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- 2021-06-24 发布
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任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念
(1)角的形成
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转至另一个位置所成的图形．
(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制
(1)1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
(3)角度与弧度的换算
①180°＝πrad；②1°＝rad；③1 rad＝°.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限角一定是锐角．(×)
(2)不相等的角终边一定不相同．(×)
(3)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2πk＋π(k∈Z)．(√)
(4)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．(√)
(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．(√)
(6)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(√)
(7)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是.(×)
(8)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．(√)
(9)若sin α＞0，则α的终边在第一象限或第二象限．(×)
(10)α∈，则tan α＞α＞sin α.(√)
考点一 终边相同的角和象限角
命题点
1.写出终边相同的角
2.判断角所在的象限
[例1] (1)在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，
得－765°≤k×360°≤－45°，
解得－≤k≤－，
从而k＝－2或k＝－1，
代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
第三章 三角函数、解三角形大一轮复习 数学(理)(2)设θ是第三象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：若θ是第三象限角，即
θ∈，k∈Z
∴∈，k∈Z.
当k为偶数(0,2，…)时，在第二象限，
当k为奇数(1,3，…)时，在第四象限，
又∵＝－cos，
∴cos＜0，∴为第二象限．
答案：B
[方法引航] (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k
赋值来求得所需角.
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.,(3)象限角用终边相同的角的形式作为边界来表示，讨论k的取值来确定其它角所在象限.
1．终边在直线y＝x上的角的集合是________．
解析：(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．
答案：{α|α＝＋kπ，k∈Z}
2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A.当k＝2n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°，所以α在第一象限．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°，所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限．
考点二 三角函数的定义
命题点
1.已知角终边上点的坐标求三角函数值
2.已知三角函数值求点的坐标
3.已知三角函数值判断角所在象限
[例2] (1)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.
答案：－
(2)已知α是第二象限角，设点P(x，)是α终边上一点，且cos α＝x，求4cos－3tan α的值．
解：∵r＝，∴cos α＝，从而
x＝，解得x＝0或x＝±.
又α是第二象限角，则x＝－，r＝2.
∴sin α＝＝，tan α＝＝－.
因此4cos－3tan α＝－4sin α－3tan α
＝－4×－3×＝－.
(3)已知sin α＞0，cos α＜0，则α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α为第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，故选C.
答案：C
[方法引航] 定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.
1．角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B.由三角函数的定义，
得sin α＝＝.
2．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.x＝cosπ＝－，y＝sinπ＝.
3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
解析：选B.在第三象限，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D，故选B.
考点三 扇形的弧长及面积
命题点
1.求扇形的弧长或面积
2.求扇形的圆心角或半径
[例3] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
解：(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)设弓形面积为S弓．由题知l＝cm，
S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin＝(cm)2.
[方法引航] (1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.
(3)应用上述公式时，角度应统一用弧度制表示.
1．在本例(1)中，R＝10 cm改为弧长l＝10 cm，求扇形的半径R和面积S.
解：∵α＝60°＝，l＝α·R，即10＝R
∴R＝cm.
S＝lR＝×10×＝cm2.
2．若本例(2)改为在半径为10 cm，面积为100 cm2的扇形中，弧所对的圆心角为( )
A．2 B．2°
C．2π D．10
解析：选A.由扇形的面积公式S＝α·r2可得
100＝α·102，解得α＝2.
考点四 三角函数线及应用
命题点
1.利用三角函数线解三角方程
2.利用三角函数线解三角不等式
[例4] (1)若α∈(0,2π)，sin α＝，则α＝________.
解析：如图，α的终边与单位圆的交点的纵坐标y＝，即A，B.
∴α＝∠xOA＝，或α＝∠xOB＝π.
答案：或π
(2)函数y＝＋ 的定义域是________．
解析：由题意知即
∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
答案：(k∈Z.)
满足sin α≥的α的集合为________．
解析：作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
答案：
[易错警示]
错用角的终边概念
[典例] 已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，则sin θ＝________.
[正解] ∵x＝3a，y＝4a，∴r＝＝5|a|.
(1)当a＞0时，r＝5a，∴sin θ＝＝.
(2)当a＜0时，r＝－5a，∴sin θ＝＝－.
∴sin θ＝±.
[答案] ±
[易误] (1)角的终边是一条射线，而不是直线．该题中，我们只能确定角的终边所在直线．
(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r＝＝＝5a，结果得到错误的答案：sin θ＝＝.
[警示] (1)区分两种三角函数定义
如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P(x，y)，|OP|＝r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．
[高考真题体验]
1．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x
轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝.
当t＞0时，cos θ＝；当t＜0时，cos θ＝－.
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
2．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图所示，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点．角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
解析：选B.以O为坐标原点，射线OA为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，故点M到直线OP的距离为f(x)＝|sin x·cos x|＝|sin 2x|，x∈[0，π]，故选B.
3．(2014·高考大纲全国卷)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：选C.b＝cos 55°＝sin 35°.
作sin 33°，sin 35°，tan 35°的函数线，如图，
a＝NQ，b＝MP，c＝AT.
∴AT＞MP＞NQ，即c＞b＞a.
4．(2014·高考大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，
y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－.
5．(2011·高考江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：因为|OP|＝，由任意角的三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，又因为sin θ＝－＜0及点P(4，y)是角θ终边上一点，所以θ为第四象限角，故y＝－8.
答案：－8
课时规范训练
A组 基础演练
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选C.与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
2．若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C.由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角，故α为第三象限角．
3．在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是( )
A．第一象限中的角一定是锐角
B．终边相同的角必相等
C．相等的角终边一定相同
D．不相等的角终边一定不同
解析：选C.第一象限角是满足2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z的角，当k≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2kπ＋α，k∈Z；当k≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同．
4．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
5．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选A.∵cos α≤0，sin α＞0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2＜a≤3.故选A.
6．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
A．(cos θ，sin θ)
B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ)
D．(－sin θ，cos θ)
解析：选A.由三角函数的定义知P(cos θ，sin θ)．
7．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B.∵r＝，∴cos α＝＝－，
∴m＞0，∴＝，即m＝.
8．已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α＝( )
A. B．±
C. D．±
解析：选B.由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝±.
∴tan α＝＝±.
9．点P(tan 2 017°，cos 2 017°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.2 017°＝360°×5＋217°是第三象限角．
∴tan 2 017°＞0，cos 2 017°＜0，
因此点P位于第四象限．
10．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )
A．sin 2 B．－sin 2
C．cos 2 D．－cos 2
解析：选D.∵角α终边上一点P(2sin 2，－2cos 2)，
∴x＝2sin 2，y＝－2cos 2，
r＝＝＝2，
∴sin α＝＝＝－cos 2.
B组 能力突破
1．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
解析：选C.设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
2．若x∈(0,2π)，则sin x＞的必要不充分条件是( )
A.＜x＜ B.＜x＜π
C.＜x＜ D.＜x＜
解析：选B.依题意，由sin x＞，x∈(0,2π)得知＜x＜，可以推得＜x＜π；反过来，由＜x＜π不能得出sin x＞，如取＜x＝＜π，此时sin x＝.
因此，sin x＞的必要不充分条件是＜x＜π，故选B.
3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析：原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0.
答案：0
4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
解析：2 010°＝π＝12π－，
∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－.
