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- 2021-06-24 发布
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[练案20]第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
A组基础巩固
一、单选题
1.tan 390°=( C )
A.- B.
C. D.-
[解析] tan 390°=tan (360°+30°)=tan 30°=.
2.(2020·新疆普通高中学业水平考试)已知x∈(-,0),cos x=,则tan x的值为( B )
A. B.-
C. D.-
[解析] 因为x∈(-,0),所以sin x=-=-,所以tan x==-.故选B.
3.(2020·福建泉州第一次检测)已知α为第二象限角,则+的值是( B )
A.-1 B.1
C.-3 D.3
[解析] ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,
∴+=+=+=1.选B.
4.(2020·贵州贵阳十二中期中)已知=-,则的值是( D )
A. B.-
C. D.-
[解析] ∵×===1,
∴=-,故选D.
5.(2020·湖北宜昌联考)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4),则sin
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(α-)=( B )
A.- B.-
C. D.
[解析] 角α的终边经过点P(3,4),根据三角函数的定义得到sin α=,cos α=,所以sin (α-)=-sin (α-+)=-sin (α+)=-cos α=-.故选B.
6.(2016·全国Ⅲ)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=( A )
A. B.
C.1 D.
[解析] cos2α+2sin 2α===,故选A.
7.(2020·广西玉林月考)设f(x)=asin (πx+α)+bcos (πx+β),其中a,b,α,β都是实数,若f(2 019)=-1,那么f(2 020)=( A )
A.1 B.2
C.0 D.-1
[解析] 由f(2 019)=asin (2 019π+α)+bcos (2 019π+β)=-asin α-bcos β=-1,f(2 020)=asin (2 020π+α)+bcos (2 020π+β)=asin α+bcos β=1.故选A.
8.(2020·山东日照模拟)已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则sin 2θ的值为( B )
A. B.
C. D.-
[解析] 由已知得tan θ=2,所以sin 2θ=2sin θcos θ===.
二、多选题
9.已知cos (θ+)=,,则sin 2θ的值可能为( AB )
- 6 -
A.- B.
C.- D.
[解析] 由cos (θ+)=,得sin θ=-,cos θ=±,则sin 2θ=2sin θcos θ=±.故选A、B.
10.已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈[,π],则下列结论不正确的是( ABC )
A.m≤-5 B.3≤m<5
C.m=0 D.m=8
[解析] 因为θ∈[,π],所以sin θ=≥0 ①,cos θ=≤0 ②,且()2+()2=1,整理得=1,即5m2-22m+25=m2+10m+25,即4m(m-8)=0,解得m=0或m=8,又m=0不满足①②两式,m=8满足①②两式,故m=8.故选A、B、C.
三、填空题
11.(2020·广西玉林模拟)化简:(1+tan2α)(1-sin2α)=__1__.
[解析] (1+tan2α)(1-sin2α)=(1+)·cos2α=·cos2α=1.
12.(2020·山东枣庄调研二)已知α是第二象限角,cos (-α)=,则tan α= - .
[解析] ∵cos (-α)=,∴sin α=,又α为第二象限角,∴cos α=-=-,
∴tan α==-.
13.(2020·江西九江一中月考)已知cos (-α)=,则cos (+α)-sin2(α-)= - .
[解析] cos (+α)-sin2(α-)=cos [π-(-α)]-sin2(-α)=-cos (-α)-sin2(-α)=cos2(-α)-cos (-α)-1=-.
- 6 -
14.(2020·山西太原一中月考)已知sin (3π+α)=2sin (+α),则的值为 - .
[解析] ∵sin (3π+α)=2sin (+α),∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α,∴tan α=2,∴==-.
B组能力提升
1.(2020·重庆一中月考)已知α∈(,2π),且满足 cos (α+)=,则sin α+cos α=( C )
A.- B.-
C. D.
[解析] 因为cos (α+)=cos (α+1 008π+)=-sin α=,所以sin α=-.又α∈(,2π),所以cos α==,则sin α+cos α=-+=,故选C.
2.(2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考)已知角θ与角φ的终边关于直线y=x对称,且θ=-,则sin φ=( D )
A.- B.
C.- D.
[解析] 因为角θ与角φ的终边关于直线y=x对称,所以θ+φ=2kπ+(k∈Z),又θ=-,所以φ=2kπ+(k∈Z).于是sin φ=sin (2kπ+)=sin =sin =.故选D.
3.(2020·辽宁沈阳模拟)若=2,则cos α-3sin α=( C )
A.-3 B.3
C.- D.
[解析] ∵=2,∴cos α=2sin α-1,又sin2α+cos2α=1,∴sin2α
- 6 -
+(2sin α-1)2=1,5sin2α-4sin α=0,解得sin α=或sin α=0(舍去),∴cos α-3sin α=-sin α-1=-.故选C.
4.(2016·课标全国Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin (θ+)=,则tan (θ-)= - .
[解析] sin (θ+)=sin [+(θ-)]=cos (θ-)=.
又θ是第四象限角,∴-+2kπ<θ<2kπ(k∈Z),
∴-+2kπ<θ-<-+2kπ(k∈Z),
∴sin (θ-)=-=-,
∴tan (θ-)==-.
5.(2020·吉林长春月考)已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两个根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及θ的值.
[解析] (1)由已知得
则+=+==sin θ+cos θ=.
(2)将①式两边平方得1+2sin θcos θ=.
所以sin θcos θ=.
由②式得=,所以m=.
(3)由(2)可知原方程变为
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2x2-(+1)x+=0,解得x1=,x2=.
所以或
又θ∈(0,2π),所以θ=或θ=.
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