‎ D． 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ．‎ 题模五：二项式定理 例1.5.1 在的展开式中，的系数为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． 6‎ D． 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】 （x+2）4的展开式的通项公式为Tr+1=C4r•24-r•xr，‎ 令r=2，故展开式中x2的系数为C42•22=24．‎ 例1.5.2 的展开式中，的系数为．‎ ‎【答案】 30‎ ‎【解析】 解法一：（x2+x+y）5可看作5个（x2+x+y）相乘，‎ 从中选2个y，有种选法；‎ 再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有种选法；‎ ‎∴x5y2的系数为•=30；‎ 解法二：∵（x2+x+y）5=[（x2+x）+y 5，‎ 其展开式的通项公式为 Tr+1=•（x2+x）5－r•yr，‎ 令r=2，得（x2+x）3的通项公式为 ‎•（x2）3－m•xm=•x6－m，‎ 再令6－m=5，得m=1，‎ ‎∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为 ‎•=30．‎ 题模六：二项式定理的应用 例1.6.1 设，则．‎ ‎【答案】 27‎ ‎【解析】 令x=1，a0+a1+a2+a3=33=27．‎ 例1.6.2 已知，则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ∵（x+1）15==a0+a1x+a2x2+…+a15x15，‎ 令x=1，则=215，‎ 又，，…，‎ ‎∴=214．‎ ‎∴a0+a1+a2+…+a7=214．‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（　　）‎ A． 6‎ B． 8‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，末尾是0，2，4‎ 末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个 随练1.2 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是_____．（用数字作答）‎ ‎【解析】 由题意知本题是一个分步计数问题，‎ ‎4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，‎ 共有C42A33=36种结果．‎ 随练1.3 暑假期间有6名男生和4名女生到某社区参加社会实践活动，现在要选出5名同学参加清理社区小广告的活动：‎ ‎（1）选出5人中，恰好有3名女生的选法数有多少种？‎ ‎（2）选出5人中，女生至多有二人被选中的选法有多少种？‎ ‎【答案】 （1）60（2）186‎ ‎【解析】 （1）选出5人中，恰好有3名女生表示有3女2男，‎ 共有种结果．‎ ‎（2）选出5人中，女生至多有二人被选中包括三种情况，‎ 即有1个女生，有0个女生，有2个女生，‎ 共有种；‎ 女生至多有二人被选中的选法有186种．‎ 随练1.4 根据计数原理，排列数有如下性质：，据此类比，组合数具有的相应性质是：_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 随练1.5 在的展开式中，常数项为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】 在的展开式中，由通项公式Tr+1=•2r•x6-2r，‎ 令6-2r=0，求得r=3，可得展开式的常数项为•23=160．‎ 随练1.6 若，且，则的值为．‎ ‎【答案】 30‎ ‎【解析】 在（1-mx）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，中，令x=0，可得a0=1，‎ ‎∵令x=1，可得a0+a1+a2 +…+a5=（1-m）5．‎ ‎∵a5=•m5=-32，∴m=2，则1+a1+a2+a3+a4-32=（1-m）5=(-1)5=-1，‎ ‎∴a1+a2+a3+a4 =32-2=30．‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有（ ）‎ A． 4种 B． 5种 C． 6种 D． 9种 ‎【答案】B ‎【解析】 利用列举法求解．硬币朝上的情况有：都是正面；反面、正面、正面、正面；反面、反面、正面、正面；反面、反面、反面、正面；都是反面，共5种，故选B．‎ 作业2 数字可以组成（ ）个无重复数字的五位数．‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况．‎ 作业3 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有____个．（用数字作答）‎ ‎【答案】 14‎ ‎【解析】 由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 首先确定数字中2和3 的个数，‎ 当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，‎ 当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，‎ 当数字中有3个2，1个3时，共有C41=4种结果，‎ 根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，‎ 故答案为：14‎ 作业4 在的展开式中常数项是；中间项是．‎ ‎【答案】 60；-160x3‎ ‎【解析】 的展开式的通项=（-1）r26-rC6rx12-3r 令12-3r=0得r=4‎ ‎∴展开式的常数项为T5=4C64=60‎ 令r=3得展开式的中间项为T4=-8C63x3=-160x3．‎ 作业5 若，其中，则实数的值为__________；的值为__________．‎ ‎【答案】 ；‎ ‎【解析】 由题意的展开式的通项为，令得，因为，所以，解得．在展开式中令得，即，故答案为：；‎