2021版高考数学一轮复习第六章不等式6-2均值不等式练习新人教B版 10页

‎6.2 均值不等式 核心考点·精准研析 考点一　利用均值不等式求最值 ‎ 命 题 精 解 读 考什么：(1)考查求最值，证明不等式等问题.‎ ‎(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的【核心素养】.‎ 怎么考：求式子的最值，证明不等式、与函数结合考查求函数的值域，与解析几何结合求面积等几何量的最值.‎ 新趋势：与函数相结合求值域.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.求最值的解题思路 ‎(1)拼凑法：拼凑成积或和为定值，利用均值不等式求相应的最值.‎ ‎(2)构造法：通过对已知条件的变形，构造定值，代入后利用均值不等式求值.‎ ‎(3)消元法：当要求最值的式子中含有多个字母时，应考虑利用已知条件减少字母的个数，以达到利用均值不等式求最值的目的.‎ ‎2.交汇问题 ‎ 与方程、不等式交汇时，涉及恒成立问题、参数的范围等.‎ ‎ 通过拼凑定值求最值 ‎【典例】已知a,b>0,则+的最小值为__________. ‎ ‎【解析】因为a,b>0,方法一:原式=+1+-1=+-1≥2-1=4-1=3,‎ 当且仅当=,a=b时取等号.‎ 方法二:所以+=+1+-1‎ 10‎ ‎≥2-1=3,‎ 当且仅当+1=,即a=b时取等号.‎ 答案:3‎ 本例不能直接运用均值不等式时怎么办？‎ 提示：通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形，再观察拼凑定值利用均值不等式求最小值.‎ 通过常值代换求最值 ‎【典例】(2019·深圳模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值 (　　)‎ A.+ B.+ C.3+2 D.+‎ ‎【解析】选A.已知a>1,b>0,a+b=2,‎ 可得(a-1)+b=1,a-1>0,‎ 则+=[(a-1)+b]‎ ‎=1+++≥+2=+;‎ 当且仅当=,a+b=2时取等号.‎ 则+的最小值为+.‎ 10‎ 将条件进行变形目的是什么？‎ 提示：将已知条件变形，变形的方向是要证明的式子，特别是与式子分母相关的定值，将定值变为1后相乘，再利用均值不等式求最值.‎ 通过消元求最值 ‎【典例】(2020·武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为 (　　)‎ A.　 B.　 C.　 D.‎ ‎【解析】选B.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,‎ 所以y=>0,解得x>4,‎ 所以===≤=,当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.‎ 将其中一个字母利用另一个字母表示，代入后的变形方向如何？‎ 提示：构造定值以利用均值不等式求最值.‎ 构造二次不等式求最值 ‎【典例】(2019·重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为________. ‎ ‎【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,‎ 所以6-2a-b=ab=×2ab≤,‎ 10‎ 所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,‎ 当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.‎ 答案:4‎ 本题利用均值不等式，将已知式子进行转换的目标是什么？‎ 提示：转化成关于2a+b的二次不等式，通过解不等式求最值.‎ ‎1.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为(　　)‎ A.-9　 B.9　　 C.10　　　 D.0‎ ‎2.(2020·厦门模拟)已知00,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为(　　)‎ A.5+2 B.8 C.5 D.9‎ ‎4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 (　　)‎ A.1　 B.3　 C.6　　 D.12‎ ‎【解析】1.选B.=5++x2y2≥5+2=9,‎ 当且仅当xy=±时,上式取得等号,可得最小值为9.‎ ‎2.选D.因为00,‎ 所以+=(x+1-x)‎ 10‎ ‎=5++≥5+2=9,‎ 当且仅当=,即x=时取等号,‎ 所以+取得最小值时x=.‎ ‎3.选A.因为a>0,b>0,且2a+b=ab-1,‎ 所以a=>0,所以b>2,‎ 所以a+2b=+2b=2(b-2)++5‎ ‎≥5+2=5+2,‎ 当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.‎ 所以a+2b的最小值为5+2.‎ ‎4.选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,‎ 所以2x+y=2x+==+‎ ‎≥2=3.当且仅当=,即x=1时取等号.‎ ‎1.已知点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,若存在满足该条件的a,b,使得不等式+≤m2+8m成立,则实数m的取值范围是 (　　)‎ 10‎ A.(-∞,-1]∪[9,+∞) B.(-∞,-9]∪[1,+∞)‎ C.[-1,9] D.[-9,1]‎ ‎【解析】选B.点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,可得a+2b=1,+=(a+2b)=5++≥5+2=9,‎ 当且仅当a=b=时取得等号,即+的最小值为9,‎ 则9≤m2+8m,解得m≥1或m≤-9.‎ ‎2.以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为 (　　)‎ A.4　　 B.　 C.8　　 D.2‎ ‎【解析】选D.根据题意,设为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+=t2++2+2≥2+2×2+2=8,当且仅当t=时,等号成立,则r的最小值为2.‎ 考点二　均值不等式在实际问题中的应用 ‎ ‎【典例】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=‎ 当该型号汽车的速度为________ km/h时,每小时耗油量最少,最少为每小时________ L.  ‎ 10‎ ‎【解析】当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675],‎ 所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.‎ 当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,‎ 故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为9<10,所以当x=65,‎ 即该型号汽车的速度为65 km/h时,可使得每小时耗油量最少,最少为每小时9 L.‎ 答案:65　9‎ ‎　有关实际问题中的最值问题 ‎(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用均值不等式求得函数的最值.‎ ‎(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.‎ ‎(3)在应用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.‎ ‎　网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元. ‎ ‎【解析】由题意知t=-1(1b>1,且2logab+3logba=7,则a+的最小值为 (　　)‎ A.3　　 B. C.2　　 D.‎ ‎【解析】选A.令logab=t,由a>b>1得0