2020_2021学年新教材高中数学第七章概率章末整合课件北师大版必修第一册 20页

章末整合 专题一 　 随机事件的概率   例 1 某射击运动员为备战奥运会 , 在相同条件下进行射击训练 , 结果如下 : (1) 该射击运动员射击一次 , 击中靶心的概率大约是 多少 ( 结果精确到 0.01)?? (2) 假设该射击运动员射击了 300 次 , 则击中靶心的次数大约是多少 ? (3) 假如该射击运动员射击了 300 次 , 前 270 次都击中靶心 , 那么后 30 次一定都击不中靶心吗 ? 解 : (1) 由题意 , 击中靶心的频率分别为 0 . 8,0 . 95,0 . 88,0 . 92,0 . 89,0 . 91, 当射击次数越来越大时 , 击中靶心的频率在 0 . 9 附近摆动 , 故概率约为 0 . 9 . (2) 击中靶心的次数大约为 300 × 0 . 9 = 270( 次 ) . (3) 由概率的意义 , 可知概率是个常数 , 不因试验次数的变化而变化 . 后 30 次中 , 每次击中靶心的概率仍是 0 . 9, 所以不一定击中靶心 . 方法规律概率与频率的关系 随机事件的概率是指在相同的条件下 , 大量重复进行同一试验 , 随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动 , 即随机事件 A 发生的频率具有稳定性 . 这时 , 我们把这个常数叫作事件 A 的概率 , 记作 P ( A ) . 它反映的是这个事件发生的可能性的大小 . 一个随机事件的发生既有随机性 ( 对单次试验来说 ), 又有规律性 ( 对大量重复试验来说 ) . 其概率一般不好求 , 但可以用频率来估计 . 变式训练 1 对一批 U 盘进行抽检 , 结果如下表 : (1) 计算表中次品的 频率 ( 结果精确到 0.001); (2) 从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是多少 ? (3) 为保证买到次品的顾客能够及时更换 , 要销售 2 000 个 U 盘 , 至少需进货多少个 U 盘 ? 解 : (1) 表中次品频率从左到右依次为 0 . 06,0 . 04,0 . 025,0 . 017,0 . 02,0 . 018 . (2) 当抽取件数 a 越来越大时 , 出现次品的频率在 0 . 02 附近摆动 , 所以从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是 0 . 02 . (3) 设需要进货 x 个 U 盘 , 为保证其中有 2 000 个正品 U 盘 , 则 x (1 - 0 . 02) ≥ 2 000, 因为 x 是正整数 , 所以 x ≥ 2 041, 即至少需进货 2 041 个 U 盘 . 专题二 　 互斥事件与对立事件的概率求法   例 2 甲、乙两人参加普法知识竞赛 , 共有 5 个不同的题目 . 其中 , 选择题 3 个 , 判断题 2 个 , 甲、乙两人各抽一题 . (1) 甲、乙两人中有一个抽到选择题 , 另一个抽到判断题的概率是多少 ? (2) 甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 ? 解 : 把 3 个选择题记为 x 1 , x 2 , x 3 ,2 个判断题记为 p 1 , p 2 . 共有 20 个样本点 . “ 甲抽到选择题 , 乙抽到判断题 ” 的情况有 :( x 1 , p 1 ),( x 1 , p 2 ),( x 2 , p 1 ),( x 2 , p 2 ),( x 3 , p 1 ),( x 3 , p 2 ), 共 6 个样本点 ; “ 甲抽到判断题 , 乙抽到选择题 ” 的情况有 :( p 1 , x 1 ),( p 1 , x 2 ),( p 1 , x 3 ),( p 2 , x 1 ),( p 2 , x 2 ),( p 2 , x 3 ), 共 6 个样本点 ; “ 甲、乙都抽到选择题 ” 的情况有 :( x 1 , x 2 ),( x 1 , x 3 ),( x 2 , x 1 ),( x 2 , x 3 ),( x 3 , x 1 ),( x 3 , x 2 ), 共 6 个样本点 ; “ 甲、乙都抽到判断题 ” 的情况有 :( p 1 , p 2 ),( p 2 , p 1 ), 共 2 个样本点 . 方法技巧互斥事件与对立事件的概率求法 互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念 . 互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式 , 必须学会正确运用 . 运用互斥事件的概率加法公式时 , 首先要确定各事件是否彼此互斥 , 如果彼此互斥 , 分别求出各事件发生的概率 , 再求和 . 求复杂事件的概率通常有两种方法 : 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 , 运用互斥事件的概率加法公式 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) 求解 ; 二是先求其对立事件的概率 , 然后 变式训练 2 某服务电话 , 打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0 . 1; 响第 2 声时被接的概率是 0 . 