答案：－
5．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos α＝m，则sin α的值为________．
解析：设P(m，)到原点O的距离为r，
则＝cos α＝m，
∴r＝2，sin α＝＝＝.
答案：
6．已知扇形的圆心角为α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l为________．
解析：设扇形的半径为r cm，如图．
∠AOB＝120°，∠AOB＝60°，AB＝6，由sin 60°＝，得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．
答案：π cm
第2课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．同角三角函数基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．诱导公式
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
－
－
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(√)
(2)对任意角α，＝tan都成立．(×)
(3)对任意的角α，β有sin2α＋cos2β＝1.(×)
(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)
(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)
(6)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×)
(7)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(×)
(8)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则m＜－5或m≥3.(×)
(9)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)
(10)若α＋β＝90°，则sin2α＋sin2β＝1.(√)
考点一 同角三角函数关系式的应用
命题点
1.同角的正、余弦函数关系
2.同角的正、余弦与正切函数关系
[例1] (1)已知sin θ＝－，θ∈，则sin(θ－5π)sin的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：∵sin θ＝－，θ∈，
∴cos θ＝＝.
∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ
＝－×＝－.
答案：B
(2)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin α－cos α的值为________．
解析：法一：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝，
∴sin αcos α＝－，∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α－cos α＞0，
∴sin α－cos α＝＝＝.
法二：∵α∈(0，π)，
∴由得
∴sin α－cos α＝－＝.
答案：
(3)已知cos＝，且α∈，则tan α＝( )
A. B.
C．－ D．±
解析：因为cos＝，所以sin α＝－，又α∈，∴α∈，∴cos α＝－，则tan α＝＝.
答案：B
(4)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.
解析：∵tan θ＝2
∴sin θcos θ＝＝＝＝.
答案：
[方法引航] (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.,(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.,(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．若本例(1)中，去掉θ∈条件，结果如何？
解：由sin θ＝－可得cos θ＝± ＝±，(θ在一、四象限为正，θ在二、三象限为负)
∴原式＝sin θcos θ＝±.
2．若本例(2)改为sin α＋cos α＝，α∈求tan α.
解：由sin α＋cos α＝得(sin α＋cos α)2＝.
∴sin αcos α＝－＜0，又∵α∈，∴sin α＜0，cos α＞0.
∴sin α－cos α＝－＝－＝－.
联立得
∴tan α＝＝－.
3．若本例(4)改为，tan θ＝2，求sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ的值．
解：sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝
＝＝
＝＝.
考点二 诱导公式的应用
命题点
1.给角求值
2.给值求值
3.化简三角函数式
[例2] (1)sin 600°＋tan 240°＝________.
解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(540°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝－＋＝.
答案：
(2)已知tan＝，则tan＝________.
解析：∵＋＝π，
∴tan＝tan
＝－tan＝－.
答案：－
(3)已知f(x)＝，化简f(x)的表达式并求f的值．
解：∵f(x)＝
＝－cos x·tan x＝－sin x，
∴f＝－sin＝sin
＝sin＝sin＝.
[方法引航]
1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为去负—脱周—化锐．
2．(1)利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
①思路方法：a.分析结构特点，选择恰当公式；b.利用公式化成单角三角函数；c.整理得最简形式．
②化简要求：a.化简过程是恒等变形；b.结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
(2)巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
1．cos－sin的值是________．
解析：原式＝cos＋sin＝cos＋sin＝.
答案：
2．已知sin＝，则cos＝________.
解析：∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝.
答案：
3．已知tan θ＝2，则＝________.
解析：原式＝＝＝＝＝－2.
答案：－2
[方法探究]
小“1”能起大作用
由于sin2α＋cos2α＝1恒成立，故在三角函数化简与求值中巧妙利用“1”的代换，sin2α＋cos2α即为1，看到“1”就联想到sin2α＋cos2α.
[典例] (1)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
[解析] 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋
＝＋＝44.
[答案] 44
(2)若tan α＝3，则sin的值为( )
A．－ B.
C. D.
[解析] sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝，又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，
∴sin＝sin 2α＋cos 2α＝＝－.
[答案] －
[高考真题体验]
1．(2015·高考福建卷)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝－
.
2．(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析：因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－.
答案：－
3．(2016·高考四川卷)sin 750°＝________.
解析：sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.
答案：
4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：∵tan＝，
∴＝，解得tan θ＝－.
∵θ为第二象限角，tan θ＝－＞－1，
∴2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，
∴(sin θ＋cos θ)2＝
＝＝＝.
sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－.
答案：－
课时规范训练
A组 基础演练
1．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.因为α为第二象限角，cos α＝－＝－，tan(π＋α)＝tan α＝－.
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )
A．1 B．2sin2α
C．0 D．2
解析：选D.原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
3．若sin＝，则cos＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B.cos＝cos
＝sin＝.
4．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.
∵|θ|＜，∴θ＝.
5．已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是( )
A. B.
C．－ D．1
解析：选C.由已知得cos α＝，sin α＝－，
cos＝cos α＋sin α＝－.
6．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝________.
解析：tan θ＋＝＋＝＝2.
答案：2
7．若cos(π－α)＝－，则的值为________．
解析：由cos(π－α)＝－，得cos α＝.
则＝
＝cos α＝.
答案：
8．若＝2，则sin(θ－5π)sin＝________.
解析：由＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，
故sin θcos θ＝，
∴sin(θ－5π)sin＝sin θcos θ＝.
答案：
9．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，求sin α的值________．
解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0， ①
tan α－6sin β＝1， ②
①②联立，解得tan α＝3，
∴＝3，∴cos α＝sin α，
∴sin2α＋sin2α＝1
∴α为锐角，∴sin α＝.
答案：
10．已知sin θ＝，＜θ＜π.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解：(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝.
又＜θ＜π.∴cos θ＝－.
∴tan θ＝＝－.
(2)由(1)知，＝＝－.
B组 能力突破
1．若cos θ＝，sin θ＝－，则角θ的终边所在的直线方程为( )
A．3x＋4y＝0 B．4x＋3y＝0
C．3x－4y＝0 D．4x－3y＝0
解析：选B.依题意得tan θ＝＝－，因此所求的直线的斜率是－，其方程是y＝－x，即4x＋3y＝0.
2．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－，∴sin2＝＝＝.
3．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.∵θ∈，∴2θ∈，
故cos 2θ≤0，
∴cos 2θ＝－＝－＝－.
又cos 2θ＝1－2sin2θ，
∴sin2θ＝＝＝.
又sin θ＞0，∴sin θ＝，故选D.
4．在△ABC中，已知2cos2A－3cos(B＋C)＝2，则A＝________.
解析：由2cos2A－3cos(B＋C)＝2，得
2cos2A－3cos(π－A)＝2，
即2cos2A＋3cos A－2＝0，得
cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
则在△ABC中，A＝.
答案：
5．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根，求cos3＋sin3的值．
解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，
∴a≥4或a≤0.
又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
则a2－2a－1＝0，从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，
因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.
∴cos3＋sin3＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(1－)[1－(1－)]＝－2.
第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)公式
①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β))
②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))
③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))
④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))
⑤tan(α－β)＝(T(α－β))
⑥tan(α＋β)＝(T(α＋β))
(2)公式变形
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2．二倍角公式
(1)公式
①sin 2α＝2sin_αcos_α，
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
③tan 2α＝.
