黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟数学（理）试题 Word版含答案 13页

www.gkstk.com 齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设(为虚数单位），其中是实数，则等于（ ）‎ A．5 B． C． D．2‎ ‎3.某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（ ）‎ A．68 B．72 C．76 D．80 ‎ ‎4.的展开式中的系数为（ ）‎ A．15 B． C.5 D．‎ ‎5.已知双曲线是离心率为，左焦点为，过点与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若的面积为20，其中是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.执行如下图的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.等比例数列的前项和为，公比为，若则，（ ）‎ A． B．2 C. D．3‎ ‎9.已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（ ）‎ A．关于直线对称 B．关于直线对称 ‎ C.关于点对称 D．关于点对称 ‎10.已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，球的表面积为，平面,则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数满足条件的最小值为,则实数 ．‎ ‎14.若函数是偶函数时,,则满足的实数取值范围是 ．‎ ‎15. 已知平行四边形中,,,点 是中点，,则 ．‎ ‎16.已知数列的前项和为,且,,时,,则的通项公式 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中分别为角所对的边，已知 ‎(I)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ ‎18.在四棱锥中，底面是等腰梯形,,是等边三角形，点在上.且.‎ ‎（I）证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若平面⊥平面,求二面角的余弦值.‎ ‎19.近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:‎ 愿意接受外派人数 不愿意接受外派人数 合计 ‎80后 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎90后 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组 ‎①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?‎ ‎②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为,求的概率.‎ 参考数据:‎ 参考公式:，其中 ‎20. 设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点，以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为.‎ ‎(I)求抛物线的标准方程:‎ ‎(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.‎ ‎21.已知函数,且曲线在点处的切线与轴垂直.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若对任意(其中为自然对数的底数),都有恒成立,求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动.‎ ‎(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设,求面积的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设，且，求证：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ 齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题 ‎1.B ‎ ‎2.A ，，‎ ‎3.B .‎ ‎4.C .‎ ‎5.A 由可得，渐近线方程为，则，，‎ ‎,，双曲线方程为.‎ ‎6.D 该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体，体积.‎ ‎7.C ；；；；.输出.‎ ‎8.B 显然，由得，，又.‎ ‎9.D .‎ ‎10.C 由知,设球半径为,则由⊥平面知，又，，从而的面积为，又 面积为，设点到平面的距离为，则，，,∴直线与平面所成角正弦值为.‎ ‎11.D 由，，得 ‎,又,.‎ ‎12.A 由得，令，则，‎ 在是增函数，在上是减函数，，.‎ 二、填空题 ‎13. 作出约束条件表示的可行域,‎ ‎，平移直线至点时，，由，得.‎ ‎14. ‎ ‎15.13 由,得,‎ 设，所以，解得，‎ 所以. ‎ ‎16. 由得，是公差为2的等差数列，‎ 又，，，‎ 又，，，，‎ 所以，‎ 累加法得时，‎ ‎，‎ 又，所以.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由及得，‎ ‎，又在KH ,，，‎ ‎(Ⅱ)在中，由余弦定理，得 ‎，，‎ 的面积.‎ ‎18.解：（Ⅰ）连接,交于点，连接.‎ ‎∵在等腰梯形D中，,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 又平面，平面,所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取中点，取中点,连接,显然,‎ 又平面平面,平面平面,所以，平面.‎ 由于分别为中点，且在等腰梯形中，,‎ 则,故以为原点，以方向为轴，方向为轴，以方向为轴，建立下图所示空间直角坐标系.‎ 设，可求各点坐标分别为 可得 设平面的一个法向量为，由可得，‎ 令可得，，则.‎ 设平面的一个法向量为，由可得 令，可得则，.‎ 从而，‎ 则二面角的余弦值为.‎ ‎19.解：（Ⅰ）由可得其观测值 所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”.‎ ‎（Ⅱ）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3，‎ ‎90后组中，愿意接受外派人数为4，‎ ‎②“”包含“”“”“”“”“”“”六个互斥事件.‎ 且，,‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎20.解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为，由以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为，所以，即该抛物线的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题知，直线的斜率存在，不妨设直线，‎ 由，消得，即.‎ 抛物线在点处的切线方程为，令，得，所以，而三点共线，所以,及，得，即，整理得,将式代入得，即，故所求直线的方程为或.‎ ‎21.解：（Ⅰ）的定义域为，因为，‎ 由题意知，，，所以由得，由，‎ 的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 法一：设，则，‎ 令，则，‎ 时，，在上递减，，‎ 时，，在上是减函数，‎ 时，由题意知，，又，‎ 下证时，成立，‎ 即证成立，‎ 令，则，‎ 由，在是增函数，‎ 时，，‎ 成立，即成立，正数的取值范围是.‎ 法二：①当时，可化为，‎ 令，则问题转化为验证对任意恒成立.‎ ‎，令，得，令，得，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 当时，下面验证.‎ 设，则.‎ 所以在上单调递减，所以.即.‎ 故此时不满足对任意恒成立；‎ 当时，函数在上单调递增.‎ 故对任意恒成立，故符合题意,‎ 综合得.‎ ‎②当时，，则问题转化为验证对任意恒成立.‎ ‎，‎ 令得 ; 令，得，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在上是增函数，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以只需，即 当时，在上单调递减，则需.‎ 因为不符合题意.‎ 综合，得.‎ 综合①②，得正数的取值范围是 ‎22.解：（Ⅰ）设,则，‎ 又,,,，‎ 将代入得，点轨迹方程为 ‎（Ⅱ）设则，‎ 的面积 ‎，‎ 当且仅当时，取“=”，取即可，‎ 面积的最大值为，（用直角坐标方程求解，参照给分）‎ 23. 解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎ ‎