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  • 2021-06-24 发布

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)

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‎2014年辽宁省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=(  )‎ A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}‎ ‎2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=(  )‎ A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i ‎3.(5分)已知a=,b=log2,c=log,则(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a ‎4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α ‎5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是(  )‎ A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)‎ ‎6.(5分)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(  )‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ ‎7.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣‎ ‎8.(5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则(  )‎ A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0‎ ‎9.(5分)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ A.在区间[,]上单调递减 B.在区间[,]上单调递增 C.在区间[﹣,]上单调递减 D.在区间[﹣,]上单调递增 ‎10.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]‎ ‎12.(5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:‎ ‎①f(0)=f(1)=0;‎ ‎②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.‎ 若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。考生根据要求作答.‎ ‎13.(5分)执行如图的程序框图,若输入x=9,则输出y=  .‎ ‎14.(5分)正方形的四个顶点A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1)分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是  .‎ ‎15.(5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=  .‎ ‎16.(5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,﹣+的最小值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:‎ ‎(Ⅰ)a和c的值;‎ ‎(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.‎ ‎18.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;‎ ‎(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).‎ ‎19.(12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:EF⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.‎ ‎20.(12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:﹣=1过点P且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求C1的方程;‎ ‎(Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2‎ 交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.‎ ‎21.(12分)已知函数 f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣(sinx+1)‎ g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣)‎ 证明:‎ ‎(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;‎ ‎(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0,有x0+x1<π.‎ ‎ ‎ 四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.选修4-1:几何证明选讲.‎ ‎22.(10分)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;‎ ‎(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.将圆x2+y2‎ ‎=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(Ⅰ)写出C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎ ‎ 不等式选讲 ‎24.设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.‎ ‎(Ⅰ)求M;‎ ‎(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.‎ ‎ ‎ ‎2014年辽宁省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2014•辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=(  )‎ A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}‎ ‎【分析】先求A∪B,再根据补集的定义求CU(A∪B).‎ ‎【解答】解:A∪B={x|x≥1或x≤0},‎ ‎∴CU(A∪B)={x|0<x<1},‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•辽宁)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=(  )‎ A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i ‎【分析】把给出的等式两边同时乘以,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z可求.‎ ‎【解答】解:由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得:‎ ‎,‎ ‎∴z=2+3i.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a ‎【分析】利用指数式的运算性质得到0<a<1,由对数的运算性质得到b<0,c>‎ ‎1,则答案可求.‎ ‎【解答】解:∵0<a=<20=1,‎ b=log2<log21=0,‎ c=log=log23>log22=1,‎ ‎∴c>a>b.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α ‎【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;‎ B.