(2)公式变形
①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)
(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(×)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)
(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)
(6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√)
(7)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)
(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×)
(9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)
(10)y＝的x无意义．(×)
考点一 三角函数式的给角求值
命题点
1.已知非特殊角求函数式的值
2.已知含参数的角化简函数或求值
[例1] (1)求值：－sin 10°；
解：原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
(2)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β.
解：法一：(复角→单角，从“角”入手)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二：(从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos 2α·cos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2α·cos 2β
＝cos2β－sin2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β
＝cos2β－cos 2β·
＝－cos 2β·
＝－cos 2β＝.
法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β＝.
1．求值sin 50°(1＋tan 10°)．
解：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝
＝＝＝1.
2．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________．
解析：因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，
所以A＋C＝，＝，tan＝，
所以tan＋tan＋tantan
＝tan＋tan tan
＝＋tantan ＝.
考点二 三角函数式的给值求值
命题点
1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值
2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值
3.已知三角函数式的值，求三角函数值
[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：法一：cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝
＝＝.故选D.
法二：由tan θ＝－，可得sin θ＝±，
因而cos 2θ＝1－2sin2θ＝.
答案：D
(2)已知tan＝，且－＜α＜0，则等于( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：由tan＝＝，得tan α＝－.
又－＜α＜0，所以sin α＝－.
故＝＝2sin α＝－.
答案：A
(3)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
解析：2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0
则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，
由于α∈，sin α＋cos α≠0，
则2sin α＝3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，
∴
＝＝.
答案：
1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan的值．
解：tan＝＝＝.
2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin2θ－sin θcos θ－3cos2θ的值．
解：原式＝
＝
＝＝－.
3．已知cos＋sin＝，则cos＝________.
解析：由cos＋sin＝，得
sin α＋sincos α－cos πsin α＝
∴sin α＋cos α＝，
即sin＝，∴sin＝，
因此cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案：
考点三 已知三角函数式的值求角
命题点
1.利用弦函数值求角
2.利用切函数值求角
[例3] (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.
解析：∵cos α＝，0＜α＜.
∴sin α＝.
又cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.
∴0＜α－β＜，则sin(α－β)＝.
则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝＝
由于0＜β＜，所以β＝.
答案：
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝＞0，∴0＜α＜.
又∵tan 2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－＜0，
∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－π.
答案：－π
[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是，选正弦较好．
2．解给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
1．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.或
解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.
2．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝
＝＝1.
∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，
∴α＋β＝.
[方法探究]
三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用
三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”
；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(Ⅱ)法一：三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin α·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋
cos 2α＝.
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)若cos＝，则sin 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.因为cos＝coscos α＋sinsin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.
2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A.法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或，则sin 2α＝2sin αcos α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.
法二：cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B.由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.
5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝＝
＝＝－1.
答案：－1
6．(2016·高考四川卷)cos2－sin2＝________.
解析：由二倍角公式，得cos2－sin2＝
cos＝.
答案：
课时规范训练
A组 基础演练
1．tan 15°＋＝( )
A．2 B．2＋
C．4 D.
解析：选C.法一：tan 15°＋＝＋
＝＝＝4.
法二：tan 15°＋＝＋
＝＋＝＝4.
2.的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.原式＝
＝
＝＝.
3．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan 2θ＝( )
A. B.
C．－ D.
解析：选C.由sin＝，得(sin θ－cos θ)＝，所以sin θ－cos θ＝.
解方程组，
得或.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以不合题意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ
＝＝＝－，故选C.
4．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得
(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝2，
又θ∈，∴sin θ＋cos θ＝.
同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.
5．已知sin 2(α＋γ)＝nsin 2β，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝nsin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n[sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n－1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以＝，故选D.
6．若sin＝，则cos 2θ＝________.
解析：∵sin＝cos θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
答案：－
7．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.
解析：∵点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上
∴sin α＝－2cos α，
于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos2α－1)
＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.
答案：－2
8．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
∵α∈，sin α≠0，
∴cos α＝－.
又∵α∈，∴α＝π，
∴tan 2α＝tanπ＝tan＝tan＝.
答案：
9．化简：(0＜θ＜π)．
解：由θ∈(0，π)，得0＜＜，
∴cos＞0，
∴＝＝2cos.
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2coscos θ.
故原式＝＝－cos θ.
10．已知α∈，且sin＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又＜α＜π，所以cos α＝－.
(2)因为＜α＜π，＜β＜π，
所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
B组 能力突破
1．已知sin α＋cos α＝，则1－2sin2＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，
∴sin 2α＝－.
因此1－2sin2＝cos2＝sin 2α＝－.
2．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为( )
A．4 B.
C．4 D．8
解析：选D.∵f(x)＝2＝2×＝2×＝，
∴f＝＝8.
3．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.
又sin α＝，∴cos α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∴β＝.
4．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为________．
解析：tan α＋tan β＝lg(10a)＋lg＝lg 10＝1，
∵α＋β＝，所以tan ＝tan(α＋β)＝＝，
∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a)＝0或tan β＝lg＝0.
所以10a＝1或＝1，即a＝或1.
答案：或1
5．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tan β的值．
解：(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.
∵tan(α＋β)＝
＝＝
＝
＝＝＝＝.
(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝
＝＝.
第4课时 三角函数的图象与性质
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间：
(k∈Z)；
递减区间：
(k∈Z)
递增区间：[2kπ－π，2kπ]
(k∈Z)；
递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
递增区间：
(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋
(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝2kπ－
(k∈Z)时，
x＝2kπ(k∈Z) 时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π
(k∈Z)
时，ymin＝－1
无最值
ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
对称轴：x＝kπ＋，k∈Z
对称轴：x＝kπ，k∈Z
无对称轴
周期
2π
2π
π
2.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在上是增函数．(√)
(2)y＝sin x在第一、四象限是增函数．(×)
(3)所有的周期函数都有最小正周期．(×)
(4)y＝tan x在整个定义域上是增函数．(×)
(5)y＝ksin x＋1(x∈R)的最大值为k＋1.(×)
(6)y＝sin|x|为偶函数．(√)
(7)y＝|sin x|和y＝sin|x|的周期都是π.(×)
(8)y＝tan x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．(×)
(9)若sin x＞，则x＞.(×)
(10)y＝sin x与y＝cos x同时为增的区间是，k∈Z.(√)
考点一 有关三角函数的定义域、值域问题
命题点
1.利用三角函数图象解简单的三角不等式
2.求三角函数的值域
3.求三角函数与其它复合函数的值域
[例1] (1)函数y＝lg sin x＋的定义域是________．
解析：由题意，得
∴sin x＞0且cos x≤，
作单位圆中三角函数线(图略)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
∴函数的定义域为.
答案：
(2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：利用三角函数的性质先求出函数的最值．
∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
答案：A
(3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
解析：∵x∈，∴sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋.
∴当sin x＝时，ymin＝，
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
答案： 2
[方法引航]
1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域(最值)常见的有以下几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
1．若将本例(1)变为y＝，其定义域为________．
解析：1－2cos x≥0，∴cos x≤.如图，当x∈(0,2π)时，cos＝cosπ＝，∴cos x≤，x∈∴x∈R时，cos x≤的解集为
答案：
2．若在本例(2)中，x的范围变为“－1≤x≤9”，其它不变，如何选答案．
解析：－1≤x≤9时，－≤x－≤π.
