【数学】2019届一轮复习北师大版选修内容（极坐标与参数方程、不等式选讲）学案 22页

‎ 讲案【新课标版文 数学】‎ ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1．【直角坐标与极坐标的互化、直线与圆的位置关系】【2017天津，文理】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点 ‎2.【参数方程与普通方程的互化、直线与圆锥曲线的位置关系】【2017课标1，文理】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎3. 【极坐标方程与参数方程相互交汇】【2017课标II，文理】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。学 ‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。‎ ‎【答案】(1)；‎ ‎(2) 。‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积 当时，S取得最大值。‎ 所以面积的最大值为。‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 综观各种类型的高考试卷，独立考查坐标系、参数方程有之，也有二者综合考查的题目，较多的是考查极坐标、参数方程与普通方程的互化，转化成普通方程下曲线位置关系的研究，求点的坐标、两点间的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程等.预测2018年不会有太大的变化.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）】设过原点的直线与圆的一个交点为， 点为线段的中点，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ， （Ⅱ）.学 ‎ ‎【趁热打铁】【2018届辽宁省丹东市高三上学期期末】在直角坐标系中，点在倾斜角为的直线上．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．‎ ‎（1）写出的参数方程及的直角坐标方程；‎ ‎（2）设与相交于， 两点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（为参数），（2）． ‎ 试题解析 ‎ ‎（1）的参数方程为（为参数）．‎ 由得， 的直角坐标方程是．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得．‎ 因为， ， ，所以．‎ 所以 ，当时等号成立．因此取最小值． ‎ ‎【例2】【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期末】在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线 与曲线相交于不同的两点．‎ ‎（1）写出直线的参数方程；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）‎ ‎【解析】试题分析 （1）设直线上动点P，且|MP|=t，则可写出直线的参数方程；（2）设|PM|=,将直线参数方程与圆联立，可得关于t的一元二次方程，根据根与系数的关系即可写出，利用三角函数求其值域即可.‎ ‎（2）将 为参数）代入， ，‎ 由，所以.‎ ‎【趁热打铁】【2018届广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）】在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数， ），曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设与交于两点（异于原点），求的最大值.‎ ‎【答案】（1）曲线的极坐标方程为；（2）.学 ‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(1)由题意可得曲线C的普通方程为，将其转化为极坐标方程即.‎ ‎(2)由参数方程可知直线过圆的圆心，则，设，其中，则 ，由三角函数的性质可得取得最大值为.‎ ‎【例3】【2018届华大新高考联盟高三1月】以平面坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知圆的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）分别写出的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点分别是圆上的动点，点的坐标为，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析 （1）利用平方关系消去参数得直角坐标方程，利用得到的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的最大值即求的最大值与的最小值，然后作差即可.‎ 试题解析 ‎ ‎【趁热打铁】在直角坐标系xOy中，曲线C1 (t为参数，t≠0)，‎ 其中0≤<π，在以O为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 ,C3 ‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；[ | | ]‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎【答案】(1) (2)4‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)‎ ‎ (2) ‎ 当时，‎ ‎【例4】将圆上每个点的横坐标变为原 的4倍，纵坐标变为原 的3倍，得曲线，以坐标原点为极点， 轴的非负轴分别交于半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 学！ ，且直线在直角坐标系中与轴分别交于两点.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（2）问在曲线上是否存在点，使得的面积，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）曲线的参数方程为，直线的普通方程为。（2）点的坐标为。‎ ‎，又 ，故 ，当 时取等号，即 ，此时 ，故在曲线上存在点，使得的面积，点的坐标为.‎ ‎【趁热打铁】已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为 ‎ 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎ （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为 ，曲线的直角坐标方程为 ；（Ⅱ）‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．‎ ‎(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视． 学 ‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2 π)，(－ρ，π＋θ＋2π)( ∈ )表示同一点的坐标．‎ ‎(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带 很大的方便．‎ ‎(5)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为 |t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M‎0M|＝|t|.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .‎ ‎【反思提高】1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．‎ ‎2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．