运用线面垂直的性质,即可判断;‎ C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;‎ D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.‎ ‎【解答】解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;‎ B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;‎ C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;‎ D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是(  )‎ A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)‎ ‎【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•‎ ‎=0不一定成立,故命题p为假命题,‎ 若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,‎ 则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•辽宁)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(  )‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ ‎【分析】使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理可得结论.‎ ‎【解答】解:使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理,6×4=24.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣‎ ‎【分析】几何体是正方体切去两个圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.‎ ‎【解答】解:由三视图知:几何体是正方体切去两个圆柱,‎ 正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,‎ ‎∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•辽宁)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则(  )‎ A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0‎ ‎【分析】由于数列{2}为递减数列,可得=<1,解出即可.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}的公差为d,∴an+1﹣an=d,‎ 又数列{2}为递减数列,‎ ‎∴=<1,‎ ‎∴a1d<0.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ A.在区间[,]上单调递减 B.在区间[,]上单调递增 C.在区间[﹣,]上单调递减 D.在区间[﹣,]上单调递增 ‎【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[,]上单调递增,则答案可求.‎ ‎【解答】解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,‎ 得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].‎ 即y=3sin(2x﹣).‎ 当函数递增时,由,得.‎ 取k=0,得.‎ ‎∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2,再求出p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点,并求导,得到切线AB的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方程求出切点,再由两点的斜率公式求出BF的斜率.‎ ‎【解答】解:∵点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,‎ 即准线方程为:x=﹣2,‎ ‎∴p>0,=﹣2即p=4,‎ ‎∴抛物线C:y2=8x,在第一象限的方程为y=2,‎ 设切点B(m,n),则n=2,‎ 又导数y′=2,则在切点处的斜率为,‎ ‎∴即m=2m,‎ 解得=2(舍去),‎ ‎∴切点B(8,8),又F(2,0),‎ ‎∴直线BF的斜率为,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2014•辽宁)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]‎ ‎【分析】分x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集.‎ ‎【解答】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;‎ 当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,‎ 令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),‎ 当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,‎ f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;‎ 当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,‎ 由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<‎ ‎0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,‎ f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;‎ 综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:‎ ‎①f(0)=f(1)=0;‎ ‎②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.‎ 若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】依题意,构造函数f(x)=(0<k<),分x∈[0,],且y∈[0,];x∈[0,],且y∈[,1];x∈[0,],且y∈[,1];及当x∈[,1],且y∈[,1]时,四类情况讨论,可证得对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<恒成立,从而可得m≥,继而可得答案.‎ ‎【解答】解:依题意,定义在[0,1]上的函数y=f(x)的斜率|k|<,‎ 依题意可设k>0,构造函数f(x)=(0<k<),满足f(0)=f(1)=0,|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.‎ 当x∈[0,],且y∈[0,]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×<;‎ 当x∈[0,],且y∈[,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k(x+y)﹣k|‎ ‎≤|k(1+)﹣k|=<;‎ 当y∈[0,],且x∈[,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|<;‎ 当x∈[,1],且y∈[,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)|=k|x﹣y|≤k×(1﹣)=<;‎ 综上所述,对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<,‎ ‎∵对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,‎ ‎∴m≥,即m的最小值为.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。考生根据要求作答.‎ ‎13.(5分)(2014•辽宁)执行如图的程序框图,若输入x=9,则输出y=  .‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件|y﹣x|<1,计算输出y的值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:第一次循环x=9,y=+2=5,|5﹣9|=4>1;‎ 第二次循环x=5,y=+2=,|﹣5|=>1;‎ 第三次循环x=,y=+2.|+2﹣|=<1,‎ 满足条件|y﹣x|<1,跳出循环,输出y=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•辽宁)正方形的四个顶点A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1)分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是  .‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1),‎ ‎∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4,‎ 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[(1﹣)﹣(﹣1+)]=2×=,‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•辽宁)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= 12 .‎ ‎【分析】画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出|AN|+|BN|‎ 的值.‎ ‎【解答】解:如图:MN的中点为Q,易得,,‎ ‎∵Q在椭圆C上,∴|QF1|+|QF2|=2a=6,‎ ‎∴|AN|+|BN|=12.‎ 故答案为:12.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2014•辽宁)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,﹣+的最小值为 ﹣2 .‎ ‎【分析】首先把:4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,转化为=,再由柯西不等式得到|2a+b|2,分别用b表示a,c,在代入到﹣+得到关于b的二次函数,求出最小值即可.‎ ‎【解答】解:∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,‎ ‎∴=‎ 由柯西不等式得,‎ ‎[][]=|2a+b|2‎ 故当|2a+b|最大时,有 ‎∴‎ ‎∴﹣+===,‎ 当b=时,取得最小值为﹣2.‎ 故答案为:﹣2‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2014•辽宁)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:‎ ‎(Ⅰ)a和c的值;‎ ‎(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简•=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值;‎ ‎(Ⅱ)由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵•=2,cosB=,‎ ‎∴c•acosB=2,即ac=6①,‎ ‎∵b=3,‎ ‎∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,‎ ‎∴a2+c2=13②,‎ 联立①②得:a=3,c=2;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,sinB===,‎ 由正弦定理=得:sinC=sinB=×=,‎ ‎∵a=b>c,∴C为锐角,‎ ‎∴cosC===,‎ 则cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;‎ ‎(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).‎ ‎【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图求出事件A1,A2的概率,利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率;‎ ‎(Ⅱ)写出X可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率;列出分布列.根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E(X)及方差D(X).‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”‎ B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,‎ 因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,‎ P(A2)=0.003×50=0.15,‎ P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108,‎ ‎(Ⅱ)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为X~B(3,0.6),‎ 所以期望E(X)=3×0.6=1.8,‎ 方差D(X)=3×0.6×(1﹣0.6)=0.72.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•辽宁)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:EF⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,得到E、F、B、C点的坐标,易求得此•=0,所以EF⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)设平面BFC的一个法向量=(0,0,1),平面BEF的法向量=(x,y,z),依题意,可求得一个=(1,﹣‎ ‎,1),设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,可求得sinθ的值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,﹣1,),D(,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0,,),F(,,0),所以=(,0,﹣),=(0,2,0),因此•=0,所以EF⊥BC.‎ ‎(Ⅱ)解:在图中,设平面BFC的一个法向量=(0,0,1),平面BEF的法向量=(x,y,z),又=(,,0),=(0,,),‎ 由得其中一个=(1,﹣,1),‎ 设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,由题意知θ为锐角,则 cosθ=|cos<,>|=||=,‎ 因此sinθ==,即所求二面角正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2014•辽宁)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:﹣=1过点P且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求C1的方程;‎ ‎(Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设切点P(x0,y0),(x0>0,y0>0),利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程,即可得出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点P的坐标,再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆C2的焦点.可设椭圆C2的方程为(b1>0).把P的坐标代入即可得出方程.由题意可设直线l的方程为x=my+,‎ A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设切点P(x0,y0),(x0>0,y0>0),则切线的斜率为,‎ 可得切线的方程为,化为x0x+y0y=4.