2009年天津市高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 6页

‎2009年天津市高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. i是虚数单位，‎5i‎2-i‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1+2i B.‎-1-2i C.‎1-2i D.‎‎-1+2i ‎2. 设变量x，y满足约束条件：x+y≥3‎x-y≥-1‎‎2x-y≤3‎‎ ‎，则目标函数z＝‎2x+3y的最小值为（ ）‎ A.‎6‎ B.‎7‎ C.‎8‎ D.‎‎23‎ ‎3. 设x∈R，则x=1‎是x‎3‎‎=x的(        )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 设双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的虚轴长为‎2‎，焦距为‎2‎‎3‎，则双曲线的渐近线方程为(        )‎ A.y=±‎2‎x B.y=±2x C.y=±‎2‎‎2‎x D.‎y=±‎1‎‎2‎x ‎5. 设a=log‎1‎‎3‎2‎，b=log‎1‎‎2‎3‎，c=(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎0.3‎，则（ ）‎ A.a0)‎的最小正周期为π，将y=f(x)‎的图象向左平移‎|φ|‎个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（ ）‎ A.π‎2‎ B.‎3π‎8‎ C.π‎4‎ D.‎π‎8‎ ‎8. 设函数f(x)=x‎2‎‎-4x+6,x≥0‎x+6,x<0‎ ‎则不等式f(x)>f(1)‎的解集是（ ）‎ A.‎(-3, 1)∪(3, +∞)‎ B.‎(-3, 1)∪(2, +∞)‎ C.‎(-1, 1)∪(3, +∞)‎ D.‎‎(-∞, -3)∪(1, 3)‎ ‎9. 设x，y∈R，a>1‎，b>1‎，若ax‎=by=3‎，a+b=2‎3‎，则‎1‎x+‎‎1‎y的最大值为（ ）‎ A.‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎1‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎10. 设函数f(x)‎在R上的导函数为f'(x)‎，且‎2f(x)+xf'(x)>‎x‎2‎，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）‎ A.f(x)>0‎ B.f(x)<0‎ C.f(x)>x D.‎f(x)0)‎的公共弦的长为‎2‎‎3‎，则a=‎________．‎ ‎15. 若等边‎△ABC的边长为‎2‎‎3‎，平面内一点M满足CM‎→‎‎=‎1‎‎6‎CB‎→‎+‎‎2‎‎3‎CA‎→‎，则MA‎→‎‎⋅MB‎→‎=‎________．‎ ‎16. 若关于x的不等式‎(2x-1‎)‎‎2‎0‎．‎ ‎（1）当m=1‎时，求曲线 y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（3）已知函数f(x)‎有三个互不相同的零点‎0‎，x‎1‎，x‎2‎，且x‎1‎‎<‎x‎2‎．若对‎∀x∈[x‎1‎, x‎2‎]‎，f(x)>f(1)‎恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎22. 以知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的两个焦点分别为F‎1‎‎(-c, 0)‎和F‎2‎‎(c, 0)(c>0)‎，过点E(a‎2‎c，0)‎的直线与椭圆相交于A，B两点，且F‎1‎A // F‎2‎B，‎|F‎1‎A|=2|F‎2‎B|‎．