2014年辽宁省高考数学试卷（理科） 28页

‎2014年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）‎ A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i ‎3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣‎ ‎8．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（　　）‎ A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0‎ ‎9．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：‎ ‎①f（0）=f（1）=0；‎ ‎②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．‎ 若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．‎ ‎13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=　　．‎ ‎14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是　　．‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　　．‎ ‎16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：‎ ‎（Ⅰ）a和c的值；‎ ‎（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．‎ ‎18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．‎ ‎19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2‎ 交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数 f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）‎ g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.‎ ‎22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．将圆x2+y2‎ ‎=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎　‎ 不等式选讲 ‎24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．‎ ‎　‎ ‎2014年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）．‎ ‎【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，‎ ‎∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）‎ A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i ‎【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．‎ ‎【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：‎ ‎，‎ ‎∴z=2+3i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞‎ ‎1，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵0＜a=＜20=1，‎ b=log2＜log21=0，‎ c=log=log23＞log22=1，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；‎ B．运用线面垂直的性质，即可判断；‎ C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；‎ D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．‎ ‎【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；‎ B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；‎ C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；‎ D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•‎ ‎=0不一定成立，故命题p为假命题，‎ 若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，‎ 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．‎ ‎【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣‎ ‎【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，‎ 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，‎ ‎∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（　　）‎ A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0‎ ‎【分析】由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d，‎ 又数列{2}为递减数列，‎ ‎∴=＜1，‎ ‎∴a1d＜0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．‎ ‎【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，‎ 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．‎ 即y=3sin（2x﹣）．‎ 当函数递增时，由，得．‎ 取k=0，得．‎ ‎∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，‎ 即准线方程为：x=﹣2，‎ ‎∴p＞0，=﹣2即p=4，‎ ‎∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，‎ 设切点B（m，n），则n=2，‎ 又导数y′=2，则在切点处的斜率为，‎ ‎∴即m=2m，‎ 解得=2（舍去），‎ ‎∴切点B（8，8），又F（2，0），‎ ‎∴直线BF的斜率为，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．‎ ‎【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；‎ 当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，‎ 令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），‎ 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，‎ f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；‎ 当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，‎ 由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜‎ ‎0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；‎ 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：‎ ‎①f（0）=f（1）=0；‎ ‎②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．‎ 若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．‎ ‎【解答】解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，‎ 依题意可设k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．‎ 当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；‎ 当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|‎ ‎≤|k（1+）﹣k|=＜；‎ 当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；‎ 当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；‎ 综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，‎ ‎∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，‎ ‎∴m≥，即m的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．‎ ‎13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=　　．‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件|y﹣x|＜1，计算输出y的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=9，y=+2=5，|5﹣9|=4＞1；‎ 第二次循环x=5，y=+2=，|﹣5|=＞1；‎ 第三次循环x=，y=+2．|+2﹣|=＜1，‎ 满足条件|y﹣x|＜1，跳出循环，输出y=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•辽宁）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是　　．‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），‎ ‎∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，‎ 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　12　．‎ ‎【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|‎ 的值．‎ ‎【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，‎ ‎∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，‎ ‎∴|AN|+|BN|=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为　﹣2　．