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- 2021-06-24 发布
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§2.6 指数函数
考情考向分析 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题，题型一般为填空题，中低档难度．
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象与性质
a>1
00时，y>1；x<0时，00时，01
(3)在(－∞，＋∞)上是单调增函数
(3)在(－∞，＋∞)上是单调减函数
概念方法微思考
1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．
提示 c>d>1>a>b>0
2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．
提示 当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当01的解集为{x|x<0}．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(2)若am0，且a≠1)，则m0，a≠1)的图象关于y轴对称．( √ )
题组二 教材改编
2．[P71习题T11]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.
答案
解析 由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.
3．[P70习题T4]已知则a，b，c的大小关系是________．
答案 cb>1，
又
∴c0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
答案 或
解析 当01时，a2－a＝，
∴a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或.
题型一 指数型函数的图象
例1 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是________．
答案 ①
解析 f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①.
(2)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．
答案 (－∞，0]
解析 函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练1 方程2x＝2－x的解的个数是________．
答案 1
解析 方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
题型二 指数函数的性质
命题点1 比较指数式的大小
例2 (1)已知则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)
答案 b220，可知b15”连接)
答案 3a>a3>
解析 易知3a>0，<0，a3<0，又由－1，因此3a>a3>.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
答案
解析 当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________________．
答案 {x|x>4或x<0}
解析 ∵f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，
∴f(x)＝
当f(x－2)>0时，有或
解得x>4或x<0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
思维升华 指数函数的单调性和底数大小有关，应用函数的单调性最重要的是“同底”原则．
跟踪训练2 (1)已知f(x)＝2x－2－x，则f(a)，f(b)的大小关系是__________．
答案 f(b)f(b)．
(2)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是________．
答案 f(bx)≤f(cx)
解析 ∵f(x＋1)＝f(1－x)，
∴f(x)关于x＝1对称，
易知b＝2，c＝3，
当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，
当x>0时，3x>2x>1，
又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(bx)0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，
所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．
(3)若函数有最大值3，则a＝________.
答案 1
解析 令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
思维升华 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
答案 e
解析 f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝
当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；
当x<1时，f(x)>e.
故f(x)的最小值为f(1)＝e.
(2)若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________．
答案
解析 从已知不等式中分离出实数a，
得a≥－.
∵函数y＝x＋x在R上是减函数，
∴当x∈(－∞，1]时，x＋x≥＋＝，
从而得－≤－.
故实数a的取值范围为.
1．若指数函数f(x)＝(a2－3)x满足f(2)1，即a2>4，得a<－2或a>2.
2．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)·f(b)＝________.
答案 3
解析 ∵f(x)＝5x，∴f(a＋b)＝5a＋b＝3，
∴f(a)·f(b)＝5a×5b＝5a＋b＝3.
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)
答案 b1，所以b－x－4，
即x2－3x－4<0，∴－10，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
答案 [2，＋∞)
解析 由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．
7．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0)
解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈，
所以[－8,1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3，0)．
8．若“m>a”是“函数f(x)＝x＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为________．
答案 －1
解析 f(0)＝m＋，∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－，∵“m>a”是“m≥－”的必要不充分条件，∴a<－，则实数a能取的最大整数为－1.
9．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
答案 0
解析 当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；
当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－＝－2x为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，
所以函数g(x)的最小值是0.
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－1,2)
解析 原不等式变形为m2－m0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，
即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
13．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________．
答案
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2t.
当t<1时，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，则g′(t)＝3－2tln 2，
当t<1时，g′(t)>0，g(t)在(－∞，1)上单调递增，即g(t)<0，则方程3t－1＝2t无解．
当t≥1时，2t＝2t成立，由f(a)≥1，得a<1，且3a－1≥1，解得≤a<1；a≥1，且2a≥1，解得a≥1.
综上可得a的取值范围是.
14．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是______________．
答案 (0,4]
解析 因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，
所以f(x)＝2|x－1|.
作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
由题意知n－m>0.当m<1f(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)
答案 <
解析 f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，
即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.
16．已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
解 (1)f(x)＝－＋4＝2x－2λ·x＋4(－1≤x≤2)．
设t＝x，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4＝2＋.
所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2)．
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为.
故实数λ的取值范围是.
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