【数学】2019届一轮复习北师大版离散型随机变量的期望与方差学案 45页

第92题 离散型随机变量的期望与方差 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】设随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ A． B． C． D．‎ 则 （ ）‎ ‎【答案】B ‎【例2】已知离散型随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则的数 期望 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎【例3】抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在100次实验中成功次数X的均值为 ．‎ 精彩解读 ‎【试题 】例1：人教A版选修2-3P68A组T2改编；例2：人教A版选修2-3P64T2改编；例3：人教A版选修2-3P69B组T1改编．‎ ‎【母题评析】这类题主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力．‎ ‎【思路方法】‎ ‎1．利用离散型随机变量及其分布列的概念、离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的期望与方差计算公式及其性质解决问题．‎ ‎2．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵成功次数服从二项分布，每次试验成功的概率为，∴在100次试验中，成功次数的期望为．‎ 要注意应用计数原理、古典概型等知识．‎ ‎3．求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．注意，的应用．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考山东理18】在心理 研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．‎ ‎（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率．‎ ‎（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数 期望EX．‎ ‎【答案】（I）(II)X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数 期望是．‎ ‎【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含 ‎【命题意图】这类题经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量及其分布列的概念、离散型随机变量的期望与方差的计算．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，一般是解答题，难度低中等．‎ ‎【难点中心】‎ ‎1．‎ 的事件为M，则 ‎（II）由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4．则 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ : ]‎ X的数 期望是 ‎．‎ ‎【例2】【2017高考北京理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．‎ ‎（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ 求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数 期望公式计算出数 期望；善于灵活运用两性质：一是；二是检验分布列的正误．列出离散型随机变量概率分布列及计算数 期望是理 高考数 必考问题．‎ ‎2．求解离散型随机变量的数 期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”‎ ‎（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机 ．选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1．7的人数，求的分布列和数 期望E（）；‎ ‎（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）‎ ‎【答案】（Ⅰ）0．3；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给数据数出的个数，再除以50就是概率；（Ⅱ）由图可知两人，根据超几何分布写出分布列，，，并求数 期望；（Ⅲ）方差表示数据的离散程度，波动越大，方差越大，波动小，方差小．‎ 试题解析：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故的期望．‎ ‎（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标 ‎，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数 期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（）求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．‎ 数据的方差大于未服药者指标数据的方差．‎ ‎【例3】【2017高考天津理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．‎ ‎（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数 期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎【答案】 (1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数 期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和．‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数 期望．‎ ‎（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ‎．‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为．‎ ‎【例4】【2017高考新课标3理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ 最高气温 ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数 期望达到最大值？‎ ‎【答案】(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数 期望达到最大值，最大值为520元．‎ 试题解析：（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知，，．‎ 因此的分布列为 ‎0．2‎ ‎0．4‎ ‎0．4‎ ‎⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑．‎ 当时，若最高气温不低于25，则，‎ 若最高气温位于区间，则；‎ 若最高气温低于20，则；‎ 因此．‎ 当时，若最高气温不低于20，则；‎ 若最高气温低于20，则；‎ 因此．‎ 所以n=300时，Y的数 期望达到最大值，最大值为520元．‎ ‎【例5】【2017高考江苏23】已知一个口袋有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；‎ ‎ （2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数 期望，证明：‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】解：(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．‎ ‎(2) 随机变量 X 的概率分布为：‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量 X 的期望为：．‎ 所以 ‎．‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．