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  • 2021-06-24 发布

2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课时作业

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第2讲 三角恒等变换与解三角形 限时50分钟 满分76分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎1.(2020·河北省六校联考)已知α∈(0,π),且tan α=2,则cos 2α+cos α=(  )‎ A.        B. C. D. 解析:B [∵α∈(0,π),tan α=2,∴α在第一象限,cos α=,cos 2α+cos α=2cos2α-1+cos α=2×2-1+=-+=,选B.]‎ ‎2.(2020·日照模拟)已知sin 2α=,则cos2=(  )‎ A. B. C. D. 解析:C [∵sin 2α=cos=2cos2-1=,∴cos2=.]‎ ‎3.(组合型选择题)下列式子的运算结果为的是(   )‎ ‎①tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°;‎ ‎②2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°);‎ ‎③; ④.‎ A.①②④ B.③④‎ C.①②③ D.②③④‎ 解析:C [对于①,tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+tan 25°tan 35°=-tan 25°tan 35°+tan 25°tan 35°=;‎ 对于②,2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)=2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=;‎ 对于③,==tan 60°=;‎ - 6 -‎ 对于④,=×=×tan=.‎ 综上,式子的运算结果为的是①②③.故选C.]‎ ‎4.(2019·沈阳质检)已知△ABC的内角分别为A,B,C,AC=,BC=2,B=60°,则BC边的高为(  )‎ A. B. C. D. 解析:B [由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,得7=AB2+4-4ABcos 60°,即AB2-2AB-3=0,得AB=3,则BC边上的高为ABsin 60°=,故选B.]‎ ‎5.(2020·广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=,C=,sin B=2sin A,则△ABC的周长是(  )‎ A.3 B.2+ C.3+ D.4+ 解析:C [在△ABC中,sin B=2sin A,∴由正弦定理得b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+4a2-2a2=3a2,又c=,∴a=1,b=2.∴△ABC的周长是a+b+c=1+2+=3+.故选C.]‎ ‎6.‎ ‎(2019·保定二模)已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C,D分别在北偏东45°和北偏东30°方向,若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C,D,此时C,D分别在北偏西15°和北偏西60°方向,则帐篷C,D之间的距离为(  )‎ A.10米 B.10米 C.5米 D.5米 解析:C [由题意可得∠DAB=60°,∠CAB=45°,∠CBA=75°,∠DBA=30°,在△ABD中,∠DAB=60°,∠DBA=30°,AB=30,所以∠ADB=90°,sin∠DAB=sin 60°=,解得BD=15.在△ABC中,∠CAB=45°,∠CBA=75°,所以∠ACB=60°,= - 6 -‎ ‎,解得BC=10.在△BCD中,∠CBD=∠CBA-∠DBA=45°,则由余弦定理得cos∠CBD=cos 45°=,即=,得CD=5.故选C.]‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)‎ ‎7.(2020·陕西省质量检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=1-,且b=5,·=5,则△ABC的面积是________.‎ 解析:在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=1-,‎ 所以=1-,化简可得:b2=a2+bc-c2,可得cos A=,∵0<A<π,∴A=.‎ 又b=5,·=5,∴bccos A=5,∴bc=10.‎ S=·bcsin A=×10×=.‎ 答案: ‎8.(2019·浙江卷)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________.‎ 解析:解答解三角形问题,要注意充分利用图形特征.‎ 在ΔABD中,有:=,而AB=4,∠ADB=,AC==5,sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.‎ cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.‎ 答案:, - 6 -‎ 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)‎ ‎9.(2019·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;‎ ‎(2)若=,求sin的值.‎ 解:(1)因为a=3c,b=,cos B=,‎ 由余弦定理,得cos B=,‎ 得=,即c2=.所以c=.‎ ‎(2)因为=,‎ 由正弦定理=,得=,所以cos B=2sin B.‎ 从而cos2 B=(2sin B)2,即cos2 B=4(1-cos2 B),故cos2 B=.‎ 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=.‎ 因此sin=cos B=.‎ ‎10.(2020·辽宁三市调研)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足(a-c)·=c·.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若|-|=,求△ABC面积的最大值.‎ 解:(1)由题意得(a-c)cos B=bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,‎ 所以sin Acos B=sin(C+B),即sin Acos B=sin A.‎ 因为A∈(0,π),所以sin A>0,‎ 所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.‎ ‎(2)因为|-|=,所以||=,即b=,‎ 根据余弦定理及基本不等式得 ‎6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac(当且仅当a=c时取等号),即ac≤3(2+),‎ - 6 -‎ 故△ABC的面积S=acsin B≤,‎ 即△ABC面积的最大值为.‎ ‎11.‎ ‎(2020·广东六校联考)某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km.‎ ‎(1)求道路BE的长度.‎ ‎(2)求生活区△ABE面积的最大值.‎ 解析:‎ ‎(1)如图,连接BD,在△BCD中,由余弦定理得:BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=,所以BD=,因为BC=CD,所以∠CDB=∠CBD==,又∠CDE=,所以∠BDE=.‎ 在Rt△BDE中,BE==.‎ ‎(2)设∠ABE=α,因为∠BAE=,‎ 所以∠AEB=-α.在△ABE中,由正弦定理,得 ====,‎ 所以AB=sin,AE=sin α.‎ - 6 -‎ 所以S△ABE=|AB||AE|sin ‎= ‎=≤=,‎ 因为0<α<,所以当2α-=,即α=时,S△ABE取得最大值为,即生活区△ABE面积的最大值为.‎ - 6 -‎