【数学】2020一轮复习北师大版（理）49　双曲线作业 6页

课时规范练49　双曲线 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018河北衡水中学适应性考试,3)已知双曲线x‎2‎m‎-‎y‎2‎m+6‎=1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的标准方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1 B.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎8‎=1‎ C.x2-y‎2‎‎8‎=1 D.x‎2‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎8‎=1‎ ‎2.(2018全国3,文10)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎2‎,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)‎ A.‎2‎ B.2 C.‎3‎‎2‎‎2‎ D.2‎‎2‎ ‎3.双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<π‎3‎,则双曲线离心率的取值范围是(　　)‎ A.(1,‎3‎) B.(1,‎6‎)‎ C.(1,2‎3‎) D.(‎3‎,3‎3‎)‎ ‎4.(2018湖北华中师范大学第一附属中学押题,6)已知F1,F2分别是双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点为M,且|F1M|=3,则双曲线C的实轴长为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.3 C.‎3‎‎3‎‎2‎ D.3‎‎3‎ ‎5.已知M(x0,y0)是双曲线C:x‎2‎‎2‎-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF‎1‎‎·‎MF‎2‎<0,则y0的取值范围是(　　)‎ A.-‎3‎‎3‎‎,‎‎3‎‎3‎ B.-‎‎3‎‎6‎‎,‎‎3‎‎6‎ C.-‎2‎‎2‎‎3‎‎,‎‎2‎‎2‎‎3‎ D.-‎‎2‎‎3‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎6.(2018湖北省调研,6)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y2=1(a>0)的一条渐近线方程为x+2y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=5,则|PF2|=(　　)‎ A.1 B.3‎ C.1或9 D.3或7‎ ‎7.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎12‎=1 B.x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1‎ C.x‎2‎‎3‎-y2=1 D.x2-y‎2‎‎3‎=1‎ ‎8.已知点F1,F2是双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)‎ A.(1,+∞) B.‎10‎‎2‎,+∞‎ C.1,‎10‎‎2‎ D.1,‎‎5‎‎2‎ ‎9.(2018湖北省冲刺,14)平面内,线段AB的长度为10,动点P满足|PA|=6+|PB|,则|PB|的最小值为　　　　　. ‎ ‎10.已知方程x‎2‎m‎2‎‎+n‎-‎y‎2‎‎3m‎2‎-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是　　　　　. ‎ ‎11.若点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2‎5‎的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点,则|PA|+|PB|=　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎12.已知直线l与双曲线x‎2‎‎4‎-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则OM‎·‎ON的值为(　　)‎ A.3 B.4‎ C.5 D.与P的位置有关 ‎13.(2018四川成都双流中学模拟,11)若F(c,0)是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点,过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积为‎12‎a‎2‎‎7‎,则该双曲线的离心率e=(　　)‎ A.‎5‎‎3‎ B.‎4‎‎3‎ C.‎5‎‎4‎ D.‎‎8‎‎5‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x‎2‎‎3‎-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是　　　　　. ‎ ‎15.(2018四川梓潼中学模拟二,16)若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正三角形的面积等于‎3‎‎16‎c2(其中O为坐标原点,c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎16.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,M是它们的一个公共点,且|MF1|>|MF2|,线段MF1的垂直平分线过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则‎2‎e‎1‎‎+‎e‎2‎‎2‎的最小值为(　　)‎ A.6 B.3‎ C.‎6‎ D.