离散型随机变量 ‎ ‎⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母等表示．‎ ‎⑵离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．‎ ‎⑶连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．‎ ‎⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．‎ ‎ 若是随机变量，是常数）则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列 ‎⑴概率分布（分布列） 设离散型随机变量可能取的不同值为，…，，…，，的每一个值（）的概率，则称表 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 为随机变量的概率分布，简称的分布列．‎ 性质：①；②‎ ‎⑵两点分布 如果随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ 则称服从两点分布，并称为成功概率．‎ ‎⑶二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是 其中，于是得到随机变量的概率分布如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎…‎ n ‎…‎ ‎…‎ 我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称p为成功概率．‎ 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：‎ ‎①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了次；‎ ‎③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等．‎ 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是 ‎⑷超几何分布[ : xx ]‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎…‎ 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为，于是得到随机变量的概率分布如下：其中，．‎ 我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列，且称随机变量服从超几何分布．‎ 注：⑴超几何分布的模型是不放回抽样；‎ ‎⑵超几何分布中的参数是其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量．‎ ‎4、离散型随机变量的均值与方差 ‎⑴离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 则称为离散型随机变量的均值或数 期望（简称期望）．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ 性质：‎ ‎①；②若服从两点分布，则；③若，则 ‎⑵离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量的分布列为 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…[ : |xx| ]‎ 则称为离散型随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度．‎ 越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；越大，的稳定性越差，波动越大，取值越分散．‎ 性质：①；②若服从两点分布，则；③若，则 IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等或偏易．‎ ‎【技能方法】‎ ‎1．求离散型随机变量X的分布列的步骤：‎ ‎(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)；‎ ‎(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；‎ ‎(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．‎ 提醒　求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，‎ 然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．‎ ‎2．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：‎ ‎(1)考察对象分两类；‎ ‎(2)已知各类对象的个数；‎ ‎(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．‎ ‎3．求离散型随机变量X的均值与方差基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；‎ ‎(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎【易错指导】‎ 掌握离散型随机变量的分布列，须注意：‎ ‎(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．‎ ‎(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．‎ ‎(3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 离散型随机变量及其分布列 解题模板：第一步 明确随机变量可能取哪些值；‎ 第二步 结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；‎ 第三步 按要求画出其分布列即可．‎ ‎【例1】随机变量X的分布列为P(X＝ )＝，c为常数， ＝1，2，3，4，则P的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知，＝1，解得c＝，∴．‎ ‎【例2】(1)抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 试写出随机变量的分布列 (用表格格式)；‎ ‎(2)抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）抛掷一颗骰子两次，共有种不同结果，当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时，有种情况，所以，由对立事件概率公式得，即可写出随机变量的分布列；（2）利用条件概率公式，即可得出结论．‎ 试题解析：(1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时，有6种情况，所以 ‎，由互斥事件概率公式得，)‎ 所以所求分布列是 ‎【名师点睛】求分布列的三种方法：‎ ‎（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；‎ ‎（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；‎ ‎（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有 次发生的概率求离散型随机变量的分布列． 8 ‎ ‎【例3】【2018辽宁凌源市联考】虽然吸烟有害健康，但是由于历史以及社会的原因，吸烟也是部分公民交际的重要媒介．世界卫生组织1987年11月建议把每年的4月7日定为世界无烟日，且从1989年开始，世界无烟日改为每年的5月31日．某报社记者专门对吸烟的市民做了戒烟方面的调查，经抽样只有的烟民表示愿意戒烟，将频率视为概率．‎ ‎（1）从该市吸烟的市民中随机抽取3位，求至少有一位烟民愿意戒烟的概率；‎ ‎（2）从该市吸烟的市民中随机抽取4位，表示愿意戒烟的人数，求的分布列及数 期望．‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．对离散型随机变量分布列的三点说明 ‎(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．‎ ‎(2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．‎ ‎(3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列的性质的应用 ‎(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列；‎ ‎(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．