【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第八章立体几何与空间向量8-7学案 25页

‎1.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 ‎(0，]‎ ‎[0，π]‎ 求法 cos θ＝ cos β＝ ‎2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝.‎ ‎3.求二面角的大小 ‎(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.‎ ‎(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).‎ ‎【知识拓展】‎ 利用空间向量求距离(供选用)‎ ‎(1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝.‎ ‎(2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　×　)‎ ‎(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　×　)‎ ‎(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(　×　)‎ ‎(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].(　√　)‎ ‎(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.(　√　)‎ ‎(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(　×　)‎ ‎1.(2016·南通模拟)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________.‎ 答案　45°或135°‎ 解析　cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 即〈m，n〉＝45°.‎ ‎∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.‎ ‎2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________.‎ 答案　30°‎ 解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，‎ ‎∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.‎ ‎3.(2016·泰州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________.‎ 答案　 解析　设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎4.(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.‎ 答案　 解析　以A为原点，以，(AE⊥AB)，所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1中点，‎ 则A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴＝(1，，2)，‎ ＝(1,0,2).‎ ‎∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，‎ cos∠C1AD＝ ‎＝＝，‎ 又∵∠C1AD∈，∴∠C1AD＝.‎ ‎5.P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________.‎ 答案　90°‎ 解析　不妨设PM＝a，PN＝b，如图，‎ 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，‎ ‎∵∠EPM＝∠FPN＝45°，‎ ‎∴PE＝a，PF＝b，‎ ‎∴·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－·－·＋· ‎＝abcos 60°－a×bcos 45°－a×bcos 45°＋a×b ‎＝－－＋＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴二面角α－AB－β的大小为90°.‎ 题型一　求异面直线所成的角 例1　(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.‎ ‎(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；‎ ‎(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明　如图所示，连结BD，设BD∩AC＝G，连结EG，FG，EF.‎ 在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.‎ 由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.‎ 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.‎ 又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.‎ 在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.‎ 在Rt△FDG中，可得FG＝.‎ 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.‎ 又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.‎ 因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.‎ ‎(2)解　如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G—xyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，‎ F，C(0，，0)，‎ 所以＝(1，，)，＝.‎ 故cos〈，〉＝＝－.‎ 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.‎ 思维升华　用向量法求异面直线所成角的一般步骤 ‎(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.‎ ‎(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.‎ ‎(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.‎ ‎(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.‎ ‎　如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是______.‎ 答案　90°‎ 解析　连结D1M，‎ 在正方形DCC1D1中，‎ ‎∵M、N分别是CD、CC1的中点，‎ ‎∴DN⊥D1M，又∵A1D1⊥平面D1C，DN⊂平面D1C，‎ ‎∴DN⊥A1D1，又∵A1D1∩D1M＝D1，‎ ‎∴DN⊥平面A1D1M，又A1M⊂平面A1D1M，‎ ‎∴A1M⊥DN.即异面直线A1M与DN所成的角为90°.‎ 题型二　求直线与平面所成的角 例2　(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.‎ 取BP的中点T，连结AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)解　取BC的中点E，连结AE.‎ 由AB＝AC得AE⊥BC，‎ 从而AE⊥AD，AE＝＝＝.‎ 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.