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求直线AB的斜率；‎ ‎（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F‎2‎B上有一点H(m, n)(m≠0)‎在‎△AF‎1‎C的外接圆上，求nm的值．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年天津市高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.D ‎2.B ‎3.B ‎4.C ‎5.D ‎6.C ‎7.D ‎8.A ‎9.C ‎10.A 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11.‎‎2‎ ‎12.‎‎3‎ ‎13.‎‎{2, 4, 6, 8}‎ ‎14.‎‎1‎ ‎15.‎‎-2‎ ‎16.‎‎(‎25‎‎9‎，‎49‎‎16‎]‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17.解：（1）在‎△ABC中，∵ ‎sinC=2sinA ‎∴ 由正弦定理得AB=2BC 又∵ ‎BC=1‎ ‎∴ ‎AB=2‎ ‎（2）在‎△ABC中，∵ AB=2‎，BC=1‎，AC=‎‎5‎∴ AB‎2‎+BC‎2‎=AC‎2‎∴ ‎△ABC是Rt△‎且‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎ ‎∴ sinA=‎‎5‎‎5‎，‎cosA=‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎∴ ‎sin(2A-π‎4‎)=sin2A⋅cosπ‎4‎-cos2Asinπ‎4‎ ‎=‎2‎‎2‎(2sinAcosA-cos‎2‎A+sin‎2‎A)‎ ‎=‎2‎‎2‎(2×‎5‎‎5‎×‎2‎‎5‎‎5‎-‎4‎‎5‎+‎1‎‎5‎)‎ ‎=‎‎2‎‎10‎ ‎18.解：‎(1)‎工厂总数为‎18+27+18=63‎，‎ 样本容量与总体中的个体数比为‎7‎‎63‎‎=‎‎1‎‎9‎，‎ 所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为‎2‎，‎3‎，‎2‎.‎ ‎(2)‎设A‎1‎，A‎2‎为在A区中抽得的‎2‎个工厂，‎ B‎1‎‎，B‎2‎，B‎3‎为在B区中抽得的‎3‎个工厂，‎ C‎1‎‎，C‎2‎为在C区中抽得的‎2‎个工厂，‎ 这‎7‎个工厂中随机的抽取‎2‎个，‎ 全部的可能结果有：C‎7‎‎2‎种，‎ 随机抽取‎2‎个工厂至少有一个来自A区的结果有:‎ ‎(A‎1‎, A‎2‎)‎‎，‎(A‎1‎, B‎2‎)(A‎1‎, B‎1‎)(A‎1‎, B‎3‎)(A‎1‎, C‎2‎)(A‎1‎, C‎1‎)‎，‎ 同理A‎2‎还能组合‎5‎种，一共有‎11‎种．‎ 所以所求的概率为‎11‎C‎7‎‎2‎‎=‎‎11‎‎21‎.‎ ‎19.解：‎(1)‎证明：设AC∩BD=H，连接EH，在‎△ADC中，‎ 因为AD=CD，且DB平分‎∠ADC，‎ 所以H为AC的中点，又有题设，‎ E为PC的中点，故EH // PA，‎ 又HE⊂‎平面BDE，PA⊄‎平面BDE，所以PA // ‎平面BDE ‎ 6 / 6‎ ‎(2)‎证明：因为PD⊥‎平面ABCD，‎ AC⊂‎平面ABCD，所以PD⊥AC 由‎(1)‎知，BD⊥AC，PD∩BD=D，‎ 故AC⊥‎平面PBD ‎(3)‎由AC⊥‎平面PBD可知，‎ BH为BC在平面PBD内的射影，‎ 所以‎∠CBH为直线与平面PBD所成的角．‎ 由AD⊥CD，AD=CD=1‎，DB=2‎‎2‎，可得DH=CH=‎2‎‎2‎，BH=‎‎3‎‎2‎‎2‎ 在Rt△BHC中，tan∠CBH=CHBH=‎‎1‎‎3‎，‎ 所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为‎1‎‎3‎．