【数学】2019届一轮复习北师大版”六法”求解数列的通项公式学案 10页

‎ 求解数列的通项公式 求数列的通项公式是数列整章的重要内容，也是高考基本题型之一，它是研究数列的基础.求数列的通项公式需注意以下几点.‎ ‎①数列的递推公式给出了相邻两项（或三项）之间的关系，只要知道第一项（或第一项、第二项）就可以用递推公式求出后面的各项，如果各项间的规律明显，还可以归纳出它的一个通项公式.‎ ‎②与的关系：对于任何一个数列，它的前项的和与通项都有这样的关系：‎ 若满足的关系，则合并为一个通项公式，否则要用分段形式表达.‎ ‎③的两种常见变形：‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【归纳猜想法】‎ 根据题意得到数列的前几项，通过观察猜想出通项公式，然后利用数学归纳法加以证明即可（除要求不需要证明外）.‎ ‎【例题1】在数列中，成等差数列，成等比数列. 求及的值，由此猜想的通项公式，并证明你的结论.‎ 解析：由条件得由此可得，， 猜想. 用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，由上知结论成立.‎ ‎②假设当时，结论成立，即，那么当时，‎ ‎.‎ 所以当时，结论也成立.‎ 由①②可知对一切正整数都成立.‎ ‎【例题2】将乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第堆只有一层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球.以表示第堆的乒乓球总数，则__________；__________（答案用表示）.‎ 解析：表示第堆的乒乓球总数，则.设第堆的最底层有个乒乓球，则. 所以有：‎ ‎ ‎ ‎【公式法】‎ 根据题意求等差或等比数列的基本量，直接写出通项公式.‎ ‎【例题3】已知是一个公差大于的等差数列，且满足.‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （1） 若数列和数列满足等式：（为正整数）.求数列前项和.‎ 解析：（1）解法：设等差数列的公差为，则依题意设. 由，得 ①. 由，得 ②. 由①得，将其代入②得，即，. 又，代入①得. ‎ 解法：由等差数列的性质得， . 由根与系数的关系知，是方程的根，解方程得或. 设公差为，则由，得. .‎ 故.‎ （2） 解法：当时，.当时，，，两式相减得，，.因此. 当时，；当时，‎ ‎. 当时上式也成立.当为正整数时都有.‎ 解法：令，则有，两式相减得：‎ ‎. 由（1）得. ，即当时，. 又当时，，. 于是 ‎. 即.‎ ‎【例题4】已知等比数列满足：‎ （1） 求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ 解析：（1）设等比数列的公比为，则由已知可得：，解得或. 故或.‎ （2） 若，则，故是首项为，公比为等比数列，‎ 从而. ‎ 若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而，故. 综上，对任何正整数，总有. 故不存在正整数，使得成立.‎ ‎【利用求数列的通项公式】‎ ‎【例题5】已知数列的前项和，数列的前项和.‎ （1） 求数列与通项公式；‎ （2） 设，证明：当且仅当时，.‎ 解析：（1）由题意可得：. 对于，有 ‎ 综上，的通项公式为. ‎ 将代入，得，故.‎ 求解法：对于，由于，得，‎ ‎，.‎ 求解法：对于，由于得，，，‎ ‎. 综上，的通项公式为 （2） 证法：由得. 当且仅当时，，即.‎ 证法：由得.当且仅当时，，即.‎ ‎【例题6】若数列的前项和，则的通项公式是__________.‎ 解析：，当时，. 得：，即. 又因为，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.‎ ‎【例题7】设是数列的前项和，且，则__________.‎ 解析：，即. 是以为首项，为公差的等差数列，.‎ ‎【例题8】设数列的前项和，满足，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ 解析：（1）由，取得①，又，‎ ‎ ②. 联立①②解得.‎ （2） 当时，由已知得，两式相减得 ‎，即，即 ‎，令，则 ③，由（1）知 ‎，由③知，，且时也成立，故.‎ ‎【累加法】‎ 形如的数列可利用累加法求数列的通项公式.‎ ‎【例题9】在数列中，.‎ ‎（1）设，求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ 解析：（1）由已知得，且，即，从而，. 于是 ‎. 又，满足. 故所求的通项公式.‎ （2） 由（1）知，故.设 ①，则 ②，‎ 得：.‎ ‎. .‎ ‎【例题10】已知在数列中，，且，则数列的通项公式__________.‎ 解析：由得，，…，，当时，以上个等式两边分别相加，得：‎ ‎，即. 又因为，所以.因为当 时，也适合上式，所以数列的通项公式为.‎ ‎【累乘法】‎ 形如的数列可利用累乘法求数列的通项公式.‎ ‎【例题11】在数列中，，求数列的通项公式.‎ 解法：由，得. 那么，当时，，而时，，因此.‎ 解法：由，得，故数列为常数列，则，即.‎ ‎【例题12】如图所示，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等，设. 若，则数列的通项公式是__________. ‎ 解析：令，因为所有相互平行且，所以 ‎. 当时，. 故 以上各式累乘，得. 因为，所以.‎ ‎【利用构造法求通项公式】‎ 形如转化为（为待定系数）形式，比较与的系数，得，所以.所以有，因此数列是首项为，公比为的等比数列，于是，所以.‎ ‎【例题13】在数列中，，则的通项公式是__________. ‎ 解析：由题意可得： ①， ②.‎ 得：，令，则.所以为等比数列，公比为，首项 所以，即 ‎.‎ 由①③两式可得.‎