－1≤sin≤1，y∈[－2,2]，ymax＋ymin＝0.
答案：B
3．若将本例(3)中的函数换为“y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]”，如何求解？
解：令t＝sin x－cos x，又x∈[0，π]，∴t＝sin，t∈[－1，]．由t＝sin x－cos x，得t2＝1－2sin xcos x，即sin xcos x＝.∴原函数变为y＝t＋，t∈
[－1，]．即y＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－1时，ymin＝－(－2)2＋1＝－1.
考点二 三角函数的单调性和周期性
命题l点
1.求三角函数的最小正周期
2.求三角函数的单调区间
3.利用单调性、周期性求参数
[例2] (1)(2016·高考山东卷)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是( )
A. B．π
C.π D．2π
解析：法一：由题意得f(x)＝3sin xcos x－sin2x＋cos2x－sin xcos x＝sin 2x＋cos2x＝2sin .故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.
法二：由题意得f(x)＝2sin×2cos＝2sin.故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.
答案：B
(2)(2016·湖北武汉模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与直线y＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x＝是f(x)图象的一条对称轴，则下列区间中不是函数f(x)的单调递增区间的是( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得A＝3，T＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，又f＝3或f＝－3，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝3sin，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故当k＝－1时，f(x)的增区间为，当k＝0时，f(x)的增区间为，当k＝1时，f(x)的增区间为，故选D.
答案：D
(3)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2]
解析：由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，
由题意知⊆，
∴∴≤ω≤，故选A.
答案：A
[方法引航] 形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调区间的求法
(1)代换法,①若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作是一个整体，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间.,②若A＞0，ω＜0，则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①
的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解.
(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.,对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.
1．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为________．
解析：由题知＝2，得ω＝π，
∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－≤x≤，所以函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为.
答案：
2．若将本例(3)改为f(x)＝sin ωx在上为增函数(ω＞0)，如何求ω的范围？
解：当＜x＜π时，＜ωx＜ωπ (ω＞0)
∴⊆
∴ωπ≤，∴ω≤，
∴ω∈.
考点三 三角函数的奇偶性、对称性
命题点
1.判断三角函数的奇偶性
2.求三角函数的对称轴、对称中心
3.利用奇偶性、对称性求参数
[例3] (1)下列函数中，最小正周期为π，且为奇函数的是( )
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析：对于A，y＝cos＝－sin 2x，T＝π为奇函数，故选A.
答案：A
(2)(2016·高考全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：法一：将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin 2＝2sin的图象．
由2x＋＝＋kπ(k∈Z)得，∴x＝＋π.(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
法二：∵y＝2sin 2x的对称轴为x＝＋π，向左平移个单位后为x＝－＋π＝＋π，故选B.
答案：B
(3)(2017·吉林长春模拟)函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为________．
解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后得到函数为f＝sin＝
sin，因为此时函数为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝sin.当0≤x≤时，－≤2x－≤，即当2x－＝－时，函数f(x)＝sin有最小值为sin＝－.
答案：－
(4)(2017·湖南六校联考)若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(0＜ω＜5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝，函数f′(x)的图象的一个对称中心是，则f(x)的最小正周期是________．
解析：由题设，得f＝±，
即(a＋b)＝±，∴a＝b.
又f′＝0，∴aω＝0，
∴tan π＝1，∴π＝kπ＋，∴ω＝8k＋2，(k∈Z)
而0＜ω＜5,0＜8k＋2＜5，∴k＝0，ω＝2，
∴f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝asin，
∴T＝＝π.
答案：π
[方法引航] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f(x0)的值进行判断.
(3)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据y＝sin x和y＝cos x的图象的对称轴或对称中心进行求解.
1．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b为常数，a≠0)在x＝处取得最小值，则函数g(x)＝f是( )
A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D. 奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
解析：选D.因为f(x)＝sin(x－φ)在x＝处取得最小值，所以－φ＝2kπ－，k∈Z，故φ＝－2kπ，k∈Z，得f(x)＝sin，g(x)＝f＝－sin x，所以g(x)为奇函数，且其图象关于点(π，0)对称．
2．已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.由已知得f(x)＝2cos为偶函数，由诱导公式可知φ＋＝kπ.(k∈Z)
当k＝0时，φ＝－.
(也可由f(－x)＝f(x)恒成立求．)
[易错警示]
求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的A，ω的符号处理
借助于y＝sin x的单调区间求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先保证ω＞0，然后再看A的正负，结合整体“ωx＋φ”，求x的范围．
[典例] 已知函数y＝sin，则函数在[－π，0]上的单调递减区间为________．
[解析] y＝sin＝－sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以y＝sin在[－π，0]上的减区间为.
[答案]
[警示] 当ω＞0，A＜0时，y＝Asin(ωx＋φ)的增区间是利用2kπ＋≤ωx＋φ≤π＋2kπ，(k∈Z)求得x，减区间是利用2kπ－≤ωx＋φ≤＋2kπ，(k∈Z)求得x.
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选B.先根据函数的零点及图象对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f(x)在上单调，则的区间长度不大于函数f(x)周期的
，然后结合|φ|≤计算ω的最大值．
因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的一个零点为x＝－，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以·k＝(k为奇数)．
又T＝，所以ω＝k(k为奇数)．
又函数f(x)在上单调，所以≤×，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤，则φ＝－，此时，f(x)＝sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件．
若ω＝9，又|φ|≤，则φ＝，此时，f(x)＝sin，满足f(x)在上单调的条件．故选B.
2．(2016·高考浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( )
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
解析：选B.由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.
3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选C.①中，y＝cos|2x|＝cos 2x，周期T＝π，①符合；
②中，y＝|cos x|＝ ，周期T＝π，②符合；
③中，周期T＝π，③符合；④中，周期T＝，④不符合．
∴符合条件的函数为①②③.
4．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又0＜φ＜π，所以φ＝.
5．(2016·高考北京卷)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.
依题意，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为k∈Z.
6．(2015·高考安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
课时规范训练
A组 基础演练
1. 函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：选B.由周期公式T＝＝π.
2．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选A.y＝sin＝－cos 2x为偶函数，且周期为π.
3．与函数y＝tan的图象不相交的直线是( )
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
解析：选C.2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，k＝0时，x＝.
4．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：选D.由题意知，f(x)＝cos x，所以它是偶函数，A错；它的周期为2π，B错；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错；它的对称中心是点，k∈Z，D对．
5．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)成立，且f＝1，则实数b的值为( )
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3
解析：选C.由f＝f(－x)可知函数f(x)＝
2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.
6．函数f(x)＝sin在上的单调递增区间是________．
解析：由2kπ－≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤π＋2kπ，k∈Z，在上的单调增区间为.
答案：
7．已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
解析：由题得cos＝sin，即sin＝.
∵0≤φ＜π，∴π≤＋φ＜，∴＋φ＝，则φ＝.
答案：
8．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的序号为________．
解析：∵T＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin，
由图象及性质可知②④正确．
答案：②④
9．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又－π＜φ＜0，则φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)f＝2cos
＝－2cos＝2.
(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
B组 能力突破
1．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0且|φ|＜)，在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意知＝－＝，∴T＝π＝，
∴ω＝2.将点代入y＝sin(2x＋φ)得
sin＝1，又|φ|＜，∴φ＝，故y＝sin.令x＝0，则y＝.