‎ 由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝.‎ 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则 即可取n＝(0,2,1).‎ 于是|cos〈n，〉|＝＝.‎ 设AN与平面PMN所成的角为θ，则sin θ＝，‎ ‎∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.‎ 思维升华　利用向量法求线面角的方法 ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.‎ ‎　如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是______________．‎ 答案　[，1]‎ 解析　由正方体的性质易求得sin∠C1OA1＝，‎ sin∠COA1＝，注意到∠C1OA1是锐角，∠COA1是钝角，且>.‎ 故sin α的取值范围是[，1]．‎ 题型三　求二面角 例3　(2016·天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.‎ ‎(1)求证：EG∥平面ADF；‎ ‎(2)求二面角O—EF—C的正弦值；‎ ‎(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　依题意，OF⊥平面ABCD，‎ 如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，‎ D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0,0)．‎ 依题意，＝(2,0,0)，＝(1，－1,2)．‎ 设n1＝(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，‎ 则　即 不妨取z1＝1，可得n1＝(0,2,1)，‎ 又＝(0,1，－2)，可得·n1＝0，‎ 又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF.‎ ‎(2)解　易证＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，＝(1,1,0)，＝(－1,1,2)．‎ 设n2＝(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，‎ 则 即 不妨取x2＝1，可得n2＝(1，－1,1)．‎ 因此有cos〈，n2〉＝＝－，‎ 于是sin〈，n2〉＝.‎ 所以二面角O—EF—C的正弦值为.‎ ‎(3)解　由AH＝HF，得AH＝AF.‎ 因为＝(1，－1,2)，‎ 所以＝＝，‎ 进而有H，从而＝.‎ 因此cos〈，n2〉＝＝－.‎ 所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.‎ 思维升华　利用向量法计算二面角大小的常用方法 ‎(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.‎ ‎(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.‎ ‎　如图(1)，正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AD，BC上的点，MN与AB平行，且与AC交于点O.若将四边形ABCD沿MN折成直二面角A—MN—C(如图(2))，则二面角C—AO—B的平面角的正弦值是________．‎ 图(1)　　　　　图(2)‎ 答案　 解析　由条件得NM，NB，NC两两垂直，分别以NM，NB，NC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设NC＝m，则NO＝m，从而得O(m,0,0)，C(0,0，m)，A(1,1－m,0)．设平面AOC的法向量为a＝(x，y，z)，由＝(1－m,1－m,0)，＝(－m,0，m)，得取x＝1，得a＝(1，－1,1)．又平面AOB的一个法向量为b＝(0,0,1)，则cos〈a，b〉＝＝，‎ 故sin〈a，b〉＝.‎ 题型四　求空间距离(供选用)‎ 例4　如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离.‎ 解　如图，取CD的中点O，连结OB，OM，因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.‎ 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O—xyz.‎ 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，‎ 所以OB＝OM＝，‎ 则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，‎ 所以＝(1，，0)，＝(0，，).‎ 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得即 取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1).‎ 又＝(0,0,2)，‎ 所以所求距离为d＝＝.‎ 思维升华　求点面距一般有以下三种方法 ‎(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；‎ ‎(2)等体积法；‎ ‎(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.‎ ‎　(2016·四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点.‎ ‎(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；‎ ‎(2)求B点到平面PCD的距离；‎ ‎(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，‎ ‎∴PO⊥AD.‎ 又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD.‎ 在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2.‎ 在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，AB⊥AD，‎ ‎∴OC⊥AD.‎ 以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，‎ ‎∴＝(1，－1，－1).‎ 易证OA⊥平面POC，‎ ‎∴＝(0，－1,0)为平面POC的法向量，‎ cos〈，〉＝＝，‎ ‎∴PB与平面POC所成角的余弦值为.‎ ‎(2)∵＝(1，－1，－1)，‎ 设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，‎ 则 取z＝1，得u＝(1,1,1).‎ 则B点到平面PCD的距离d＝＝.‎ ‎(3)假设存在，且设＝λ(0≤λ≤1).‎ ‎∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)，‎ ‎∴＝(0，λ，1－λ)，‎ ‎∴Q(0，λ，1－λ).‎ 设平面CAQ的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则 取z＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1).‎ 平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，‎ ‎∵二面角Q－AC－D的余弦值为，‎ ‎∴|cos〈m，n〉|＝＝.‎ 整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0.‎ 解得λ＝或λ＝3(舍去)，‎ ‎∴存在，且＝.‎ ‎6.利用空间向量求解空间角 典例　(16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值.