‎‎3‎ 参考答案 课时规范练49　双曲线 ‎1.D　由双曲线x‎2‎m-y‎2‎m+6‎=1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍,‎ 可得2m=m+6‎,解得m=2,‎ 所以双曲线的标准方程是x‎2‎‎2‎-y‎2‎‎8‎=1.故选D.‎ ‎2.D　∵双曲线C的离心率为‎2‎,∴e=ca=‎2‎,即c=‎2‎a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到c的渐近线距离d=‎|4|‎‎2‎=2‎2‎.‎ ‎3.A　由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2c‎2‎a‎2‎-1=b‎4‎a‎2‎,∴|AB|=‎2‎b‎2‎a.‎ ‎∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<π‎3‎,‎ ‎∴tan∠AF2F1=b‎2‎a‎2c<‎3‎‎3‎,e=ca>1.‎ ‎∴c‎2‎‎-‎a‎2‎‎2ac<‎3‎‎3‎,‎1‎‎2‎e-‎1‎‎2e<‎3‎‎3‎.‎ 解得e∈(1,‎3‎),故选A.‎ ‎4.B　设F2M的中点为N,坐标原点为O,则ON=‎1‎‎2‎|F1M|=‎3‎‎2‎,‎ ‎∵点F2到渐近线的距离为b,∴‎3‎‎2‎‎2‎+b2=c2,∴c2-b2=‎9‎‎4‎,∴a2=‎9‎‎4‎,∴a=‎3‎‎2‎,∴2a=3.‎ 故双曲线的实轴长为3,故选B.‎ ‎5.A　由条件知F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),‎ ‎∴MF‎1‎=(-‎3‎-x0,-y0),MF‎2‎=(‎3‎-x0,-y0),‎ ‎∴MF‎1‎·MF‎2‎=x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎-3<0.①‎ 又x‎0‎‎2‎‎2‎-y‎0‎‎2‎=1,∴x‎0‎‎2‎=2y‎0‎‎2‎+2.‎ 代入①得y‎0‎‎2‎<‎1‎‎3‎,∴-‎3‎‎3‎0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,∴c=2,‎ba‎=tan60°,‎a‎2‎‎+b‎2‎=c‎2‎,‎解得a=1,‎b=‎3‎.‎ ‎∴双曲线的方程为x2-y‎2‎‎3‎=1.故选D.‎ ‎8.C　由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.‎ 又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,‎ 所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,‎ 化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,‎ 即有2c2-a2≤4a2,可得c≤‎10‎‎2‎a,‎ 由e=ca>1可得10,解得-1|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点,‎ 所以由双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2‎5‎,‎ 又|PA|2+|PB|2=36,‎ 所以2|PA|·|PB|=16,‎ 所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=2‎13‎.‎ ‎12.A　取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),‎ ‎∴OM·ON=4-1=3.‎ 取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),‎ ‎∴OM·ON=4-1=3.故选A.‎ ‎13.C　设∠AOF=α⇒tan α=ba=BFOB,tan 2α=‎2aba‎2‎‎-‎b‎2‎=BAOB,所以BA=‎2aba‎2‎‎-‎b‎2‎×OB=‎2a‎2‎ba‎2‎‎-‎b‎2‎,所以△OAB的面积为‎1‎‎2‎×OB×AB=‎12‎a‎2‎‎7‎=‎1‎‎2‎×‎2a‎2‎ba‎2‎‎-‎b‎2‎×a⇒12(a2-b2)=7ab,解得ba=‎3‎‎4‎,所以该双曲线的离心率e=‎5‎‎4‎.故选C.‎ ‎14.2‎3‎　该双曲线的右准线方程为x=‎3‎‎10‎=‎3‎‎10‎‎10‎,两条渐近线方程为y=±‎3‎‎3‎x,得P‎3‎‎10‎‎10‎,‎30‎‎10‎,Q‎3‎‎10‎‎10‎,-‎30‎‎10‎,‎ 又c=‎10‎,所以F1(-‎10‎,0),F2(‎10‎,0),四边形F1PF2Q的面积S=2‎10‎×‎30‎‎10‎=2‎3‎.‎ ‎15.[2,+∞)　由题意,以|OP|为边长的正三角形,所以其面积为S=‎1‎‎2‎|OP|·|OP|sin 60°=‎3‎‎4‎|OP|2,‎ 由点P为双曲线上一点,得|OP|≥a,所以S=‎3‎‎4‎|OP|2≥‎3‎‎4‎a2,‎ 又因为以|OP|为边长的正三角形的面积等于‎3‎‎16‎c2,所以‎3‎‎16‎c2≥‎3‎‎4‎a2,‎ 得ca≥2,即e≥2,所以双曲线的离心率的取值范围是[2,+∞).‎ ‎16.A　设椭圆方程为x‎2‎a‎1‎‎2‎+y‎2‎b‎1‎‎2‎=1(a1>b1>0),双曲线方程为x‎2‎a‎2‎‎2‎-y‎2‎b‎2‎‎2‎=1(a2>0,b2>0).‎ ‎∵线段MF1的垂直平分线过点F2,‎ ‎∴|F1F2|=|F2M|=2c.‎ 又|F1M|+|F2M|=2a1,|F1M|-|F2M|=2a2,‎ ‎∴|F1M|+2c=2a1,|F1M|-2c=2a2.‎ 两式相减得a1-a2=2c,‎ ‎∴‎2‎e‎1‎+e‎2‎‎2‎=‎2‎a‎1‎c+‎c‎2‎a‎2‎ ‎=‎4a‎1‎a‎2‎+‎c‎2‎‎2ca‎2‎=‎‎4(2c+a‎2‎)a‎2‎+‎c‎2‎‎2ca‎2‎ ‎=4+‎2‎a‎2‎c+c‎2‎a‎2‎≥4+2=6,‎ 当且仅当‎2‎a‎2‎c=c‎2‎a‎2‎时等号成立,‎ ‎∴‎2‎e‎1‎+e‎2‎‎2‎的最小值为6.‎