湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2021届高三9月联考数学试题 Word版含答案 4页

龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020年秋季学期 高三九月联考 数 学 试 题 本试卷共2页，共22题。满分150分，考试用时120分钟 ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设全集，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．己知，则下列各式成立的是 ‎ A． B． C. D．‎ ‎3．已知函数，则函数的定义域为 ‎ A. B． C. D.‎ ‎4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5．设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.若函数对，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数．下列函数中是函数的为 ‎①，②， ③， ④‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎8．定义:若函数在区间上存在,满足,‎ ‎,则称函数是在区间上的一个双中值函数.已知函数是区间上的双中值函数,则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9. 某地某所高中 2020 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2020年的高考升学情况，得到如下柱图,则下列结论正确的是 ‎ 2016年高考数据统计 2020年高考数据统计 A. 与 2016 年相比，2020 年一本达线人数有所增加 ‎ B. 与 2016 年相比，2020 年二本达线人数增加了0.5 倍 ‎ C. 与 2016年相比，2020 年艺体达线人数相同 ‎ D. 与 2016 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 ‎10.若，则 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11．已知定义 ‎ A． B.‎ ‎ C. D. 的图像关于对称 ‎12．‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 数学试题 第4页 共2页 ‎13. 若“”是假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎14.已知为偶函数,当时,,则曲线在点(1,0)处的切线方程是 .‎ ‎15.5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)‎ ‎16.已知函数，则方程的实根的个数为 ；‎ 若函数有三个零点，则的取值范围是 ． ‎ 四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）设数列的前项和为，在①成等差数列.‎ ‎②成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答. ‎ 在公比为2的等比数列中， ‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若求数列的前n项和 ‎（注：如选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）‎ ‎18．（本小题满分12分）已知定义域为的函数且是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求不等式对恒成立时的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1：4，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上含的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c构成以2为公比的等比数列．‎ 求a，b，c的值；‎ 填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过 的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎6‎ 不获奖 合计 ‎400‎ 从获奖的学生中任选2人,求至少有一个文科生的概率.‎ 附：，其中．‎ k ‎20．（本小题满分12分）一动圆与圆外切，与圆内切；‎ ‎(1)求动圆圆心M的轨迹L的方程．‎ ‎(2)设过圆心的直线与轨迹L相交于A、B两点，请问（为圆的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若 不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的费用为500元.‎ ‎（1）求系统不需要维修的概率；‎ ‎（2）该电子产品共由3个完全相同的系统组成，设为电子产品需要维修的系统所需的费用，求 的分布列与数学期望；‎ ‎（3）为提高系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，问：满足什么条件时，可以提高整个系统的正常工作概率？‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎(1)设的导函数为，求的最小值；‎ ‎(2)设，当时，若恒成立，求的取值范围．‎ 数学试题 第4页 共2页 龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020年秋季学期 高三九月联考数学参考答案 一、单项选择题：1-4 DCDB 5-8 ACDA ‎ 二、多项选择题：9.AD 10. ACD 11. BCD 12. BCD ‎ 三、填空题: 13． 14． ‎ ‎15． 16．3，(第一空2分，第二空3分)‎ 四．解答题 ‎17．解：（1）选①：因为，，成等差数列，所以，‎ 所以，解得，所以． ……………………………………………5分 选②：因为成等差数列，所以 所以，解得，所以． …………………………………………………5分 ‎（2）因为，所以，‎ 所以， ………………………………………………………8分 所以……………………10分 ‎18．解：(1)∵是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴ ∴. ………………………………………… 4分 经检验：时，且是奇函数．故 ……………………5分 ‎（2）‎ ‎， ………………………………… 7分 而在R上单调递减，在R上单调递增，‎ 故判断在R上单调递减，………………………………………………………8分 不等式化为，，‎ 恒成立，…………………………………………………………………10分 ‎，解得. ………………………………………………12分 ‎19．解：由频率分布直方图可知，，‎ 因为a，b，c构成以2为公比的等比数列，所以，解得，‎ 所以，．故，，． ………………3分 获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1：4，‎ 所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为． ……………5分 由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人．于是可以得到列联表如下：‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 不获奖 ‎74‎ ‎306‎ ‎380‎ 合计 ‎80‎ ‎320‎ ‎400‎ ‎………………………………………………8分 所以在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关．…………9分 获奖的学生一共20人,其中女生6人,男生14人,从中任选2人,至少1名女生的概率为 ‎………………………………………………………………………………12分 ‎20. 解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．‎ 由题意，得， ………………………2分 由椭圆定义知M在以,为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，‎ ‎ ． ∴动圆圆心M的轨迹L的方程为…………………4分 ‎(2)如图，设内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形的面积 ‎ ‎ ‎ 当最大时，r也最大，内切圆的面积也最大，……………………………………5分 ‎ 设、，‎ ‎ 则， ………………………………………6分 ‎ 由，得，‎ ‎………………………………8分 ‎，令，则t≥1，且m2=t2-1，‎ 有，………………………10分 令，则，‎ 数学试题 第4页 共2页 当t≥1时，，f(t)在[1，+∞）上单调递增，有，，‎ 即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为 ‎∴存在直线的内切圆M的面积最大值为. ……………………………………12分 ‎21．解：（1）系统G不需要维修的概率为. …………………………2分 ‎（2）设为维修的系统G的个数，则，且，‎ 所以.………………………………4分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎1500‎ 所以的期望为元………………………………………………6分 ‎（3）当系统有5个电子元件时，‎ 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，‎ 则概率为；……………………………………………………………7分 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，‎ 则概率为； ……………8分 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，‎ 系统均能正常工作，则概率为.……………………………………………10分 所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，‎ 于是由知，当时，即时，‎ 可以提高整个系统的正常工作概率. ……………………………………………………12分 ‎22. 解：(1) ‎ 所以 所以 …………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)当时，若成立，‎ 即对恒成立，‎ 亦即对恒成立．………………………………………6分 ‎,所以在上单调递增．…………………8分 在上恒成立．‎ 令，则．‎ ①时，在上恒成立，，此时满足已知条件，…9分 ‎②当时，由，解得．‎ 当时，，此时在上单调递减；‎ 当时，，此时在上单调递增．‎ 的最小值，解得． ……………………………………11分 综上，的取值范围是 …………………………………………………………………12分 数学试题 第4页 共2页