【数学】2019届一轮复习苏教版变换的复合与矩阵的乘法学案 4页

‎2019届一轮复习苏教版 变换的复合与矩阵的乘法 学案 一、矩阵的乘法运算 矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点.‎ ‎　已知二阶矩阵M满足M＝，M＝，求M2.‎ ‎【解】　设M＝，‎ 由M＝得＝，‎ 所以a＝1，c＝0.‎ 由M＝得＝，‎ 所以b＝1，d＝2.‎ 所以M＝.‎ 所以M2＝＝.‎ 所以M2＝＝.‎ 二、矩阵的乘法与变换的复合问题 以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点.‎ ‎　在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O(0，0)，A(2，0)，B(1，)，求 △OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积，其中M＝，‎ N＝. ‎ ‎【导学号：30650030】‎ ‎【解】　MN＝ ‎＝ ‎＝.‎ 又因为＝，‎ ＝，‎ ＝，‎ 所以O，A，B三点在矩阵MN的作用变换下所得点分别为O′(0，0)，A′(2，0)，B′(2，－1)，‎ 所以S△O′A′B′＝×2×1＝1.‎ 故△OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积为1.‎ ‎　已知矩阵A＝，B＝，求抛物线y2＝x经过矩阵AB作用下变换得到的曲线方程. ‎ ‎【导学号：30650031】‎ ‎【解】　AB＝＝.‎ 在曲线y2＝x上任取一点P(x，y)，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有＝，即即代入y2＝x，得y′＝x′2，所以曲线y2＝x经过矩阵AB作用下变换得到的曲线方程为y＝x2.‎ 三、数形结合思想 我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一.在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼.因此本章中始终贯穿数形结合的思想.‎ ‎　已知矩形ABCD，其中A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)、D(0，1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y轴的反射变换.‎ ‎(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M；‎ ‎(2)求点A、B、C、D在连续两次变换后所得到的结果；‎ ‎(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论.‎ ‎【解】　(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q＝，而关于y轴的变换矩阵为P＝，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得.‎ M＝PQ＝＝.‎ ‎(2)因为＝，＝，＝，＝.‎ 所以点A、B、C、D分别变换成点A″(0，0)、B″(0，2)、C″(1，2)、D″(1，0).如图所示.‎ ‎(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示.‎ ‎ ‎