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- 2021-06-24 发布
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曲靖市第二中学2019届高三第一次模拟考试
文科数学
(本卷满分分,考试时间分钟)
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮檫干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的。
1.若复数,则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若集合,,则
A. B. C. D.
3.已知P(1,3)在双曲线-=1的渐近线上, 则该双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.
4.“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数在点处的切线方程是
A. B. C. D.
6.已知,是非零向量,且向量,的夹角为,若向量,则
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图,为使输出的数据为63,
则判断框中应填入的条件为
A. B.
C. D. (第7题图)
8.已知数列的前n项和为Sn , 通项公式an=log2 (n∈N*), 则满足不等式Sn<-6的n的最小值是
A.62 B.63 C.126 D.127
9.在中,的对边分别为,其中,且,则其最小角的余弦值为
A. B. C. D.
10.右图为一个正四面体的侧面展开图,G为BF的中点,则
在原正四面体中,直线EG与直线BC所成角的余弦值为
A. B.
C. D. (第10题图)
11.本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放, 甲、乙两人计划前去自习, 其中甲连续自习2小时, 乙连续自习3小时.假设这两人各自随机到达图书馆, 则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是
A. B. C. D.
12.已知双曲线的两顶点分别为,为双曲线的一个焦点,为虚轴的一个端点,若在线段上(不含端点)存在两点,使得,则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:(本题共4个小题,每个小题5分,共20分)
13. 已知圆C1:(x-a)2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+5=0外切, 则a的值为 .
14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
15.若变量x,y满足,且的最小值为,则实数的值为 .
16.在平面直角坐标系中,点在单位圆上,设,且.
若,则的值为 .
三、解答题:(本大题共6个小题,共70分)
17.(本题12分)已知函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)求使函数取得最大值的的集合.
18. (本题12分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级. 若S≤4,则该产品为一等品. 现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
(x,y,z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
(x,y,z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2) 在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
19.(本题12分)如图, 已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面, AB=AC, ∠BAC=90, 点M, N分别是A′B和B′C′的中点.
(1) 证明:MN∥平面AA′C′C;
(2) 设AB=λAA′,当λ为何值时,CN⊥平面A′MN,试证明你的结论.
20.(本题12分)如图, 已知抛物线C:y2=x和⊙M:(x-4)2+y2=1, 过抛物线C上一点H(x0,y0) (y0≥1)作两条直线与⊙M分别相切于A、B两点, 分别交抛物线于E、F两点.
(1) 当∠AHB的角平分线垂直x轴时, 求直线EF的斜率;
(2) 若直线AB在y轴上的截距为t, 求t的最小值.
21.(本题12分)设和是函数的两个极值点,其中,.
(1) 求的取值范围;
(2) 若,求的最大值.
请考生在第22,23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分
22. (本题10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中, 圆C的参数方程为 (θ为参数).
(1) 以原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求圆C的极坐标方程;
(2) 已知A(-2, 0), B(0, 2), 圆C上任意一点M, 求△ABM面积的最大值.
23. (本题10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=k-, x∈R且f(x+3)≥0的解集为.
(1) 求k的值;
(2) 若a, b, c是正实数, 且++=1, 求证:a+b+c≥1.
曲靖市第二中学2019届高三第一次模拟考试答案
文科数学
一.选择题
1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C 9.C 10.C 11.B 12.A
二.填空题
13.0或6 14. 15. 2 16.
17. (1) f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)
= 2[sin2(x-)- cos2(x-)]+1
=2sin[2(x-)-]+1
= 2sin(2x-) +1 ∴ T==π
(2) 当f(x)取最大值时, sin(2x-)=1, 有 2x- =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z)
∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ , (k∈Z)}.
18.(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6. ------4分
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种 ----9分
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)=. ----12分
19.(1)取A′B′的中点E,连接ME,NE.
因为点M,N分别是A′B和B′C′的中点,所以NE∥A′C′,ME∥AA′,
又A′C′面AA′C′C,AA′面AA′C′C,
所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,
所以平面MNE∥平面AA′C′C,因为MN平面MNE,
所以MN∥平面AA′C′C. 6分
(2)连接BN,设A′A=a,则AB=λa,由题意知BC=λa,NC=BN=,
∵三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,
∵AB=AC,点N是B′C′的中点,∴A′N⊥平面BB′C′C,∴CN⊥A′N.
要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,∴CN2+BN2=BC2,2=2λ2a2
∴ λ=,
∴当λ=时,CN⊥平面A′MN. 12分
20.(1)法一:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),
∴kHE=-kHF,设E(x1,y1),F(x2,y2),
∴=-,∴=-,∴y1+y2=-2yH=-4,
kEF====-. 6分
法二:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),
∴∠AHB=60°,可得kHA=,kHB=-,∴直线HA的方程为y=x-4+2,
联立方程组得y2-y-4+2=0,
∵yE+2=,∴yE=,xE=.
同理可得yF=,xF=,∴kEF=-. 6分
(2)法一:
设点H(m2,m)(m≥1),HM2=m4-7m2+16,HA2=m4-7m2+15.
以H为圆心,HA为半径的圆方程为:(x-m2)2+(y-m)2=m4-7m2+15,①
⊙M方程:(x-4)2+y2=1.②
①-②得:直线AB的方程为(2x-m2-4)(4-m2)-(2y-m)m=m4-7m2+14.
当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-(m≥1),
∵t关于m的函数在[1,+∞)单调递增,∴tmin=-11. 12分
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵kMA=,∴kHA=,
可得,直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,
同理,直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,
∴(4-x1)y-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)y-y2y0+4x2-15=0,
∴直线AB的方程为(4-y)x-y0y+4y-15=0,
令x=0,可得t=4y0-(y0≥1),
∵t关于y0的函数在[1,+∞)单调递增,∴tmin=-11. 12分
21.函数的定义域为,.
依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故
, 并且.
所以,
故的取值范围是
(Ⅱ)解:当时,.若设,则
.
于是有
构造函数(其中),则.
所以在上单调递减,.
故的最大值是 .
22.(1)圆C的参数方程为(θ为参数)
所以普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4,
∴圆C的极坐标方程:ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0. 5分
(2)设点M(3+2cos θ,-4+2sin θ),
则点M到直线AB:x-y+2=0的距离为d=,
△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=,
所以△ABM面积的最大值为9+2. 10分
23.(1)因为f(x)=k-,所以f(x+3)≥0等价于:
由≤k有解,得k≥0,且其解集为
又f(x+3)≥0的解集为,故k=1. 5分
(2)由(1)知++=1,又a,b,c是正实数,由均值不等式得
a+2b+3c=(a+2b+3c) =3++++++=
3+++≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=2b=3c时取等号.
也即a+b+c≥1. 10分
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