两名 生参加考试，随机变量x代表通过的 生数，其分布列为 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 那么这两人通过各自考试的概率最小值为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 所以这两人通过各自考试的概率最小值为．故选B．‎ ‎2．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为________．‎ ‎【答案】‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎【解析】由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2．‎ ‎．‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎【名师点睛】‎ ‎（1）求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．‎ ‎（2）求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用两个计数原理、各种概率类型等知识．‎ ‎3．【2018广西两校联考】交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10 ‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20 ‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30 ‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0 ‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10 ‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30 ‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，．某同 家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数 期望值；（数 期望值保留到个位数字）‎ 某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．‎ ‎②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-5000，10000．‎ 所以的分布列为：‎ ‎-5000‎ ‎10000‎ 所以．‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．‎ 考向2 离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数 高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题．复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练．‎ 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：‎ 第一步，确定随机变量的所有可能值；第二步，求每一个可能值所对应的概率；第三步，列出离散型随机变量的分布列；第四步，求均值和方差；第五步，反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎【例4】【2018北京顺义区高三二模】2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程．某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的 生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：‎ 某班 满意 不满意 男生 ‎2‎ ‎3‎ 女生 ‎4‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数 ‎（Ⅱ）在该班全体 生中随机抽取一名 生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；‎ ‎（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为，求随机变量的分布列及其数 期望．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设女生人数为X，男生人数为Y，由题X-Y=4 （1）‎ 又由分层抽样可知，（2）联立（1）（2）可解得X，Y．‎ ‎（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A则由古典概型可求；‎ ‎（Ⅲ）的可能取值有0，1，2，则由超几何分布可求的分布列及其数 期望．‎ 试题解析：（Ⅰ）不妨设女生人数为X，男生人数为Y，则可得X-Y=4 （1）‎ 又由分层抽样可知，（2）‎ 联立（1）（2）可解得X=24，Y=20．‎ ‎（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A，则基本事件的总数有11种，事件A中包含的基本事件有6种，所以 ‎（Ⅲ）的可能取值有0，1，2‎ 对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度 基本事件的总数为=55，其中包含的基本事件数有种 所以 同理：，‎ 所以分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以期望． 8 ‎ ‎【例5】【2018河北保定高三一模】某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）．要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数．已知三位顾客各买了一件衣服．‎ ‎（1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；‎ ‎（2）两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设为打折后两位顾客的消费总额，求的分布列和数 期望．‎ ‎【答案】(1) ；(2)答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求打6折的概率，再根据独立重复试验求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数 期望公式求期望．‎ 试题解析：打5，6，7，8折的概率分别为，‎ ‎（1）事件为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以；‎ ‎（2）的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为 ‎2000‎ ‎2200‎ ‎2400‎ ‎2600‎ ‎2800‎ ‎3000‎ ‎3200‎ 元．‎ ‎【例6】【2018北京朝阳区高三3月综合练习（一模）】某地区高考实行新方案，规定：语文、数 和英语是考生的必考 目，考生还须从物理、化 、生物、历史、地理和政治六个 目中选取三个 目作为选考 目．若一个 生从六个 目中选出了三个 目作为选考 目，则称该 生的选考方案确定；否则，称该 生选考方案待确定．例如， 生甲选择“物理、化 和生物”三个选考 目，则 生甲的选考方案确定，“物理、化 和生物”为其选考方案．‎ 某 校为了解高一年级420名 生选考 目的意向，随机选取30名 生进行了一次调查，统计选考 目人数如下表：‎ 性别 选考方案确定情况 物理 化 ‎ 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有8人 ‎8‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 选考方案待确定的有6人 ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 女生 选考方案确定的有10人 ‎8‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ 选考方案待确定的有6人 ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）估计该 校高一年级选考方案确定的 生中选考生物的 生有多少人？