‎ 令x=0,可得;令y=0,可得.‎ ‎∴切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形的面积S==.‎ ‎∵4=,当且仅当时取等号.‎ ‎∴.此时P.‎ 由题意可得,,解得a2=1,b2=2.‎ 故双曲线C1的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知双曲线C1的焦点(±,0),即为椭圆C2的焦点.‎ 可设椭圆C2的方程为(b1>0).‎ 把P代入可得,解得=3,‎ 因此椭圆C2的方程为.‎ 由题意可设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,化为,‎ ‎∴,.‎ ‎∴x1+x2==,‎ x1x2==.‎ ‎,,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴+,‎ ‎∴,解得m=或m=,‎ 因此直线l的方程为:或.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2014•辽宁)已知函数 f(x)=(cosx﹣x)(π+2x)﹣(sinx+1)‎ g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣)‎ 证明:‎ ‎(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;‎ ‎(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0,有x0+x1<π.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据x∈(0,)时,f′(x)<0,得出f(x)是单调减函数,‎ 再根据f(0)>0,f()<0,得出此结论;‎ ‎(Ⅱ)构造函数h(x)=﹣4ln(3﹣x),x∈[,π],‎ 令t=π﹣x,得u(t)=h(π﹣t),求出u(t)存在唯一零点t1∈(0,),‎ 即证g(x)存在唯一的零点x1∈(,π),满足x0+x1<π.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵当x∈(0,)时,f′(x)=﹣(1+sinx)(π+2x)﹣2x﹣cosx<0,‎ ‎∴函数f(x)在(0,)上为减函数,‎ 又f(0)=π﹣>0,f()=﹣π2﹣<0;‎ ‎∴存在唯一的x0∈(0,),使f(x0)=0;‎ ‎(Ⅱ)考虑函数h(x)=﹣4ln(3﹣x),x∈[,π],‎ 令t=π﹣x,则x∈[,π]时,t∈[0,],‎ 记函数u(t)=h(π﹣t)=﹣4ln(1+t),‎ 则u′(t)=﹣•‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ ‎=,‎ 由(Ⅰ)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)>0;‎ 在(0,x0)上u(x)是增函数,又u(0)=0,∴当t∈(0,x0]时,u(t)>0,‎ ‎∴u(t)在(0,x0]上无零点;‎ 在(x0,)上u(t)是减函数,且u(x0)>0,u()=﹣4ln2<0,‎ ‎∴存在唯一的t1∈(x0,),使u(t1)=0;‎ ‎∴存在唯一的t1∈(0,),使u(t1)=0;‎ ‎∴存在唯一的x1=π﹣t1∈(,π),使h(x1)=h(π﹣t1)=u(t1)=0;‎ ‎∵当x∈(,π)时,1+sinx>0,∴g(x)=(1+sinx)h(x)与h(x)有相同的零点,‎ ‎∴存在唯一的x1∈(,π),使g(x1)=0,‎ ‎∵x1=π﹣t1,t1>x0,∴x0+x1<π.‎ ‎ ‎ 四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.选修4-1:几何证明选讲.‎ ‎22.(10分)(2014•辽宁)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;‎ ‎(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明AB为圆的直径,只需证明∠BDA=90°;‎ ‎(Ⅱ)证明Rt△BDA≌Rt△ACB,再证明∠DCE为直角,即可证明AB=ED.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD,‎ ‎∵PD为切线,∴∠PDA=∠DBA,‎ ‎∵∠PGD=∠EGA,‎ ‎∴∠DBA=∠EGA,‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,‎ ‎∴∠BDA=∠PFA,‎ ‎∵AF⊥EP,‎ ‎∴∠PFA=90°.‎ ‎∴∠BDA=90°,‎ ‎∴AB为圆的直径;‎ ‎(Ⅱ)连接BC,DC,则 ‎∵AB为圆的直径,‎ ‎∴∠BDA=∠ACB=90°,‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,‎ ‎∴Rt△BDA≌Rt△ACB,‎ ‎∴∠DAB=∠CBA,‎ ‎∵∠DCB=∠DAB,‎ ‎∴∠DCB=∠CBA,‎ ‎∴DC∥AB,‎ ‎∵AB⊥EP,‎ ‎∴DC⊥EP,‎ ‎∴∠DCE为直角,‎ ‎∴ED为圆的直径,‎ ‎∵AB为圆的直径,‎ ‎∴AB=ED.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.(2014•辽宁)将圆x2+y2‎ ‎=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(Ⅰ)写出C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),再根据点(x,)在圆x2+y2=1上,求出C的方程,化为参数方程.‎ ‎(Ⅱ)解方程组求得P1、P2的坐标,可得线段P1P2的中点坐标.再根据与l垂直的直线的斜率为,用点斜式求得所求的直线的方程,再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,‎ ‎∴x2+=1,即曲线C的方程为 x2+=1,化为参数方程为 (0≤θ<2π,θ为参数).‎ ‎(Ⅱ)由,可得 ,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),‎ 则线段P1P2的中点坐标为(,1),‎ 再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=(x﹣),即x﹣2y+=0.‎ 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,‎ 即 ρ=.‎ ‎ ‎ 不等式选讲 ‎24.(2014•辽宁)设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤‎ ‎1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.‎ ‎(Ⅰ)求M;‎ ‎(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由所给的不等式可得①,或 ②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求.‎ ‎(Ⅱ)由g(x)≤4,求得N,可得M∩N=[0,].当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,不等式的左边化为﹣,显然它小于或等于 ,要证的不等式得证.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①,或 ②.‎ 解①求得1≤x≤,解②求得 0≤x<1.‎ 综上,原不等式的解集为[0,].‎ ‎(Ⅱ)证明:‎ 由g(x)=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣≤x≤,‎ ‎∴N=[﹣,],‎ ‎∴M∩N=[0,].‎ ‎∵当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,‎ ‎∴x2f(x)+x[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=﹣≤,‎ 故要证的不等式成立.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:清风慕竹;sxs123;双曲线;maths;刘长柏;沂蒙松;minqi5;wyz123;wfy814;qiss;whgcn;sllwyn;wdnah;742048;caoqz(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日