‎ ‎（7）在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． ‎ ‎【误区警示】‎ 极坐标与直角坐标互化的注意点 在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.‎ 考向二 不等式选讲 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1.【绝对值不等式的解法、参数范围问题】【2017课标3,文理】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.[ ‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析 (1)将函数零点分段然后求解不等式即可；‎ ‎2．【不等式的证明、基本不等式】【2017课标II，文理】已知.‎ 证明 （1）；（2）.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)因为 所以，因此。‎ ‎3.【函数、绝对值不等式、参数的范围综合问题】【【2017课标1，文理】已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）当时，．‎ 所以的解集包含，等价于当时．‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 命题规律 从近五年的高考试题 看,高考的重点有 绝对值函数、绝对值不等式的求解、含绝对值不等式的参数范围问题；不等式的证明与综合应用等.高考的热点为绝对值不等式的求解.试题为中档难度,一般有两个设问,基本上都含有参数,经常以含绝对值的函数表示不等关系.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2018届华大新高考联盟高三1月】已知函数. ‎ ‎（1）解关于的不等式.‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析 （1）由，得，讨论x 的范围去掉绝对值，由此求得x的范围． （2）由，得，下面分四种情形讨论，去掉绝对值，然后变量分离求最值即可．‎ ‎ ‎ ‎(2)由，得，下面分四种情形讨论 ‎ 当时，不等式恒成立；‎ 当时，不等式化简整理得，即恒成立，则，所以；‎ 当时，不等式化简整理得，即恒成立，则，所以；‎ 当时，不等式化简整理得，即恒成立，则，所以；‎ 综上.‎ ‎【趁热打铁】设．‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；（2）．‎ ‎（2）‎ 当且仅当时，取等号．…………………………8分 由不等式对任意实数恒成立，可得 解得 或．‎ 故实数的取值范围是…………………………10分 ‎【例2】已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）若，且，求证 ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【趁热打铁】【2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）】已知， ，函数.‎ ‎（Ⅰ）当， 时，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最大值为2，求证 .‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(Ⅰ)由题意可得.零点分段求解不等式可得不等式的解集为；‎ ‎(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得，则.由均值不等式的结论可得，当且仅当时，等号成立.‎ 证法二 由题意可得，零点分段可得，‎ 结合函数图像可得.由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的结论.‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）当时， .‎ 不等式为.学 ‎ ‎， ， ‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 另解 （Ⅱ）因为， ，所以，‎ 所以函数 ‎，‎ 所以函数的图象是左右两条平行于轴的射线和中间连结成的线段，‎ 所以函数的最大值等于，所以.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 或者 ，‎ 当且仅当，即时，“等号”成立.‎ ‎【例3】已知，为不等式的解集.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证 当时， .‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎（2）证明 ∵，∴，，‎ ‎∴.‎ ‎【趁热打铁】【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期末】已知为任意实数．‎ ‎（1）求证 ； ‎ ‎（2）求函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）1‎ ‎【解析】试题分析 （1）利用作差法比较两个式子的大小；（2）根据绝对值不等式的性质转化为求的最小值，根据即可求出. ‎ ‎（2） ，即.‎ ‎【方法总结☆全面提升】 ‎ ‎1.绝对值不等式的求解方法 ‎(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 |ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可. 学 ‎ ‎(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；‎ b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；‎ c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；‎ d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.‎ ‎2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法 ‎ ‎(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;‎ ‎(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,‎ 再根据题目要求,求解参数的取值范围. 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ ‎(3)应熟记以下转化 f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a有解⇔f(x)max>a;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ ‎4.利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有 (1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥2等；(4)≥(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab<0)等．‎ ‎5.分析法证明不等式的注意事项 用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】已知，函数的最小值为4．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值．‎ 当且仅当,即时，等号成立 所以的最小值为.‎ ‎【反思提升】证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法 ‎ ‎（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ ‎（2）利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ ‎（3）转化为函数问题，数形结合进行证明．学！ ‎ ‎【误区警示】当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．‎