2．若函数y＝f(x)＋cos x在上单调递减，则f(x)可以是( )
A．1 B．cos x
C．－sin x D．sin x
解析：选C.－sin x＋cos x＝cos x－sin x＝cos，
∵－≤x≤，∴0≤x＋≤π，
∴函数y＝－sin x＋cos x在上为减函数．
3．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B.由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
4．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.
答案：2
5．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
解：(1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1＝
4sin－1，又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，∴g(x)的增区间：2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，即kπ＜x≤kπ＋，
g(x)的减区间为2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋π，
即kπ＋≤x＜kπ＋，故g(x)增区间为，减区间为k∈Z.
第5课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
法一 法二
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)
(2)将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位后所得图象的解析式是y
＝3sin.(×)
(3)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(√)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(√)
(5)作函数y＝sin在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)这五个点．(×)
(6)函数y＝2sin的频率为，初相为.(×)
(7)函数y＝－sin x向右平移个单位，可得到y＝cos x的图象．(√)
(8)y＝sin(－2x)的递减区间是，k∈Z.(×)
(9)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(√)
(10)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(√)
考点一 函数y＝Asin(ω＋φ)＋b图象画法
命题点
1.五点法作图
2.变换法作图
[例1] (1)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
①求f(x)的解析式；
②用五点法作f(x)在一个周期内的图象；
③由y＝sin x经过怎样的变换可得到f(x)的图象？
解：①f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2＝2sin，
又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f(x)＝2sin.
∴函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.
②令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表，并描点画出图象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sin X
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
③法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
法二：将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x变为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2
＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
(2)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选A.
答案：A
[方法引航] (1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
1．若本例(1)条件不变，作出f(x)在x∈[0，π]内的图象．
解：
x
0
π
π
π
2x＋
π
π
2π
π
f(x)
1
0
－1
0
描点法作图：
2．将本例(2)变为：由y＝sin 2x如何变换得到y＝sin x－cos 的图象．
解：∵y＝sin x－cos x＝2sin
由y＝sin 2x的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．
得到y＝sin x，再向右平移个单位得到y＝sin，再将纵坐标伸长到2倍，横坐标不变，得到y＝2sin的图象．
考点二 由三角函数图象求解析式
命题点
1.由图象求三角函数性质
2.由图象求三角函数解析式
[例3] (1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
A．A＝3，T＝，φ＝－ B．A＝1，T＝，φ＝
C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－
解析：由图象知，A＝＝1，＝π－＝π，
∴T＝π，ω＝，由π×＋φ＝＋2kπ，
得φ＝－π＋2kπ，k∈Z，令k＝0得φ＝－π，故选C.
答案：C
(2)(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：由图易知A＝2，因为周期T满足＝－，所以T＝π，ω＝＝2.由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函数解析式为y＝2sin.
答案：A
[方法引航] 根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；
(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω＞0)来确定ω；
(4)φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－确定φ.
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，且|φ|＜)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由函数的图象可得T＝π－π，
∴T＝π，则ω＝2.
又图象过点，∴2sin＝2，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
取k＝0,4＝－，即得f(x)＝2sin，
其单调递增区间为，k∈Z，取k＝0，即得选项D正确．
2．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则该函数的解析式为________．
解析：由图知A＝5，由＝－π＝，得T＝3π，∴ω＝＝，此时y＝5sin.
下面求初相φ.
法一：(单调性法)：
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴＋φ∈(k∈Z)．
由sin＝0得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|＜π，∴φ＝.∴该函数的解析式为y＝5sin.
法二：(最值点法)：
将最高点坐标代入y＝5sin，
得5sin＝5，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．又|φ|＜π，∴φ＝.
∴该函数的解析式为y＝5sin.
法三：(起始点法)：
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的．故只需找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得φ.由图象易得x0＝－，∴φ＝－ωx0＝－×＝.
∴该函数的解析式为y＝5sin.
法四：(平移法)：
由图象知，将y＝5sin的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数解析式为y＝5sin.
答案：y＝5sin
[规范答题]
函数y＝Asin(ωx＋φ)图象性质的规范答题
[典例] (2017·山东枣庄质检)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω＞0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数f(x)的单调递增区间．
[规范解答] (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2－1………………2分
＝2sin－1.………………3分
由－1≤sin≤1. ………………5分
得－3≤2sin－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1]. ………………6分
(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，
f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2. ………………8分
所以f(x)＝2sin－1，………………9分
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z). ………………10分
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).12分
[规范建议] (1)将函数化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式；
(2)利用sin x∈[－1,1]求值域；
(3)利用图象性质求周期T，从而求ω＝；并写出f(x)解析式；
(4)利用整体(ωx＋φ为整体)思想，求单调区间．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B.f(x)＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，∵sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)max＝5.
2．(2015·高考课标卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选D.由题图可知＝－＝1，所以T＝2.
结合题图可知，在(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为
eq lc(
c)(avs4alco1(－f(1,4)，f(3,4))).由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.
3．(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
解析：选A.函数y＝sin x的图象向左平行移动个单位长度可得到y＝sin的图象．
4．(2016·高考浙江卷)函数y＝sin x2的图象是( )
解析：选D.由于函数y＝sin x2是一个偶函数，选项A、C的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B与选项D的图象都关于y轴对称，在选项B中，当x＝±时，函数y＝sin x2＜1，显然不正确，当x＝±时，y＝sin x2＝1，而＜，故选D.
5．(2016·高考北京卷)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解析：选A.因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝.
又P′在函数y＝sin 2x的图象上，所以＝sin 2，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z.又s＞0，故s的最小值为.
6．(2016·高考全国丙卷)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为y＝sin x－cos x＝2sin，所以函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到．
答案：
课时规范训练
A组 基础演练
1．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B.由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．2或0 B．－2或2
C．0 D．－2或0
解析：选B.因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
3．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D.对于A，B，注意到这两个函数的最小正周期均为4π，故排除A，B；对于C，注意到该函数的最小正周期为π，但当x＝时，y＝sin＝－，该函数值不是该函数的最值，因此其图象不关于直线x＝对称；对于D，注意到该函数的最小正周期为π，且当x＝时，y＝sin＝1取得最大值，其图象关于直线x＝对称．综上所述，故选D.
4．已知f(x)＝2sin，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选C.由题意知g(x)＝2sin[2＋]
＝2sin，令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋π，k∈Z，当k＝0时，x＝，即函数g(x)的图象的一条对称轴的方程为x＝，故选C.
5．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选A.y＝cos＝sin＝sin.
故要得到y＝sin＝sin 2的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度．
6．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(2)＝________.
解析：由三角函数的图象可得
T＝3－1＝2，所以最小正周期T＝＝，解得ω＝.又f(1)＝sin＝1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝sin，k∈Z，
则f(2)＝sin＝sin＝－.
答案：－
8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析：依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－＜，即ω＜12，令k＝0，得ω＝.
答案：
9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
x
2π
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
π
x
2π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以5sin＝0，
即2θ＋－＝kπ，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f＝－，且0＜θ＜，求f的值．
解：(1)由题图象可知A＝3，由·＝－得ω＝1.
由f＝3得3sin＝3，又0＜φ＜，所以φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.
(2)由f＝－得3sin＝－，即cos＝－，
又0＜θ＜，所以sin＝.
所以f＝3sin＝3sin θ
＝3sin
＝3
＝3＝.
