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  • 2021-06-24 发布

【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(理科)2【附详细答案和解析_可编辑】

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‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(理科)2【附详细答案和解析 可编辑】‎ 真水无香陈 tougao33‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 8 小题 ,每题 5 分 ,共计40分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. 若i为虚数单位,且‎(2-i‎)‎‎2‎=a+bi‎3‎(a,b∈R)‎,则a+b=‎(        ) ‎ A.‎7‎ B.‎-7‎ C.‎-1‎ D.‎‎1‎ ‎ ‎ ‎2. 执行如图所示的程序框图,则输出的x等于(        ) ‎ A.‎2‎ B.‎4‎ C.‎8‎ D.‎‎16‎ ‎ ‎ ‎3. 曲线C的参数方程为x=5secθ,‎y=4tanθ(θ为参数)经过伸缩变换x'=x‎5‎,‎y'=‎y‎4‎后所得曲线的离心率为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎4. 已知F‎1‎,F‎2‎分别为椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左右焦点,P为椭圆上的点,O为坐标原点,且PF‎1‎‎→‎‎⋅PF‎2‎‎→‎=0‎,‎|PF‎1‎‎→‎|=3|PF‎2‎‎→‎|‎,则该椭圆的离心率为( ) ‎ A.‎10‎‎5‎ B.‎10‎‎4‎ C.‎10‎‎3‎ D.‎‎10‎‎2‎ ‎ ‎ ‎5. 已知实数x,y满足条件x-y≥0,‎x+y≥0,‎x≤1,‎则 z=y-‎‎1‎‎2‎x的最大值为(        ) ‎ A.‎-‎‎3‎‎2‎ B.‎0‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎ ‎ ‎ ‎6. 若lgx=a,lgy=b,则lgx-lgy‎10‎‎2‎的值为(        ) ‎ A.‎1‎‎2‎a-2b-2‎ B.‎1‎‎2‎a-2b+1‎ C.‎1‎‎2‎a-2b-1‎ D.‎‎1‎‎2‎a-2b+2‎ ‎ ‎ ‎7. 已知:‎|OA‎→‎|=1‎,‎|OB‎→‎|=‎‎3‎,OA‎→‎‎*OB‎→‎=0‎,点C在‎∠AOB内,且OC‎→‎与OA‎→‎的夹角为‎30‎‎∘‎,设OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎(m, n∈R)‎,则mn的值为( ) ‎ A.‎2‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎ ‎ ‎8. 已知a,b,c是正实数,且ab+bc+ac=1‎,则abc的最大值为( ) ‎ A.‎3‎‎9‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎ D.‎‎3‎ ‎ 二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知角θ的终边经过点P(‎2‎x, -6)‎,且tanθ=-‎‎3‎‎4‎,则x的值为________. ‎ ‎ ‎ ‎10. 在等差数列‎{an}‎中,若a‎5‎‎=8‎,a‎9‎‎=24‎,则公差d=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎11. 若‎⊙O‎1‎:x‎2‎+y‎2‎=5‎与‎⊙‎O‎2‎:‎(x-m‎)‎‎2‎+y‎2‎=20(m∈R)‎相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是________. ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知函数f(x)=lnxx+x-a(a∈R)‎,若曲线y=‎‎2‎ex+1‎e‎2x‎+1‎(e为自然对数的底数)上存在点‎(x‎0‎, y‎0‎)‎使得f(f(y‎0‎)‎)‎=‎y‎0‎,则实数a的取值范围是__________. ‎ ‎ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎13. 已知函数f(x)‎=sin‎2‎x‎2‎‎+‎1‎‎2‎sinx-‎‎1‎‎2‎,‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. ‎ ‎(1)求f(A)‎的取值范围;‎ ‎ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(2)若C>A,f(A)‎=‎0‎,且‎2sinA=sinB+‎‎2‎sinC‎2‎,‎△ABC的面积为‎2‎,求b的值.‎ ‎ ‎ ‎14. 如图,在矩形ABCD中,AB=4‎,AD=2‎,E是CD的中点,以AE为折痕将‎△DAE向上折起,D变为D‎'‎,且平面D‎'‎AE⊥‎平面ABCE. ‎(‎Ⅰ‎)‎求证:AD‎'‎⊥EB; ‎(‎Ⅱ‎)‎求二面角A-BD‎'‎-E的大小. ‎ ‎ ‎ ‎15. 