‎ ‎（Ⅱ）假设男生、女生选择选考 目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史 的概率；‎ ‎（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数 期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）140人．（Ⅱ） ．（Ⅲ）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：第一问根据题中所给的统计表，可以得出选考方案确定的有18人，这18人中，选考生物的有10人，所占比例是，在这30人中，选考方案确定的人所占比例是，该校高一年级共420人，所以可以得出 校高一年级选考方案确定的 生中选考生物的 生有人；第二问从表中可以得出所选男生选考方案含有历史 的概率为，所选女生选考方案含有历史 的概率为，根据相互独立事件同时发生的概率公式求得结果；第三问根据统计表写出所选的两名男生所选的目，找出对应的的取值为，分析取每个值时对应的概率，从而得出分布列，利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果．‎ ‎（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的 生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的 生有6人，‎ 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史 的概率为．‎ ‎（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化 和生物；有2人选择物理、化 和历史；有1人选择物理、化 和地理；有1人选择物理、化 和政治．由已知得的取值为．‎ ‎，或．‎ 所以的分布列为 所以． * + ‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018重庆高三4月调研测试（二诊）】重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里0．2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：‎ 将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．‎ ‎（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；‎ ‎（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有天为“最优选择”，求的分布列和数 期望．‎ ‎【答案】(1)16．96，(2) ‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：‎ 估计小刘平均每天用车费用为．‎ ‎（2）可能的取值为0，1，2，‎ 用时不超过45分钟的概率为0．8，，‎ ‎，，，‎ ‎．‎ ‎2．【2018衡水金卷信息卷（一）】2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．‎ 方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘 (如图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次．‎ 方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次．‎ ‎（1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；‎ ‎（2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会．‎ ‎①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数 期望；‎ ‎②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？‎ ‎【答案】(1) (2) ①见解析②该顾客选择第一种抽奖方案更合算 ‎【解析】试题分析：（1）由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为，设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件，则，结合乘法概率公式得到这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；‎ ‎（2）①方案一：可能的取值为60，100，140，180，方案二：，故；‎ ‎②由①知，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．‎ 试题解析：‎ ‎（1）选择方案一，若要享受到180元的现金优惠，则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域，由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为．‎ 设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件，‎ 则，‎ 所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为．‎ ‎（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为，每一次转盘指向20元对应区域的概率为．‎ 设获得现金奖励金额为元，则可能的取值为60，100，140，180．‎ 则；；‎ ‎；．‎ 所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数 期望为（元）．‎ 若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为，最终获得现金奖励金额为元，则，故，所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数 期望为（元）．‎ ‎②由①知，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．‎ ‎3．【2018湖南衡阳高三二模】某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径 服从正态分布．‎ ‎(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所 知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；‎ ‎(2)如果钢管的直径满足为合格品（合格品的概率精确到0．01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数 期望．‎ ‎（参考数据：若，则；．‎ ‎【答案】（1）有道理；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为，．此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理；（2）次品数 的可能取值为，根据根据排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数 期望．‎ ‎ (2) ，由题意可知钢管直径满足：为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0．95．‎ ‎60根钢管中，合格品 57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数 的可能取值为：0，1，2，3．‎ ‎．‎ 则次品数的分布列列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 得：． 5 ‎ ‎4．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】甲乙两名运动员互不影响地进行四次设计训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲乙射击成绩（环数）的分布列如下：‎ ‎（I）求，的值；‎ ‎（II）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；‎ ‎（III）若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列和数 期望．