‎ 规范解答 ‎(1)证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).‎ ‎ [2分]‎ 由E为棱PC的中点，得E(1,1,1).‎ ＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，‎ 故·＝0，所以BE⊥DC. [4分]‎ ‎(2)解　＝(－1,2,0)，‎ ＝(1,0，－2).‎ 设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，‎ 则即不妨令y＝1，‎ 可得n＝(2,1,1). [6分]‎ 于是有cos〈n，〉＝＝＝，‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为. [8分]‎ ‎(3)解　＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0).‎ 由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1，‎ 故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ).‎ 由BF⊥AC，得·＝0，‎ 因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，‎ 即＝(－，，). [12分]‎ 设n1＝(x，y，z)为平面FAB的一个法向量，‎ 则　即 不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1).‎ 取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，‎ 则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.‎ 易知，二面角F－AB－P是锐角，‎ 所以其余弦值为. [16分]‎ 利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系；‎ 第二步：确定点的坐标；‎ 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；‎ 第四步：计算向量的夹角(或函数值)；‎ 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；‎ 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.‎ ‎1.(2017·苏北四市联考)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________.‎ 答案　 解析　建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2).‎ 所以＝(－1,0,2)，‎ ＝(－1,2,1).‎ 故cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ ‎2.(2016·徐州模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________.‎ 答案　60°‎ 解析　如图所示，二面角的大小就是〈，〉.‎ ‎∵＝＋＋，‎ ‎∴2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝2＋2＋2＋2·.‎ ‎∴·＝[(2)2－62－42－82]＝－24.‎ 因此·＝24，‎ cos〈，〉＝＝，‎ ‎∴〈，〉＝60°，故二面角为60°.‎ ‎3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.‎ 答案　 解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，设棱长为1，‎ 则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，‎ ‎∴＝(0,1，－1)，＝(1,0，－).‎ 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，‎ 则有 即∴∴n1＝(1,2,2).‎ ‎∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝，‎ 即所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎4.(2016·盐城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________.‎ 答案　 解析　以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由AB＝AC＝1，PA＝2，‎ 得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(，0,0)，E(，，0)，F(0，，1).‎ ‎∴＝(0,0，－2)，＝(0，，0)，＝(－，，1).‎ 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则由得 取z＝1，则n＝(2,0,1)，‎ 设直线PA与平面DEF所成的角为θ，‎ 则sin θ＝＝，‎ ‎∴直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.‎ ‎5.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BDE的距离为________.‎ 答案　1‎ 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，‎ 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2，)，易知AC1∥平面BDE.‎ 设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量，‎ 则 取y＝1，则n＝(－1,1，－)为平面BDE的一个法向量，‎ 又＝(2,0,0)，‎ ‎∴点A到平面BDE的距离是 d＝＝＝1.‎ 故直线AC1到平面BDE的距离为1.‎ ‎6.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则·的最小值为________.‎ 答案　－ 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，‎ 设P(0,0，z)，则＝(1,0,2－z)，＝(0,1,3－z)，‎ ‎∴·＝0＋0＋(2－z)(3－z)＝(z－)2－，‎ 故当z＝时，·取得最小值为－.‎ ‎7.(2016·无锡模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.‎ 答案　 解析　如图，建立空间直角坐标系D—xyz，‎ 则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0).‎ ‎∴＝(0,2,0)，‎ ＝(－1,2,0)，＝(0,2，－1)，‎ 设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由 得令y＝1，得n＝(2,1,2)，‎ 设直线D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则 sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，‎ 即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.‎ ‎8.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.‎ 答案　 解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2).‎ 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，‎ 所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1).‎ 设CD与平面BDC1所成的角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.