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  • 2021-06-24 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版指数函数学案

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‎§2.6 指数函数 考情考向分析 直接考查指数函数的图象与性质;以指数函数为载体,考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题,题型一般为填空题,中低档难度.‎ ‎1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R.‎ ‎2.指数函数的图象与性质 a>1‎ ‎00时,y>1;x<0时,00时,01‎ ‎(3)在(-∞,+∞)上是单调增函数 ‎(3)在(-∞,+∞)上是单调减函数 概念方法微思考 ‎1.如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系为________.‎ 提示 c>d>1>a>b>0‎ ‎2.结合指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0,a≠1)的解集跟a的取值有关.‎ 提示 当a>1时,ax>1的解集为{x|x>0};当01的解集为{x|x<0}.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( √ )‎ ‎(2)若am0,且a≠1),则m0,a≠1)的图象关于y轴对称.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P71习题T11]若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点P,则f(-1)=________.‎ 答案  解析 由题意知=a2,所以a=,‎ 所以f(x)=x,所以f(-1)=-1=.‎ ‎3.[P70习题T4]已知则a,b,c的大小关系是________.‎ 答案 cb>1,‎ 又 ‎∴c0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为________.‎ 答案 或 解析 当01时,a2-a=,‎ ‎∴a=或a=0(舍去).‎ 综上所述,a=或.‎ 题型一 指数型函数的图象 例1 (1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是________.‎ 答案 ①‎ 解析 f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又e|x|≥1,∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①.‎ ‎(2)若函数y=|4x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围为____________.‎ 答案 (-∞,0]‎ 解析 函数y=|4x-1|的图象是由函数y=4x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.‎ 由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k的取值范围是(-∞,0].‎ 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.‎ ‎(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.‎ 跟踪训练1 方程2x=2-x的解的个数是________.‎ 答案 1‎ 解析 方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数的图象(如图).‎ 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解.‎ 题型二 指数函数的性质 命题点1 比较指数式的大小 例2 (1)已知则a,b,c的大小关系是________.(用“<”连接)‎ 答案 b220,可知b15”连接)‎ 答案 3a>a3>‎ 解析 易知3a>0,<0,a3<0,又由-1,因此3a>a3>.‎ 命题点2 解简单的指数方程或不等式 例3 (1)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为______.‎ 答案  解析 当a<1时,41-a=21,解得a=;‎ 当a>1时,代入不成立.故a的值为.‎ ‎(2)若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为________________.‎ 答案 {x|x>4或x<0}‎ 解析 ∵f(x)为偶函数,‎ 当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=2-x-4,‎ ‎∴f(x)= 当f(x-2)>0时,有或 解得x>4或x<0.‎ ‎∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}.‎ 思维升华 指数函数的单调性和底数大小有关,应用函数的单调性最重要的是“同底”原则.‎ 跟踪训练2 (1)已知f(x)=2x-2-x,则f(a),f(b)的大小关系是__________.‎ 答案 f(b)f(b).‎ ‎(2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是________.‎ 答案 f(bx)≤f(cx)‎ 解析 ∵f(x+1)=f(1-x),‎ ‎∴f(x)关于x=1对称,‎ 易知b=2,c=3,‎ 当x=0时,b0=c0=1,∴f(bx)=f(cx),‎ 当x>0时,3x>2x>1,‎ 又f(x)在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f(bx)0),则y=t2-2t的单调增区间为[1,+∞),令2x≥1,得x≥0,又y=2x在R上单调递增,‎ 所以函数f(x)=4x-2x+1的单调增区间是[0,+∞).‎ ‎(3)若函数有最大值3,则a=________.‎ 答案 1‎ 解析 令h(x)=ax2-4x+3,y=h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,‎ 因此必有解得a=1,‎ 即当f(x)有最大值3时,a的值为1.‎ 思维升华 求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.‎ 跟踪训练3 (1)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为________.