‎ ‎20.‎‎1‎‎9‎ ‎21.解：（1）当m=1时，f(x)=-‎1‎‎3‎x‎3‎+x‎2‎，f'(x)=-x‎2‎+2x，‎ 故f‎'‎‎(1)=-1+2=1‎，所以曲线y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线的斜率为‎1‎．‎ ‎（2）f‎'‎‎(x)=-x‎2‎+2x+m‎2‎-1‎，令f‎'‎‎(x)=0‎，解得x=1-m或x=1+m．‎ ‎∵ m>0‎，所以‎1+m>1-m，当x变化时，f‎'‎‎(x)‎，f(x)‎的变化情况如下表：‎ ‎ ‎x ‎ ‎‎(-∞, 1-m)‎ ‎1-m‎ ‎ ‎(1-m, 1+m)‎‎ ‎ ‎1+m‎ ‎ ‎(1+m, +∞)‎‎ ‎ ‎ ‎f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎‎ ‎ ‎+‎ ‎ ‎‎0‎ ‎-‎ ‎ ‎f(x)‎ ‎ 单调递减 极小值 ‎ ‎ 单调递增 ‎ 极大值 ‎ 单调递减 ‎∴ f(x)‎在‎(-∞, 1-m)‎，‎(1+m, +∞)‎内是减函数，在‎(1-m, 1+m)‎内是增函数．‎ 函数f(x)‎在x=1-m处取得极小值f(1-m)‎，且f(1-m)=-‎2‎‎3‎m‎3‎+m‎2‎-‎‎1‎‎3‎，‎ 函数f(x)‎在x=1+m处取得极大值f(1+m)‎，且f(1+m)=‎2‎‎3‎m‎3‎+m‎2‎-‎‎1‎‎3‎．‎ ‎（3）由题设，f(x)=x(-‎1‎‎3‎x‎2‎+x+m‎2‎-1)=-‎1‎‎3‎x(x-x‎1‎)(x-x‎2‎)‎，‎ ‎∴ 方程‎-‎1‎‎3‎x‎2‎+x+m‎2‎-1=0‎有两个相异的实根x‎1‎，x‎2‎，‎ 故x‎1‎‎+x‎2‎=3，且△=1+‎4‎‎3‎(m‎2‎-1)>0‎，∵ ‎m>0‎ 解得m>‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵ x‎1‎‎<‎x‎2‎，所以‎2x‎2‎>x‎1‎+x‎2‎=3‎，‎ 故x‎2‎‎>‎3‎‎2‎>1‎．‎ ‎①当x‎1‎‎≤1<‎x‎2‎时，f(1)=-‎1‎‎3‎(1-x‎1‎)(1-x‎2‎)≥0‎，而f(x‎1‎)=0‎，不符合题意，‎ ‎②当‎10‎，x-x‎1‎≥0‎，x-x‎2‎≤0‎，‎ 则f(x)=-‎1‎‎3‎x(x-x‎1‎)(x-x‎2‎)≥0‎，又f(x‎1‎)=0‎，所以f(x)‎在‎[x‎1‎, x‎2‎]‎上的最小值为‎0‎，‎ 于是对任意的x∈[x‎1‎, x‎2‎]‎，f(x)>f(1)‎恒成立的充要条件是f(1)=m‎2‎-‎1‎‎3‎<0‎，‎ 解得‎-‎3‎‎3‎‎‎1‎‎2‎，‎ 综上，m的取值范围是‎(‎1‎‎2‎, ‎3‎‎3‎)‎．‎ ‎22.（1）解：由F‎1‎A // F‎2‎B且‎|F‎1‎A|=2|F‎2‎B|‎，‎ 得‎|EF‎2‎EF‎1‎|=|F‎2‎BF‎1‎A|=‎‎1‎‎2‎，从而a‎2‎c‎-ca‎2‎c‎+c‎=‎‎1‎‎2‎ 整理，得a‎2‎‎=3‎c‎2‎，故离心率e=ca=‎‎3‎‎3‎ ‎（2）解：由‎(I)‎得b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=2‎c‎2‎，‎ 所以椭圆的方程可写为‎2x‎2‎+3y‎2‎=6‎c‎2‎ 设直线AB的方程为y=k(x-a‎2‎c)‎，即y=k(x-3c)‎．‎ 由已知设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则它们的坐标满足方程组y=k(x-3c)‎‎2x‎2‎+3y‎2‎=6‎c‎2‎ 消去y整理，得‎(2+3k‎2‎)x‎2‎-18k‎2‎cx+27k‎2‎c‎2‎-6c‎2‎=0‎．‎ 依题意，‎‎△=48c‎2‎(1-3k‎2‎)>0，得-‎3‎‎3‎