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- 2021-06-24 发布
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【考纲解读】
内 容
要 求
5年统计
A
B
C
常用逻辑用语
命题的四种形式
√
学 ]
无
充分条件、必要条件、充分必要条件
√
简单的逻辑联接词
√
全称量词与存在量词
√
]
【直击教材】
1.给出命题:“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有________个.
【答案】3 ]
2.设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
【答案】充要
3.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________.
【答案】“若x≤y,则x2≤y2”
4.下列命题中为真命题的是________.(填序号)
①命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题;
②命题“若x>1,则x2>1”的否命题;
③命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题;
④“若x2<4,则-2)
小于(<)
是
都是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
一定 学_ _ _X_X_ ]
…
否定词语
至少有两个
一个也没有
某个
某些
不一定
…
【考点深度剖析】
简易逻辑近年均没有单独考查,多为以其他知识为载体考查思想方法.如在立体几何证明过程中考查充要关系
【重点难点突破】
考点1 命题及其关系
【1-1】命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是________________.
【答案】“若a2≤b2,则a≤b”
【1-2】命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题为________________,其真假性为________.
【答案】“若x≠4,则x2+3x-4≠0” 假命题
【解析】由命题的相互关系知,若“x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题为若“x≠4,则x2+3x-4≠0”.因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.
【1-3】给出以下四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数.
其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
【答案】①③
【解析】①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.
【思想方法】
1.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”.
2. 对于命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.
【温馨提醒】“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论.
考点2 充分条件与必要条件
【2-1】已知直线l,m,平面α,若m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
【答案】必要不充分
【2-2】已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的________条件.
【答案】充分不必要
【解析】因为p:x+y≠-2,
q:x≠-1或y≠-1,
所以綈p:x+y=-2,
綈q:x=-1且y=-1,
因为綈q⇒綈p但綈p綈q, 学 ……
所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.
【思想方法】
1.判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p,则q”与“若q,则p”的真假的确定.
2. 判断充分条件,必要条件,充要条件的方法:
(1)利用定义判断
①若p⇒q,则p是q的充分条件;
②若q⇒p,则p是q的必要条件;
③若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件;
④若p⇒q且qp,则p是q的充分不必要条件;
⑤若pq且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;
⑥若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件
(2) 利用集合判断
记条件p、q对应的集合分别为A、B,则: 学 ]
若A⊆B,则p是q的充分条件; | |X|X| ]
若,则p是q的充分不必要条件;
若A⊇B,则p是q的必要条件;
若,则p是q的必要不充分条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若AB,且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
【温馨提醒】注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“pq”而后者是“qp”..
考点3 简单的逻辑联接词
【3-1】已知命题,命题,则在命题,,,中真命题是 .
【答案】和
【3-2】如果命题为假命题,则命题、的真假为 .
【答案】、中至少有一个为真.
【解析】因为命题为假命题,则为真命题,所以、中至少有一个为真.
【思想方法】
1. “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.
2.
一个复合命题,从字面上看不一定有“或”“且”“非”字样,这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”“且”“非”的关系,如“或者”“x=±1”“≤”的含义为“或”;“并且”“”的含义为“且”;“不是”“”的含义为“非”.
【温馨提醒】p为对一个命题p全盘否定,读作“非p”或“p的否定”. p与的并集应是全集,
考点4 全称量词与存在性量词
【4-1】命题“”的否定是 ▲ .
【答案】
【解析】命题“”的否定是
【4-2】命题“,”的否定是 ▲ .
【答案】,
【解析】“,”的否定是,
【思想方法】
1. 要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题为假命题,只要能举出集合M中的一个,使得不成立即可.
2.要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个使成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
3.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定.
4.要判断“”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“p”的真假,p与的真假相反.
【温馨提醒】全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别,全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论即可.从命题形式上看,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 学 ]
【易错试题常警惕】 学 ]
1.充分条件、必要条件的判断问题,一般是必须从正、反两个方面进行推理论证,缺一不可,再根据充分条件、必要条件的定义进行判断.
如:设,,且,则“”是“”的________条件.
【分析】因为,所以.由得,即.所以“”是“”的充分条件.反之,因为,,且,所以.因为,即,所以.所以“”是“”的必要条件.
【易错点】忽略题中“”这一条件而致误.
2.全称命题、特称命题的否定问题,一定要否定量词和结论.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结
如:已知命题,总有,则为________.
【分析】“”的否定为“”,“ ”的否定为“”,
所以命题的否定为“,使得”.
【易错点】全称命题、特称命题的否定容易出现只否定结论,没有否定量词而致误.