‎ 答案 e 解析 f(x)=max{e|x|,e|x-2|}= 当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;‎ 当x<1时,f(x)>e.‎ 故f(x)的最小值为f(1)=e.‎ ‎(2)若不等式1+2x+4x·a≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是____________.‎ 答案  解析 从已知不等式中分离出实数a,‎ 得a≥-.‎ ‎∵函数y=x+x在R上是减函数,‎ ‎∴当x∈(-∞,1]时,x+x≥+=,‎ 从而得-≤-.‎ 故实数a的取值范围为.‎ ‎1.若指数函数f(x)=(a2-3)x满足f(2)1,即a2>4,得a<-2或a>2.‎ ‎2.已知函数f(x)=5x,若f(a+b)=3,则f(a)·f(b)=________.‎ 答案 3‎ 解析 ∵f(x)=5x,∴f(a+b)=5a+b=3,‎ ‎∴f(a)·f(b)=5a×5b=5a+b=3.‎ ‎3.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是________.(用“<”连接)‎ 答案 b1,所以b-x-4,‎ 即x2-3x-4<0,∴-10,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是________.‎ 答案 [2,+∞)‎ 解析 由f(1)=,得a2=,‎ 所以a=或a=-(舍去),即f(x)=|2x-4|.‎ 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,‎ 所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.‎ ‎7.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是________.‎ 答案 [-3,0)‎ 解析 当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈,‎ 所以[-8,1],即-8≤-<-1,即-3≤a<0.‎ 所以实数a的取值范围是[-3,0).‎ ‎8.若“m>a”是“函数f(x)=x+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为________.‎ 答案 -1‎ 解析 f(0)=m+,∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m+≥0,即m≥-,∵“m>a”是“m≥-”的必要不充分条件,∴a<-,则实数a能取的最大整数为-1.‎ ‎‎ ‎9.已知函数f(x)=2x-,函数g(x)=则函数g(x)的最小值是________.‎ 答案 0‎ 解析 当x≥0时,g(x)=f(x)=2x-为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0;‎ 当x<0时,g(x)=f(-x)=2-x-=-2x为单调减函数,所以g(x)>g(0)=0,‎ 所以函数g(x)的最小值是0.‎ ‎10.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________.‎ 答案 (-1,2)‎ 解析 原不等式变形为m2-m0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).‎ ‎(1)求f(x)的表达式;‎ ‎(2)若不等式x+x-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24),‎ 所以 所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.‎ 所以f(x)=3·2x.‎ ‎(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,x+x-m≥0恒成立,‎ 即m≤x+x在(-∞,1]上恒成立.‎ 又因为y=x与y=x在(-∞,1]上均为减函数,所以y=x+x在(-∞,1]上也是减函数,所以当x=1时,y=x+x有最小值,所以m≤,即m的取值范围是.‎ ‎13.设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是________.‎ 答案  解析 令f(a)=t,则f(t)=2t.‎ 当t<1时,3t-1=2t,令g(t)=3t-1-2t,则g′(t)=3-2tln 2,‎ 当t<1时,g′(t)>0,g(t)在(-∞,1)上单调递增,即g(t)<0,则方程3t-1=2t无解.‎ 当t≥1时,2t=2t成立,由f(a)≥1,得a<1,且3a-1≥1,解得≤a<1;a≥1,且2a≥1,解得a≥1.‎ 综上可得a的取值范围是.‎ ‎14.若函数f(x)=2|x+a|(a∈R)满足f(1-x)=f(1+x),f(x)在区间[m,n]上的最大值记为f(x)max,最小值记为f(x)min,若f(x)max-f(x)min=3,则n-m的取值范围是______________.‎ 答案 (0,4]‎ 解析 因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=-1,‎ 所以f(x)=2|x-1|.‎ 作出函数y=f(x)的图象如图所示.‎ 由题意知n-m>0.当m<1f(c),则2a+2c______4.(选填“>”“<”“=”)‎ 答案 <‎ 解析 f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件知必有a<1.‎ 若c≤1,则2a<2,2c≤2,故2a+2c<4;‎ 若c>1,则由f(a)>f(c),得1-2a-1>2c-1-1,‎ 即2c-1+2a-1<2,即2a+2c<4.‎ 综上知,总有2a+2c<4.‎ ‎16.已知函数f(x)=-+4(-1≤x≤2).‎ ‎(1)若λ=,求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若方程f(x)=0有解,求实数λ的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=-+4=2x-2λ·x+4(-1≤x≤2).‎ 设t=x,得g(t)=t2-2λt+4.‎ 当λ=时,g(t)=t2-3t+4=2+.‎ 所以g(t)max=g=,g(t)min=g=.‎ 所以f(x)max=,f(x)min=,‎ 故函数f(x)的值域为.‎ ‎(2)方程f(x)=0有解可转化为 λ=2·2x+·(-1≤x≤2).‎ 设φ(x)=2·2x+,‎ 当2x=,即x=-1时,φ(x)min=2;‎ 当2x=4,即x=2时,φ(x)max=.‎ ‎∴函数φ(x)的值域为.‎ 故实数λ的取值范围是.‎