调查表明:甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化:‎0‎表示不合格,‎1‎表示临界合格,‎2‎表示合格,再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级,若ω≥4‎,则长势为一级;若‎2≤ω≤3‎,则长势为二级;若‎0≤ω≤1‎,则长势为三级,为了了解目前这种农作物长势情况,研究人员随机抽取‎10‎块种植地,得到如表中结果: ‎ 种植地编号 A‎1‎ A‎2‎ A‎3‎ A‎4‎ A‎5‎ ‎(x, y, z)‎ ‎(1, 1, 2)‎ ‎(2, 1, 1)‎ ‎(2, 2, 2)‎ ‎(0, 0, 1)‎ ‎(1, 2, 1)‎ 种植地编号 A‎6‎ A‎7‎ A‎8‎ A‎9‎ A‎10‎ ‎(x, y, z)‎ ‎(1, 1, 2)‎ ‎(1, 1, 1)‎ ‎(1, 2, 2)‎ ‎(1, 2, 1)‎ ‎(1, 1, 1)‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎在这‎10‎块该农作物的种植地中任取两块地,求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率; ‎(‎Ⅱ‎)‎从长势等级是一级的种植地中任取一块地,其综合指标为A,从长势等级不是一级的种植地中任取一块地,其综合指标为B,记随机变量X=A-B,求X的分布列及其数学期望.‎ ‎ ‎ ‎16. 如图,点P为圆E:‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=r‎2‎‎(r>1)‎与x轴的左交点,过点P作弦PQ,使PQ与y轴交于PQ的中点D. ‎(‎Ⅰ‎)‎当r在‎(1, +∞)‎内变化时,求点Q的轨迹方程; ‎(‎Ⅱ‎)‎已知点A(-1, 1)‎,设直线AQ,EQ分别与‎(‎Ⅰ‎)‎中的轨迹交于另一点Q‎1‎,Q‎2‎,求证:当Q在‎(‎Ⅰ‎)‎中的轨迹上移动时,只要Q‎1‎,Q‎2‎都存在,且Q‎1‎,Q‎2‎不重合,则直线Q‎1‎Q‎2‎恒过定点,并求该定点坐标. ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知函数 f(x)=2ax+‎ex ,g(x)=ax‎2‎-2ax-xex,a∈R. ‎ ‎(1)‎讨论 f(x)‎ 的单调区间;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若对任意实数x, f(x)+g(x)≤1‎,求a的取值范围‎.‎ ‎ ‎ ‎18. 自然状态下鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈‎N‎+‎,且x‎1‎‎>0‎.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn‎2‎成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c. ‎ ‎(1)求xn+1‎与xn的关系式;‎ ‎ ‎ ‎(2)猜测:当且仅当x‎1‎,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(理科)2【附详细答案和解析 可编辑】‎ 一、 选择题 (本题共计 8 小题 ,每题 5 分 ,共计40分 ) ‎ ‎1.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解:等式化为‎3-4i=a-bi,所以a=3‎,b=4‎.‎ 故选A.‎ ‎2.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:执行程序框图, ∵ y>0‎,∴ y=-2‎,x=2‎, ∵ y<0‎,∴ y=3‎,x=4‎, ∵ y>0‎,∴ y=1‎,x=8‎, 结束循环,输出x=8‎. 故选C.‎ ‎3.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:由题得曲线C的普通方程为x‎2‎‎25‎‎-y‎2‎‎16‎=1‎, 由x'=x‎5‎,‎y'=y‎4‎,‎可得x=5x',‎y=4y',‎ 代入曲线C中,可得x‎'‎‎2‎-y‎'‎‎2‎=1‎, 即x‎2‎‎-y‎2‎=1‎, ∴ a=1‎,b=1‎, ∴ c=‎‎2‎, ∴ e=ca=‎‎2‎. 故选C.‎ ‎4.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 点P是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎上的一点,F‎1‎,F‎2‎分别为椭圆的左、右焦点,已知‎∠F‎1‎PF‎2‎=‎90‎‎∘‎,且‎|PF‎1‎|‎=‎3|PF‎2‎|‎,如图: 设‎|PF‎2‎|‎=m,则‎|PF‎1‎|‎=‎3m, 则:‎4m=2a‎9m‎2‎+m‎2‎=4‎c‎2‎‎ ‎, 可得‎4c‎2‎=‎‎5‎‎2‎a‎2‎, 解得e=ca=‎‎10‎‎4‎.‎ ‎5.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:作出不等式组对应的平面区域,‎ ‎ ‎ 将y-(‎1‎‎2‎‎)‎x=0‎平移到点A(1,1)‎,‎ 此时目标函数z=y-(‎‎1‎‎2‎‎)‎x取得最大值,其最大值为z=1-(‎1‎‎2‎‎)‎‎1‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 故选C.‎ ‎6.