B组 能力突破
1．若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω＞0，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，则ω的值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选A.由题意知f(x)＝2sin，设函数f(x)的最小正周期为T，因为f(x1)＝2，f(x2)＝0，所以|x1－x2|的最小值为＝，所以T＝6π，所以ω＝，故选A.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D.观察题图得A＝2，＝－＝，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，因为f＝
2sin＝2，|φ|＜，所以＋φ＝，所以φ＝，故选D.
3．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.先求出g(x)，表示出|f(x1)－g(x2)|，再结合三角函数的性质求解．
因为g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝|(k1－k2)π＋－φ|.
因为0＜φ＜，所以0＜－φ＜，故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，则φ＝，故选D.
4．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
解析：函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝cos的图象，
而y＝cos＝－cos(2x＋φ)＝sin，由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝π＋2kπ，k∈Z.
又－π≤φ＜π，∴φ＝π.
答案：π
5．已知函数f(x)＝sin xcos xsin φ＋cos2xcos φ＋cos(0＜φ＜π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)＝cos(2x－φ)．
又函数f(x)的图象过点，所以＝
cos，即cos＝，又0＜φ＜π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝cos 2x.
因为x∈，所以2x∈，
由－≤2x≤0和π≤2x≤知，函数g(x)在上的单调递增区间为，.
第6课时 正弦定理、余弦定理及解三角形
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝a2＋c2－2accos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C．
变
形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(其中R是△ABC的外接圆半径)
③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝.
解决的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(√)
(2)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)
(3)在△ABC中，有sin A＝sin(B＋C)．(√)
(4)在△ABC中，＝.(√)
(5)在△ABC中，若a2＋b2＜c2，则△ABC为钝角三角形．(√)
(6)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积．(√)
(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)
(8)在△ABC中，若∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B＝45°或∠B＝135°.(×)
(9)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B.(×)
(10)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C(A、B、C≠)．(√)
考点一 利用正、余弦定理求边和角
命题点
1.用正弦定理解三角形
2.用余弦定理解三角形
3.用正、余弦定理进行边角互化解三角形
[例1] (1)(2016·高考全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝( )
A. B.
C. D.
解析：设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD.由正弦定理，知＝，即＝，解得sin A＝，故选D.
答案：D
(2)(2016·高考全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcos A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
答案：D
(3)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由正弦定理可知c＝2b，则cos A＝＝＝＝，所以A＝30°.
答案：A
[方法引航] (1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.
解析：依题意得，由正弦定理知：＝，sin B＝，
又0＜B＜π，可得B＝或π.
答案：或π
2．在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝__________；sin A＝________.
解析：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝1＋4－1＝4，∴c＝2；cos C＝，则sin C＝，由正弦定理，得＝，得sin A＝＝.
答案：2；
3．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，
则a＝，c＝2a－b＝
cos C＝＝－，又0＜C＜π，因此角C＝.
答案：
考点二 三角形形状的判定
命题点
1.利用角的关系判定三角形形状
2.利用边的关系判定三角形形状
[例2] (1)已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，且A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵内角A、B、C成等差数列，∴A＋C＝2B.
又A＋B＋C＝π.∴B＝，由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac.
又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
又B＝，∴△ABC为等边三角形．
答案：B
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求角A的大小；
②若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：①由正弦定理，及2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴bc＝－2bccos A，cos A＝－.
又0＜A＜π，∴A＝π.
②由①知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin BsinC，
∴sin2A＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，且sin A＝，
∴sin Bsin C＝，因此sin B＝sin C＝.
又B，C∈，故B＝C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形．
[方法引航] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的影响．
1．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析：选C.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k＞0)，由余弦定理可得
cos C＝＝＝－＜0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈，∴△ABC为钝角三角形．
2．若本例(1)中，a、b、c成等比数列改为a＝2c，其它条件不变，判断三角形的形状．
解：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝4c2＋c2－2c2＝3c2，
∴b＝c，此时满足a2＝b2＋c2，说明△ABC是直角三角形．
考点三 三角形的面积问题
命题点
1.求三角形的面积
2.利用面积求边和角
[例3] (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
答案：C
(2)(2016·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
解：(1)证明：由正弦定理得
sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以，
B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，
所以A＝2B.
(2)由S＝得absin C＝，故有
sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因为sin B≠0，所以sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
[方法引航] 在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bc·sin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
1．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin＝.又B∈(0，π)，所以B＝.又A＝B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
2．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，求cos A与a的值．
解：由三角形面积公式，得
×3×1·sin A＝，故sin A＝.
因为sin2A＋cos2A＝1，
所以cos A＝±＝± ＝±.
①当cos A＝时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，
所以a＝2.
②当cos A＝－时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，
所以a＝2.
综上，cos A＝，a＝2或cos A＝－，a＝2.
[规范答题]
解三角形的规范答题
[典例] (本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝
，tan＝－.
(1)求角C；
(2)若b－c＝－，求△ABC的面积．
[解] (1)∵B＝，∴0＜A＜π，∴＜A＋＜π.
∵tan＝－，∴A＋＝，∴A＝.………………2分
∴C＝.………………4分
(2)∵sin B＝，sin C＝，
∴b∶c＝∶.………………6分
∵b－c＝－，∴b＝，c＝.………………8分
sin A＝sin(B＋C)＝.10分
∴S△ABC＝bcsin A＝×××＝.12分
[规范建议] (1)先利用切函数求出角A；
(2)求出sin B及sin C的值；
(3)再求b及c的值；
(4)求sin A，直接利用sinπ＝；
(5)求S△ABC时，要有代入过程．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin
eq f(π,4)＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C.
2．(2014·高考课标卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1
解析：选B.S△ABC＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，∴sin B＝，∴B＝45°或135°.
若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.
3．(2014·高考课标卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
解析：因为a＝2，所以(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理可得(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝＝＝，又0＜A＜π，故A＝.因为cos A＝＝≥，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号．由三角形面积公式知S△ABC＝bcsin A＝bc·＝bc≤，故△ABC面积的最大值为.
答案：
4．(2016·高考全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A
＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
解析：法一：因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，从而sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.由正弦定理＝，得b＝＝.
法二：因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，从而cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－×＋×＝.由正弦定理＝，得c＝＝.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b＝.
答案：
5．(2016·高考全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得，
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
2cos Csin(A＋B)＝sin C.
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知，得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
课时规范训练
A组 基础演练
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得
2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝.
又A为锐角，∴A＝.
2．(2016·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．30°或150°
解析：选A.在△ABC中，＝，∴＝，
∴sin C＝，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.
4．(2016·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝.
5．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin B，则A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选A.因为在锐角△ABC中，b＝2asin B，由正弦定理得，sin B＝2sin Asin B，所以sin A＝，又0＜A＜，所以A＝30°，故选A.
6．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
解析：∵a＝c，∴sin A＝sin C，∵∠A＝，∴sin A＝，∴sin C＝，又∠C必为锐角，∴∠C＝，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴＝1.
答案：1
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，
∴c＝4.
答案：4
8．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．
解析：由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°，即()2＝AB2＋22－2
AB×2×cos 60°，解得AB＝1.
答案：1
9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为1.
10．△ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解：(1)由正弦定理得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，
所以＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，
所以sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos∠B＋sin∠B.
由(1)知2sin∠B＝sin∠C，
所以tan∠B＝，即∠B＝30°.