‎ ‎9.(2016·连云港模拟)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________.‎ 答案　 解析　如图，建立空间直角坐标系D—xyz，‎ 设DA＝1，由已知条件得 A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0,1，)，＝(0,1，)，＝(－1,1，)，‎ 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ，由图知θ为锐角，‎ 由得 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，‎ 取平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，‎ 则cos θ＝|cos〈n，m〉|＝，tan θ＝.‎ ‎10.(2016·南京、无锡联考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.‎ ‎(1)证明：AB⊥A1C；‎ ‎(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.‎ ‎∵CA＝CB，∴OC⊥AB.‎ ‎∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°.‎ ‎∴△AA1B为等边三角形，‎ ‎∴OA1⊥AB.‎ ‎∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C⊂平面OA1C，‎ ‎∴AB⊥A1C.‎ ‎(2)解　由(1)知，OC⊥AB，OA1⊥AB.‎ ‎∵平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，‎ ‎∴OC⊥平面AA1B1B，‎ ‎∴OA，OA1，OC两两垂直.‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.‎ 由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0).‎ 则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，).‎ 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，‎ 则即 可取n＝(，1，－1).‎ ‎∴cos〈n，〉＝＝－.‎ ‎∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.‎ ‎11.(2016·扬州模拟)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.‎ ‎(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；‎ ‎(2)求二面角A—DF—C的大小.‎ ‎(1)证明　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).‎ ‎∵E为AB的中点，∴点E的坐标为(1,1,0)，‎ ‎∵D1F＝2FE，∴＝＝(1,1，－2)‎ ‎＝(，，－)，‎ ＝＋ ‎＝(0,0,2)＋(，，－)＝(，，).‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面DFC的法向量，‎ 则　∴ 令x＝1，则平面DFC的一个法向量为n＝(1,0，－1)，‎ 设p＝(x2，y2，z2)是平面D1EC的法向量，‎ 则　∴ 令y＝1，则平面D1EC的一个法向量为p＝(1,1,1)，‎ ‎∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，‎ ‎∴平面DFC⊥平面D1EC.‎ ‎(2)设q＝(x3，y3，z3)是平面ADF的法向量，‎ 则　∴ 令y＝1，则平面ADF的一个法向量为q＝(0,1，－1)，‎ 设二面角A—DF—C的平面角为θ，‎ 由题中条件可知θ∈(，π)，‎ 则cos θ＝－＝－＝－，‎ ‎∴二面角A—DF—C的大小为.‎ ‎12.(2016·四川)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ 解　(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 由已知，BC∥ED且BC＝ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形，‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 于是CD⊥PD.‎ 从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA＝45°.‎ 由∠PAB＝90°，且PA与CD所成的角为90°，可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，‎ 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0).‎ 所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2).‎ 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z).‎ 由得设x＝2，解得n＝(2，－2,1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则sin α＝|cos〈n，〉|＝ ‎＝＝.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎*13.(2016·盐城模拟)如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直.已知AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝AB＝1，点M在线段EC上.‎ ‎(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；‎ ‎(2)判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成的锐二面角为.‎ ‎(1)证明　∵DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝，‎ 又AD＝，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，‎ ‎∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.‎ 又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴BD⊥平面ADEF，‎ 又BD⊂平面BDM，‎ ‎∴平面BDM⊥平面ADEF.‎ ‎(2)解　在平面DAB内过点D作DN⊥AB，垂足为N，‎ ‎∵AB∥CD，∴DN⊥CD，‎ 又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，‎ ‎∴ED⊥平面ABCD，∴DN⊥ED，‎ 以D为坐标原点，DN所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.‎ ‎∴B(1,1,0)，C(0,1,0)，E(0,0，)，N(1,0,0)，‎ 设M(x0，y0，z0)，＝λ(0≤λ<1)，‎ ‎∴(x0，y0，z0－)＝λ(0,1，－)，‎ ‎∴x0＝0，y0＝λ，z0＝(1－λ)，‎ ‎∴M(0，λ，(1－λ)).‎ 设平面BDM的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则 又＝(0，λ，(1－λ))，＝(1,1,0)，‎ ‎∴ 令x＝1，得y＝－1，z＝，‎ 故n1＝(1，－1，)是平面BDM的一个法向量.‎ ‎∵平面ABF的一个法向量为＝(1,0,0)，‎ ‎∴|cos〈n1，〉|＝ ＝，得λ＝，‎ ‎∴M(0，，)，‎ ‎∴点M在线段CE的三等分点且靠近点C处.‎