‎ ‎【答案】(1) ， (2) （3）见解析 试题解析：（1）由题意易得，．‎ ‎（II）记事件：甲命中1次9环，乙命中2次9环，事件：甲命中2次9环，乙命中1次9环，则四次设计中恰有三次命中9环为事件，‎ ‎∴．‎ ‎（III）的取值分别为0，1，2，，‎ ‎，．‎ ‎∴．‎ 考向3 两点分布与二项分布 ‎【例7】【2018山西运城市芮城中 高二下 期期末考试】已知随机变量满足，，．若，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】随机变量分布为“两点分布”，所以（相当于的二次函数，对称轴为），又因为，所以，‎ ‎【例8】【2018重庆一中高三下 期第一次月考】北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市名高中女生的身高（单位：）服从正态分布．现从某高中女生中随机抽取名测量身高，测量发现被测 生身高全部在和之间，现将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎(1)求这名女生身高不低于的人数；‎ ‎(2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人，将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为，求的数 期望．‎ 参考数据：， ，‎ ‎【答案】(1) 人；(2) 见解析．‎ ‎【解析】试题分析：(1)由直方图知，求得后组频率，进而可求得这名女生身高不低于的人数；(2)由题意，求得这人中以上的有人，得出随机变量可取，求得随机变量取每个值得概率，列出分布列，利用公式求解数 期望．‎ 试题解析：(1)由直方图知，后组频率为，人数为，即这名女生身高不低于的人数为人；‎ ‎ (2)∵，∴ ‎ ‎∴．，则全市高中女生的身高在以上的有人，这 人中以上的有人．随机变量可取，于是，，‎ ‎∴． 6 ‎ ‎【例9】【2018福建龙岩市高中毕业班教 质量检查】世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大 生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大 生旅游是一个巨大的市场．为了解大 生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大 的名 生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：‎ 组别 频数 ‎（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；‎ ‎（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为 生的旅游费用支出服从正态分布，若该所大 共有 生人，试估计有多少位同 旅游费用支出在元以上；‎ ‎（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的名 生中有名女生，名男生，现想选其中名 生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数 期望．‎ 附：若，则，‎ ‎，．‎ ‎【答案】（1）中位数为；（2）估计有位同 旅游费用支出在元以上；（3）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据中位数的概念的到，解出即可；（2）根据正态分布的公式得到 ‎ ，再乘以总数得到结果；（3）根据题意得到Y符合超几何分布，分别求出的可能取值为，，，时的概率值，进而得到分布列和均值．‎ ‎（Ⅱ），，，旅游费用支出在元以上的概率为 ，，‎ 估计有位同 旅游费用支出在元以上．‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎∴的分布列为 ‎ ．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河北省故城县高级中 个三4月月考】如果随机变量，且，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依据贝努力分布的数 期望、方差的计算公式可得方程组：，则，应选答案C．‎ ‎【名师点睛】贝努力分布是随机变量的概率分布中的重要分布，求解时充分借助题设条件和贝努力分布中数 期望和方差的计算公式，巧妙建立方程组，通过解方程组求出使得问题巧妙获解．‎ ‎2．【2018山西榆社中 高三诊断性模拟考试】若随机变量服从二项分布，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据二项分布中概率的计算公式，‎ 则有，‎ ‎，因此有．故选D．‎ ‎3．【2018内蒙古呼和浩特高三第一次质量调研】为了了解校园噪音情况， 校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了天的监测，得到如下统计表：‎ 噪音值（单位：分贝）‎ 频数 ‎（1）根据该统计表，求这天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）．‎ ‎（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过分贝，视为轻度噪音污染．”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：‎ ‎（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率．‎ ‎（ii） 校要举行为期天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这 天校园出现的重度噪音污染天数记为，求的分布列和方差．‎ ‎【答案】(1)61．8；(2)(i) ；(ii)答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析：根据该统计表，同一组的数据用该组组间的中点值作代表，可求这天校园噪音值的样本平均数；（2）（i）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，“出现轻度噪音污染”的概率为，设事件为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，利用独立重复试验的概率可求求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率．（ii）由题意，服从二项分布，求的分布列和方差．‎ 试题解析：（1）由数据可知 ‎（2）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，“出现轻度噪音污染”的概率为，‎ 设事件为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则 ‎（3）由题意，则．‎ 故分布列为 ‎．‎ ‎4．【2018北京丰台区高三一模】某地区工会利用 “健步行”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为类会员，年龄大于40岁的会员为类会员．为了解会员的健步走情况，工会从两类会员中各随机抽取 名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为，，，，，，，，九组，将抽取的类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）从该地区类会员中随机抽取名，设这名会员中健步走的步数在千步以上（含千步）的人数为，求的分布列和数 期望；‎ ‎（Ⅲ）设该地区类会员和类会员的平均积分分别为和，试比较和的大小（只需写出结论）．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，根据上表的数据，即可求解和的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13‎ 千步以上的概率为，根据二项分布求得各自的概率，列出分布列，即可求解数 期望；‎ ‎（Ⅲ）根据平均分的计算公式，即可作出比较．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可得，从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为．所以，‎ ‎；；‎ ‎；．