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- 2021-06-24 发布
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第三课时 平面与平面平行的性质
一、教学目标:
1、知识与技能
掌握两个平面平行的性质定理及其应用
2、过程与方法
学生通过观察与类比,借助实物模型理解及其应用
3、情感、态度与价值观
(1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力;
(2)进一步体会类比的作用;
(3)进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点:平面与平面平等的性质定理
难点:平面与平面平等的运用
三、教学方法
讲录结合
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1.直线和平面平行的性质
2.平面和平面平行的性质
3.线线平等线面平行→面面平行
师生共同复习. 教师点出主题.
复习巩固
探索新知
平面和平面平行的性质
1.思考:(1)两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个面具有什么关系?
(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么关系?
(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一平面内的直线在什么条件下不平行?
2.例1 如图,已知平面,,满足,,,证:a∥b.
师:请同学们思考:两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系?
生:借助长方体模型可以发现,若平面AC和平面A′C′ 平行,则两面无公共点,那么出就意味着平面AC内任一直线BD和平面A′C′ 也无公共点,即直线BD和平面A′C′ 平行.
师:用式子可表示为,.
用语言表述就是:
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面.(板书)
生:由问题知直线BD与平面
新教材常常要将面面平行转化为线面平行讨论,但没有给出结论,故补充,只是不作太多强调.
加深对知识的理解
证明:因为,
,
所以,.
又因为,
所以a、b没有公共点,
又因为a、b同在平面内,
所以a∥b.
3.定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
上述定理告诉我们,可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
A′C′ 平行. BD与平面A′C′ 没有公共点. 也就是说,BD 与平面A′C′ 内的所有直线没有公共点. 因此,直线BD 与平面A′C′ 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线.
生:由问题2知要两条直线平行,只要他们共面即可.
师:我们把刚才这个结论用符号表示,即是例5的证明.
师生共同完成并得出性质定理.
师引导学生得出结论:两个平行平面的判定定理与性质定理的作用,要害都集中在“平行”二字上,判定定理解决的问题是:在什么样的条件下两个平面平行.性质定理说明的问题是:在什么样的条件下两条直线平行,前者给出了判定两个平面平行的一种方法,后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
师下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.
典例分析
例2 夹在两个平行平面间的平行线段相等,如图∥,AB∥CD,且A∈,C∈,B∈,D∈,求证:AB = CD.
证明:如图,AB∥CD,AB、CD确定一个平面
,
例3如图,已知平面,AB、CD是异面直线,且AB分别交
师投影例2并读题,学生写出已知求证并作图(师投影)师生共同讨论,边分析边板书.
师:要证两线段相等,已知给的条件又是平行关系,那么证两线段所在四边形是平行四边形,进而说明两线段相等是解决问题常选用的一条途径.
师投影例3并读题
分析:满足怎样的条件的直线与平面平行(线线平行或面面平),我们能在平面内找到一条直线与MN平行吗?能找一个过MN且与
巩固所学知识,培养学生书写表达能力和分析问题解决问题的能力.
于A、B两点,CD分别交于C、D两点.M、N分别在AB、CD上,且.
求证:MN∥
证明:如图,过点A作AD′∥CD,交于D′,再在平面AB D′内作ME∥B D′,交AD′于E.则,
又
∴.
连结EN、AC、D′D,平行线AD′与CD确定的平面与、的交线分别是AC、D′D.
∵,∴AC∥D′D
又
∴EN∥AC∥D′D
∵,
∴EN∥,又MN∥.
∴平面MEN∥
∴MN∥.
平行的平面吗?这样的直线和平面有何特征!
证明二:利用过MN的平面AMN在平面找与MN平行的直线(如图)
连AN设交于E,连结DE,AC为相交直线AE、DC确定的平面与、的交线.
∵
∴AC∥DE
∴
又
∴
∴在△ABC中MN∥BE
又,
∴MN∥
证明三:利用过MN的平面CMN在平面中找出MN平行的直线.
构建知识体系,培养学生思维的灵活性.
随堂练习
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”号,错误的画“×”号.
(1)如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面. ( )
学生独立完成
巩固所学知识
(2)如果直线a和平面满足a∥,那么a与内的任何直线平行. ( )
(3)如果直线a,b和平面满足a∥,b∥,那么a∥b.
( )
(4)如果直线a,b和平面满足a∥b,a∥,,那么b∥. ( )
2.如图,正方体ABCD – A′B′C′D′中,AE = A1E1,AF =A1F1,求证EF∥E1F1,且EF = E1F1.
参考答案:
1. (1)×(2)×
(3)×(4)√
2. 提示:连结E E1, FF1,证明四边形EFF1E1为平行四边形即可.
归纳总结
1.平面和平面平行的性质
2.线线平行线面平行面面平行
学生先归纳,教师给予补充完善
回顾、反思、归纳知识,提高自我整合知识能力.
课后作业
2.2 第三课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 如图,设平面a∥平面,AB、CD是两异面直线,M、N分别是AB、CD的中点,且A、C,B、D.求证:MN∥ .
【证明】连接BC,取BC的中点E,分别连接ME、NE,
则MN∥AC,∴ME∥平面,
又NE∥BD,∴NE∥,
又ME∩NE = E,∴平面MEN∥平面,
∵MN平面MEN.∴MN∥.
【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”,要证“线面平行”,只要证“
线线平面”,故问题最终转化为证线与线的平行.
例2 ABCD是矩形,四个顶点在平面内的射影分别为A′、B′、C′、D′,直线A′B′与C′D′不重合,求证:A′B′C′D′是平行四边形.
【证明】如图.
∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面内的射影.
∴BB′⊥,CC′⊥,
∴BB′∥CC′.
≠
≠
∵CC′ 平面CC′D′D,BB′ 平面CC′D′D,
∴BB′∥平面CC′D′D.
又∵ABCD是矩形,
≠
∴AB∥CD,CD 平面CC′D′D,
∴AB∥平面CC′D′D
∵AB,BB′是平面ABB′A′ 内的两条相交直线,
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D.
又∩平面ABB′A′=A′B′,∩平面CC′D′D = C′D′,∴A′B′∥C′D′.
同理,B′C′∥A′D′,∴A′B′C′D′是平行四边形.
【评析】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后,空间平等问题的证明,紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明.
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