B组 能力突破
1．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cos A，则△ABC
为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：选A.依题意得＜cos A，sin C＜sin Bcos A，
所以sin(A＋B)＜sin Bcos A，
即sin Bcos A＋cos Bsin A－sin Bcos A＜0，
所以cos Bsin A＜0.
又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选D.由正弦定理可得＝＝＝.
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S表示△ABC的面积，若acos B＋bcos A＝csin C，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：选C.由正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin C·sin C，即sin(A＋B)＝sin C·sin C，因为sin(A＋B)＝sin C，所以sin C＝1，则C＝90°，∵S＝bcsin A，b2＋c2－a2＝2bccos A，代入已知可得，bcsin A＝·2bccos A，所以tan A＝1，A＝45°，则B＝45°.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.若C＝，则＝________.
解析：∵sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1，∴sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B.
由正弦定理可得ab＋bc＝2b2，即a＋c＝2b，∴c＝2b－a，∵C＝，由余弦定理可得(2b－a)2＝a2＋b2－2abcos，可得5a＝3b，∴＝.
答案：
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：由bsin－csin＝a，应用正弦定理，得sin Bsin－sin Csin＝sin A，
sin B－sin C＝，
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，
即sin(B－C)＝1.
由于0＜B，C＜π，从而B－C＝.
(2)∵B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.
由a＝，A＝，
得b＝＝2sin，c＝＝2sin，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sinsin＝
cossin＝.
第7课时 解三角形的实际应用
1．实际应用中的常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度
例：(1)北偏东m°：(2)南偏西n°：
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为α，坡比度为i，则i＝＝tan_α
坡度
坡面与水平面所成的二面角度数
坡比
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比
2.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)
(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)
(4)若点P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.(×)
(5)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设α为坡角，那么cos α＝.(×)
(6)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别．(×)
(7)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(√)
(8)若点A在点C的北偏东30°方向上，则C点在A点南偏西60°方向上．( )
(9)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为a km.(√)
(10)如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于a(×)
考点一 测量距离
命题点
1.河对岸山两侧两点间的距离
2.河两岸两点间的距离
3.海面上两点间的距离
[例1] (1)要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B
之间的距离为________km.
解析：如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝(km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，即A，B之间的距离为km.
答案：
(2)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.则A，B两点的距离为________m.
解析：由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝50(m)．
答案：50
(3)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km.
解析：如图，由已知得
∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.
设BC＝x，则由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos 120°，
即32＝22＋x2－2×2xcos 120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1.
答案：－1
[方法引航] 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题.首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解.
1．如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点D可以观察到点A、C；找到一个点E，从点E可以观察到点B、C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为______.
解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2.在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos∠ACB＝10，所以AB＝.
答案：
2．在本例(2)中，若已知条件不变，求A、C两点间的距离．
解析：＝
∴AC＝＝
＝＝25(＋)．
答案：25(＋)
3．如图，一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．
解：＝，且∠BAC＝30°，AC＝60，∠ABC＝180°－30°－105°＝45°.∴BC＝30.
即船与灯塔间的距离为30km.
考点二 测量高度
命题点
1.同一平面内的高度测量
2.不同平面内的高度测量
[例2] (1)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB＝45°，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD＝，则AD的距离为________米．
解析：设AD＝x，则BD＝9－x，CD＝，在△ACD中应用正弦定理得＝，即＝，
所以2[92＋(9－x)2]＝26x2，即81＋81－18x＋x2＝13x2，所以2x2＋3x－27＝0，
即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3米．
答案：3
(2)如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝20 m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．
解：设旗杆的高度为h，
由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.
在Rt△AOP中，OA＝＝h.
在Rt△BOP中，OB＝＝h.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos 60°，
即202＝(h)2＋h2－2h×h×.
解得h2＝≈176.4.
∴h≈13.3(m)．
∴旗杆的高度约为13.3 m.
[方法引航] 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.
1．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B
两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( )
A．(30＋30)m B．(30＋15)m
C．(15＋30)m D．(15＋15)m
解析：选A.在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝.
由正弦定理得PB＝＝30(＋)，
∴建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.故选A.
2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
A．10m B．20 m
C．20m D．40 m
解析：选D.设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.
考点三 测量角度
命题点
1.测量方向角或方位角
2.测量仰角、俯角、张角或视角
[例3] (1)如图所示，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小是________．
解析：依题意，得AD＝20 m，AC＝30m.
在△ACD中，CD＝50 m，由余弦定理，得
cos∠CAD＝＝＝，
由0°＜∠CAD＜180°，知∠CAD＝45°.
答案：45°
(2)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．(参考数据sin 21.8°＝)
解：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋92t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需h才能靠近渔轮．
[方法引航] 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长.解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.
1．如图所示，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)求∠BAC的正弦值．
解：(1)在△ABC中，由已知，得
AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30 cos 120°＝4 900，
所以AC＝70(海里)．
故A，C两岛之间的距离是70海里．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠BAC＝＝＝.
故∠BAC的正弦值是.
2．在本例(1)中，若已知条件不变从A点看C点的仰角的正弦值是多少？
解析：作AE⊥CD于E点．
从A看C点的仰角为∠CAE.在Rt△ACE中，CE＝50－20＝30，AC＝30
∴sin∠CAE＝＝＝.
即从A看C点的仰角的正弦值为.
[思想方法]
函数方程思想在解三角形实际问题中的应用
[典例] 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
[解] (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝
＝＝.
故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇．
则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
故v2＝900－＋.
∵0＜v≤30，
∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.
又t＝时，v＝30，
故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.
故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．
[回顾反思] (1)三角形中的最值问题，可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题．
(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义．
[高考真题体验]
1．(2014·高考四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
解析：选C.由题图知AB＝＝，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°，在△ABC中，由正弦定理得＝，可得BC＝120(－1)．
2．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB
＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝____________m.
解析：根据题图所示，AC＝100m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝⇒AM＝100m.
在△AMN中，＝sin 60°，
∴MN＝100×＝150(m)．
答案：150
3．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
解：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°.在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600 m．由正弦定理可得＝，即BC＝300m.在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300m，所以tan 30°＝＝，所以CD＝100m.
答案：100
4．(2013·高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B
匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由＝，得
AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040m.
(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，
解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．
课时规范训练
A组 基础演练
1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )
A．10° B．50°
C．120° D．130°
解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.
2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速率是每小时( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
解析：选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10海里/小时．
3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船的实际航程为( )
A．2km B．6 km
C．2km D．8 km
解析：选B.v实＝＝2.
∴实际航程＝2×＝6(km)．故选B.
4．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )
A．10 km B．10km
C．10km D．10km
解析：选D.由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.
又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，
∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.
∴AC＝10.
5．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )
A．28海里/小时 B．14海里/小时
C．14海里/小时 D．20海里/小时
解析：选B.如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，
∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．
6．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.
解析：h＝20＋20tan 60°＝20(1＋)m.
答案：20(1＋)
7．为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析：在△BCD中，由正弦定理，得＝，解得BC＝10米，∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10米．
答案：10
8．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是________m.
解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，
则∠ABO＝45°，
∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，
解得AO＝m.
答案：
9．某观测站C在目标A的南偏西25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A处走，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？
解：如题图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cos B＝＝，
所以sin B＝.
在△ABC中，AC＝＝24，
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，
得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，
所以AD＝AB－BD＝15.