‎ 所以，的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎． ‎ ‎（Ⅲ）． + 0 ‎ 考向4 超几何分布问题的求解 解题模板：第一步，分析题意，写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否属于古典概型；第二步，运用古典概型的计算概率公式计算随机变量所有取值所对应的概率；第三步，画出随机变量的分布列并得出结论．‎ ‎【例10】【2018湖南两校联考】微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．‎ ‎（1）确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2‎ ‎）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数 期望．‎ 使用微信时间（单位：小时）‎ 频数 频率 ‎（0，0．5]‎ ‎3‎ ‎0．05‎ ‎（0．5，1]‎ x p ‎（1，1．5]‎ ‎9‎ ‎0．15‎ ‎（1．5，2]‎ ‎15‎ ‎0．25‎ ‎（2，2．5]‎ ‎18‎ ‎0．30‎ ‎（2．5，3]‎ y q 合计 ‎60‎ ‎1．00‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ · 1 ‎ ‎【例11】【2018辽宁沈阳东北育才 校高三第三次模拟】随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎0‎ 手机支付 ‎(1)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为，求的分布列及数 期望；‎ ‎(2)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？‎ 手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计 可能用到的公式：‎ 独立性检验临界值表：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）超几何分布列（2）根据上表填2×2列联表，根据公式算出卡方与数据进行比较．‎ 试题解析：（1）年龄在 [55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X可能取值为0，1，2‎ ‎ ；；‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎（2）2×2列联表如图所示 手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 中老年 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ 没有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联 ‎【例12】【2018百校联盟TOP20三月联考】某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出个获得利润元，未售出的每个亏损元．根据以往天的资料统计，得到如下需求量表．元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕个．以（单位：个，）表示这天的市场需求量．（单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润．‎ 需求量/个 天数 ‎15‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（1）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；‎ ‎（2）当时，根据上表，从利润不少于元的天数中，按需求量分层抽样抽取天，‎ ‎（ⅰ）求这天中利润为元的天数；‎ ‎（ⅱ）再从这天中抽取天做进一步分析，设这天中利润为元的天数为，求随机变量的分布列及数 期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）当，，当，‎ ‎，分别代入计算和，即可比较大小；‎ ‎（2）根据表格计算润不少于元的天数为60天，‎ ‎（ⅰ）由分层抽样得利润为元的天数有天；‎ ‎（ⅱ）根据题意，随机变量的可能取值为，，，，，分别计算概率得分布列，进而得数 期望．‎ 时，．所以 当时，（元）．故．‎ ‎（2）当，即，∴，[ : X X ]‎ 又，所以，共有天利润大于元．‎ ‎（ⅰ）按分层抽样抽取天，其中利润为元的天数有（天）．‎ ‎（ⅱ）根据题意，随机变量的可能取值为，，，，‎ ‎，，，．‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018山东济南外国语 校模拟】2017高考年3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2017高考年5月计划首飞，AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测、根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起，现从10起灾情中任意选取3起．‎ ‎（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；[ : ]‎ ‎（2）设表示取到的森林灭火的数目，求的分布列与数 期望．‎ ‎【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．‎ ‎2．【2018陕西渭南市高三教 质量检测一】某班共名同 ，在一次数 考试中全班同 成绩全部介于分到分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组 ‎，第二组，，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，将成绩大于或等于分且小于分记为“良好”，分以上记为“优秀”，不超过分则记为“及格”．‎ ‎（1）求该班 生在这次数 考试中成绩“良好”的人数；‎ ‎（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记为取得第一组成绩的个数，求的分布列与数 期望．‎ ‎【答案】(1) 人；(2)答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意由频率分布直方图知，成绩在内的人数为：27人；（2）第一、五组中共7人，，根据超几何分布的公式得到分布列设期望．‎ ‎（2）由题意 ‎，，．‎ 则的分布列为：‎ 的期望为． / . ‎ ‎3．【2018衡水金卷（一）】第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政数处为了调查 生对“一带一络"的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)，如茎叶图所示．‎ ‎(1)写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名 生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；‎ ‎(2)从所轴取的70分以上的 生中再随机选取4人．‎ ‎①记表示选取4人的成绩的平均数，求；‎ ‎②记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布列和数 期望．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)①．；②．答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校 生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）①由题意知分以上的有，，，，，，，，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是：，，，，共1种；另一类是：，，，，共3种．由此能求出；②由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．‎ ‎ (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94．‎ 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类．‎ 一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种．所以 ．‎ ‎②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ 的分别列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎．‎