‎ ‎【分析】首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，‎ ‎∴=‎ 由柯西不等式得，‎ ‎[][]=|2a+b|2‎ 故当|2a+b|最大时，有 ‎∴‎ ‎∴﹣+===，‎ 当b=时，取得最小值为﹣2．‎ 故答案为：﹣2‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：‎ ‎（Ⅰ）a和c的值；‎ ‎（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；‎ ‎（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，‎ ‎∴c•acosB=2，即ac=6①，‎ ‎∵b=3，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，‎ ‎∴a2+c2=13②，‎ 联立①②得：a=3，c=2；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，‎ 由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，‎ ‎∵a=b＞c，∴C为锐角，‎ ‎∴cosC===，‎ 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；‎ ‎（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”‎ B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，‎ 因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，‎ P（A2）=0.003×50=0.15，‎ P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，‎ ‎（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为X～B（3，0.6），‎ 所以期望E（X）=3×0.6=1.8，‎ 方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此•=0，所以EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），依题意，可求得一个=（1，﹣‎ ‎，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，可求得sinθ的值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，），D（，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），‎ 由得其中一个=（1，﹣，1），‎ 设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos＜，＞|=||=，‎ 因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则切线的斜率为，‎ 可得切线的方程为，化为x0x+y0y=4．‎ 令x=0，可得；令y=0，可得．‎ ‎∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S==．‎ ‎∵4=，当且仅当时取等号．‎ ‎∴．此时P．‎ 由题意可得，，解得a2=1，b2=2．‎ 故双曲线C1的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C1的焦点（±，0），即为椭圆C2的焦点．‎ 可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．‎ 把P代入可得，解得=3，‎ 因此椭圆C2的方程为．‎ 由题意可设直线l的方程为x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，化为，‎ ‎∴，．‎ ‎∴x1+x2==，‎ x1x2==．‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴+，‎ ‎∴，解得m=或m=，‎ 因此直线l的方程为：或．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•辽宁）已知函数 f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）‎ g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据x∈（0，）时，f′（x）＜0，得出f（x）是单调减函数，‎ 再根据f（0）＞0，f（）＜0，得出此结论；‎ ‎（Ⅱ）构造函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，‎ 令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零点t1∈（0，），‎ 即证g（x）存在唯一的零点x1∈（，π），满足x0+x1＜π．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵当x∈（0，）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx＜0，‎ ‎∴函数f（x）在（0，）上为减函数，‎ 又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π2﹣＜0；‎ ‎∴存在唯一的x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）考虑函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，‎ 令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，‎ 记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），‎ 则u′（t）=﹣•‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ ‎=，‎ 由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；‎ 在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，‎ ‎∴u（t）在（0，x0]上无零点；‎ 在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，‎ ‎∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；‎ ‎∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；‎ ‎∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；‎ ‎∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，‎ ‎∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，‎ ‎∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.‎ ‎22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；‎ ‎（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，‎ ‎∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，‎ ‎∵∠PGD=∠EGA，‎ ‎∴∠DBA=∠EGA，‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，‎ ‎∴∠BDA=∠PFA，‎ ‎∵AF⊥EP，‎ ‎∴∠PFA=90°．‎ ‎∴∠BDA=90°，‎ ‎∴AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）连接BC，DC，则 ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴∠BDA=∠ACB=90°，‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，‎ ‎∴Rt△BDA≌Rt△ACB，‎ ‎∴∠DAB=∠CBA，‎ ‎∵∠DCB=∠DAB，‎ ‎∴∠DCB=∠CBA，‎ ‎∴DC∥AB，‎ ‎∵AB⊥EP，‎ ‎∴DC⊥EP，‎ ‎∴∠DCE为直角，‎ ‎∴ED为圆的直径，‎ ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴AB=ED．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．（2014•辽宁）将圆x2+y2‎ ‎=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．‎ ‎（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，‎ ‎∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）．‎ ‎（Ⅱ）由，可得 ，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），‎ 则线段P1P2的中点坐标为（，1），‎ 再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．‎ 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，‎ 即 ρ=．‎ ‎　‎ 不等式选讲 ‎24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤‎ ‎1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或 ②．‎ 解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．‎ 综上，原不等式的解集为[0，]．‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，‎ ‎∴N=[﹣，]，‎ ‎∴M∩N=[0，]．‎ ‎∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，‎ ‎∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，‎ 故要证的不等式成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：清风慕竹；sxs123；双曲线；maths；刘长柏；沂蒙松；minqi5；wyz123；wfy814；qiss；whgcn；sllwyn；wdnah；742048；caoqz（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日