故此人在D处距A有15千米．
10.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos
120°＝784.解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为＝＝14(海里/时)．
(2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得＝.
即sin α＝＝＝.
B组 能力突破
1．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )
A．100米 B．400米
C．200米 D．500米
解析：选D.由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得
3h2＝h2＋5002＋h·500，
解之得h＝500(米)．
2．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的持续时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
解析：选B.设t小时后，B市处于危险区内，
则由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.
化简得：4t2－8t＋7≤0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.
3．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，sin θ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，
∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，
∴sin θ＝.
4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站10海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．
解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得
cos∠ADC＝
＝＝.
∴∠ADC＝60°，在△ABD中由已知得∠ABD＝30°.
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(分钟)．
答案：
5．如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速率为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴DB＝＝
＝＝＝10(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20(海里)．
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900.
∴CD＝30(海里)．则需要的时间t＝＝1(小时)．
高考规范答题 三角形类考题
[典例] (本题满分12分)在△ABC中，点D是BC边上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求B.
标准答案·满分模板
[解] (1)由正弦定理，得＝，＝，2分
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，………………1分
所以＝＝.………………2分
(2)因为C＝180°－(∠BAC＋B)，∠BAC＝60°，………………2分
所以sin C＝sin(∠BAC＋B)
＝cos B＋sin B．………………2分
由(1)知2sin B＝sin C，………………1分
所以tan B＝，B＝30°.………………2分.
[规范答题] (1)踩点说明
①只要写对两个正弦定理表达式，就得2分．
③只要得出结果＝，就得2分．
⑤只要写对sin C＝cos B＋sin B得2分．
⑦只要得出结果B＝30°，不管过程，得2分．
(2)答题要求
①解题过程分步表达：分步列式表达是争取满分的好习惯．
如第(1)问，正确列出两个正弦定理表达式，得2分．
如第(2)问用三角形内角和代换得1分，得出B，C关系，得1分．
②充分挖掘隐含条件：解题过程中用上隐含条件，是得满分的根本保证
如第(1)问中由sin∠BAD＝sin∠CAD，就能顺利得出＝＝.
③充分利用第(1)问结果：若第(1)问与第(2)问有关系，可直接利用第(1)问结果来简化计算，如第(1)问sin B∶sin C＝1∶2
④利用定理、公式．评分细则针对解题中用到的定理，公式给分，如第(1)问利用正弦定理；第(2)问要用到三角公式．
专题测试二 三角函数与解三角形
(时间90分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的顶点在原点，始边为x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，m)，则sin 2α＝( )
A．± B.
C．± D.
解析：选D.本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦．由题意得tan α＝，则sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.
2.已知sin＝cos(π－α)，则α的取值范围是( )
A．{α|α＝2kπ＋，k∈Z} B．{α|α＝2kπ－，k∈Z}
C．{α|α＝kπ＋，k∈Z} D．{α|α＝kπ，k∈Z}
解析：选C.根据诱导公式可知，sin＝cos α，
cos(π－α)＝－cos α，∵sin＝cos(π－α)，
∴cos α＝－cos α，∴cos α＝0，∴α＝kπ＋，k∈Z.
3．函数y＝sin24x是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：选B.∵y＝sin24x＝＝－cos 8x，
∴函数y＝sin24x是最小正周期为的偶函数．
4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则ω和φ的取值是( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
解析：选C.由题图可知＝－＝π，∴T＝4π，∴ω＝＝，∴f(x)＝sin，将代入可求得φ＝.
5．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.本题主要考查两角差的正切公式．因为α＋＝(α＋β)－，所以tan＝tan＝＝.
6．已知函数f(x)＝3sin ωx(ω＞0)的周期是π，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝3sin
B．g(x)＝3sin
C．g(x)＝－3sin
D．g(x)＝－3sin
解析：选B.由题意知＝π，∴ω＝2，则f(x)＝3sin 2x，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝3sin的图象，则g(x)＝3sin.
7．函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小正周期和最小值分别为( )
A．π，2－ B．π，0
C．2π，0 D．2π，2－
解析：选A.y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin＋2.∵ω＝2，∴T＝＝π，则函数的最小正周期为π.令2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，ymin＝2－，则函数的最小值为2－.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，cos(A＋B
)＝，则c＝( )
A．4 B.
C．3 D.
解析：选D.由题意求出cos C，利用余弦定理求出c即可．∵cos(A＋B)＝，∴cos C＝－.在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝－，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，∴c＝.
9．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围可以是( )
A. B.
C. D. (0,2]
解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．
法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx＋∈，不符合题意，排除D；令ω＝⇒ωx＋∈，不符合题意，排除B，C.故选A.
法二：y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，则k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z，又由4k＋－＝2k－＜0，k∈Z得k＝0，所以ω∈，故选A.
10．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析：选B.本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质等知识．由题意可得平移后的函数为
y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件．
11．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2sin(A＋B)－＝0，则c＝( )
A．4 B.
C．2 D．3
解析：选B.∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
又2sin(A＋B)－＝0，即sin(A＋B)＝，
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，
又C为锐角，∴cos C＝＝.
根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝6，∴c＝(负值舍去)．
12．已知函数y＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则函数y＝asin x＋cos x的图象关于直线( )
A．x＝对称 B．x＝对称
C．x＝对称 D．x＝π对称
解析：选C.y＝sin x＋acos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝a.
因为函数y＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.
由此可得a＝tan φ＝tan＝－，k∈Z，
则函数y＝asin x＋cos x＝－sin x＋cos x＝－sin，其对称轴方程是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，当k＝1时，对称轴方程为x＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．)
13．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：本题主要考查两角和的正弦公式的应用和三角函数最值的求解．f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.
答案：1
14．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为________．
解析：本题主要考查三角函数的周期和函数图象的翻折变换等知识，数形结合是解题的关键．①y＝cos|2x|的最小正周期为π；②y＝|cos x|的最小正周期为π；③y＝cos的最小正周期为π；④y＝tan的最小正周期为.所以最小正周期为π的所有函数为①②③.
答案：①②③
15．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．
解析：本题考查三角函数的图象和性质．设直线x＝a与函数f(x)＝sin x图象的交点为M(a，y1)，直线x＝a与函数g(x)＝cos x图象的交点为N(a，y2)，则MN
＝|y1－y2|＝|sin a－cos a|＝|sin|≤.
答案：
16．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.
解析：本题主要考查解三角形的实际应用．在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得＝，即＝，所以BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15×＝15(m)．
答案：15m
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝cos 4x－2cos2＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)由题意知，f(x)＝cos 4x－cos＝cos 4x＋sin 4x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝.
(2)∵－≤x≤，∴－≤4x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴函数f(x)的取值范围为[－，2]．
18．(本小题满分10分)三角形的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c
，且满足a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若2bcos A＝(ccos A＋acos C)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
解：(1)由余弦定理得cos B＝＝＝.
因为B是三角形的内角，所以B＝.
(2)由正弦定理得＝＝，代入2bcos A＝(ccos A＋acos C)
∴2sin Bcos A＝sin(A＋C)．
∴cos A＝，A∈(0，π)，A＝
设CM＝m，则AC＝2m.
在△ACM中，7＝4m2＋m2＋2m2，∴m2＝1，m＝1，m＝－1(舍去)，
∴AC＝BC＝2
∴S△ABC＝CA·CB·sinπ＝×2×2×＝.
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