2; 响第 3 声时被接的概率是 0 . 3; 响第 4 声时被接的概率是 0 . 35 . (1) 打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少 ? (2) 打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少 ? 解 : (1) 设事件 “ 电话响第 k 声时被接 ” 为 A k ( k ∈ N ), 那么事件 A k 彼此互斥 , 设 “ 打进的电话在响 5 声之前被接 ” 为事件 A , 根据互斥事件概率加法公式 , 得 P ( A ) =P ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 ) =P ( A 1 ) +P ( A 2 ) +P ( A 3 ) +P ( A 4 ) = 0 . 1 + 0 . 2 + 0 . 3 + 0 . 35 = 0 . 95 . (2) 由 (1) 知事件 “ 打进的电话响 4 声而不被接 ” 是事件 “ 打进的电话在 专题三 　 古典概型   例 3 从含有两件正品 a 1 , a 2 和一件次品 b 的三件产品中每次任取一件 , 每次取出后不放回 , 连续取两次 . (1) 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 ; (2) 如果将 “ 每次取出后不放回 ” 这一条件换成 “ 每次取出后放回 ”, 则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少 ? 解 : (1) 每次取一件 , 取出后不放回 , 则连续取两次的所有的样本点共有 6 个 , 分别是 ( a 1 , a 2 ),( a 1 , b ),( a 2 , a 1 ),( a 2 , b ),( b , a 1 ),( b , a 2 ), 其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品 , 右边的字母表示第 2 次取出的产品 . 可以确定这些样本点的出现是等可能的 . 用 A 表示 “ 取出的两件产品中恰有一件次品 ”, 则 A 包含的样本点是 ( a 1 , b ),( a 2 , b ),( b , a 1 ),( b , a 2 ) . 因为 A 中的样本点的个数为 4, 所以 (2) 有放回地连续取出两件 , 则所有的样本点共有 9 个 , 分别是 ( a 1 , a 1 ),( a 1 , a 2 ),( a 1 , b ),( a 2 , a 1 ),( a 2 , a 2 ),( a 2 , b ),( b , a 1 ),( b , a 2 ),( b , b ) . 由于每一件产品被取到的机会均等 , 因此可以确定这些样本点的出现是等可能的 . 用 B 表示 “ 取出的两件产品中恰有一件次品 ”, 则 B 包含的样本点是 ( a 1 , b ),( a 2 , b ),( b , a 1 ),( b , a 2 ) . 方 法 技巧古典概型的概率求法 古典概型是一种最基本的概率模型 , 也是学习其他概率模型的基础 , 在高考题中 , 经常出现此种概率模型的题目 . 解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征 , 即有限性和等可能性 . 列举 样本点 时 必须按某一顺序做到不重复、不遗漏 . 变式训练 3 从 {1,2,3,4,5} 中随机选取一个数为 a , 从 {1,2,3} 中随机选取一个数为 b , 则 b>a 的概率是 ( 　　 ) 答案 : D 　 解析 : ∵ 当 b= 1 时 , 没有满足条件的 a 值 ; 当 b= 2 时 , a= 1; 当 b= 3 时 , a 可以是 1, 可以是 2, ∴ 共 3 种情况 . 而从 {1,2,3,4,5} 中随机取一个数 a , 再从 {1,2,3} 中随机取一个数 b , 共有 3 × 5 = 15 种不同取法 , ∴ b>a 的 专题四 　 相互独立事件同时发生的概率   例 4 计算机考试分理论考试与实际操作两部分 , 每部分考试成绩只记 “ 合格 ” 与 “ 不合格 ”, 两部分考试都 “ 合格 ” 者 , 则计算机考试 “ 合格 ”, 并颁发合格证书 . 甲、乙、丙三人在理论考试中 “ 合格 ” 的概率依次 否合格相互之间没有影响 . (1) 假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试 , 谁获得合格证书的可能性最大 ? (2) 这三人进行理论与实际操作两项考试后 , 求恰有两人获得合格证书的概率 . 规律总结相互独立事件概率的求法 (1) 首先要搞清事件间的关系 ( 是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立 ), 正确区分 “ 互斥事件 ” 与 “ 对立事件 ” . 当且仅当事件 A 和事件 B 相互独立时 , 才有 P ( AB ) =P ( A ) P ( B ) . (2) 某些事件若含有较多的互斥事件 , 可考虑其对立事件的概率 , 这样可减少运算量 , 提高准确率 . 要注意 “ 至多 ”“ 至少 ” 等题型的转化 . 变式训练 4 甲、乙两个人独立地破译一个密码 , 他们能译出密码 的 (1) 求至多 1 个人译 出密码的概率 ; (2) 求至少 1 个人译 出密码的概率 .