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解:‎∵ lgx=a,lgy=b, ‎∴ lgx-lgy‎10‎‎2‎=‎1‎‎2‎lgx-2lgy‎10‎ ‎‎=‎1‎‎2‎lgx-2lgy-1‎ ‎‎=‎1‎‎2‎lgx-2lgy+2 ‎‎=‎1‎‎2‎a-2b+2‎, 故选D.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎7.【答案】‎ C ‎【解答】‎ ‎∵ ‎|OA‎→‎|=1‎,‎|OB‎→‎|=‎‎3‎,OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=0‎, ∴ 建立平面直角坐标系如图: 则OA‎→‎‎=(1,0)‎,OB‎→‎‎=(0,‎3‎)‎, ∴ OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎=(m, ‎3‎n)‎, 又OC‎→‎与OA‎→‎的夹角为‎30‎‎∘‎, ∴ ‎3‎nm‎=tan‎30‎‎∘‎=‎‎3‎‎3‎,则mn的值为‎3‎.‎ ‎8.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解:∵ a,b,c是正实数, 且ab+bc+ac=1‎, ∴ ‎1‎‎3‎‎=ab+bc+ca‎3‎≥‎‎3‎‎(abc‎)‎‎2‎, ∴ ‎(abc‎)‎‎2‎≤‎‎1‎‎27‎, ∴ abc≤‎‎3‎‎9‎, 即 abc的最大值为 ‎3‎‎9‎, 故选A.‎ 二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 ) ‎ ‎9.【答案】‎ ‎3‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 角α的终边经过点P(‎2‎x, -6)‎,且tanθ=-‎‎3‎‎4‎, ∴ ‎-6‎‎2‎x‎=-‎‎3‎‎4‎, ∴ x=3‎ 故答案为:‎3‎.‎ ‎10.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 数列‎{an}‎中为等差数列,∴ a‎5‎‎=a‎1‎+4d=8‎,①a‎9‎‎=a‎1‎+8d=24‎② ②-①得,‎4d=16‎.∴ d=4‎ 故答案为‎4‎ ‎11.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解:由题  O‎1‎‎(0, 0)‎与O‎2‎:‎(m, 0)‎ ‎5‎‎<|m|<3‎‎5‎,O‎1‎A⊥AO‎2‎, m‎2‎‎=(‎5‎‎)‎‎2‎+(2‎5‎‎)‎‎2‎=25‎,∴ m=±5‎ AB=2⋅‎5‎‎˙‎=4 ‎故答案为:‎‎4‎ ‎12.【答案】‎ ‎(-∞,‎1‎e]‎ ‎【解答】‎ 解:y=‎‎2‎ex+1‎e‎2x‎+1‎(e是自然对数的底数),求导,y'=‎‎2ex+1‎(1-e‎2x)‎‎(e‎2x+1‎‎)‎‎2‎, 令y'‎=‎0‎,解得:x=0‎, 当x>0‎时,y'<0‎,当x<0‎,y'>0‎, 则x∈(-∞, 0)‎,函数单调递增,x∈(0, +∞)‎时,函数y单调递减, 则当x=0‎时,取最大值,最大值为e, ∴ y‎0‎的取值范围为‎(0, e]‎, 则函数f(x)=lnxx+x-a(a∈R)‎,x∈(0, e)‎, 求导,f'(x)=‎x‎2‎‎-lnx+1‎x‎2‎, x∈(0, e)‎,f'(x)>0‎, 则f(x)‎在‎(0, e)‎上单调递增, 下面证明f(y‎0‎)=‎y‎0‎. 假设f(y‎0‎)=c>‎y‎0‎,则f(f(y‎0‎))=f(c)>f(y‎0‎)=c>‎y‎0‎,不满足f(f(y‎0‎))=‎y‎0‎. 同理假设f(y‎0‎)=c<‎y‎0‎,则不满足f(f(y‎0‎))=‎y‎0‎. 综上可得:f(y‎0‎)=‎y‎0‎. 令函数f(x)=lnxx+x-a=x,化为a=‎lnxx. 设g(x)=‎lnxx,求导g'(x)=‎‎1-lnxx‎2‎, 当x∈(0, e)‎时,g'(x)>0‎, g(x)‎在‎(0, e)‎上单调递增, 当x=e时取最大值,最大值为‎1‎e, 当x→0‎时,a→-∞‎, ∴ a的取值范围‎(-∞, ‎1‎e]‎. ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 故答案为:‎(-∞, ‎1‎e]‎.‎ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 ) ‎ ‎13.【答案】‎ f(x)‎‎=sin‎2‎x‎2‎‎+‎1‎‎2‎sinx-‎1‎‎2‎=‎1-cosx‎2‎+sinx‎2‎-‎1‎‎2‎=‎2‎‎2‎sin(x-π‎4‎)‎. 由题意‎0A,可得C=‎π‎2‎,则‎△ABC为等腰直角三角形, 由于:‎1‎‎2‎b‎2‎=‎2‎, 所以:b=‎2‎.‎ ‎【解答】‎ f(x)‎‎=sin‎2‎x‎2‎‎+‎1‎‎2‎sinx-‎1‎‎2‎=‎1-cosx‎2‎+sinx‎2‎-‎1‎‎2‎=‎2‎‎2‎sin(x-π‎4‎)‎. 由题意‎0A,可得C=‎π‎2‎,则‎△ABC为等腰直角三角形, 由于:‎1‎‎2‎b‎2‎=‎2‎, 所以:b=‎2‎.‎ ‎14.【答案】‎ 证明:‎(‎Ⅰ‎)‎∵ AE=BE=2‎‎2‎,AB=4‎, ∴ AB‎2‎=AE‎2‎+BE‎2‎,∴ AE⊥EB, 取AE的中点M,连结MD‎'‎,则AD=D‎'‎E=2⇒MD‎'‎⊥AE, ∵ 平面D‎'‎AE⊥‎平面ABCE, ∴ MD‎'‎⊥‎平面ABCE,∴ MD‎'‎⊥BE, 从而EB⊥‎平面AD‎'‎E,∴ AD‎'‎⊥EB; ‎(‎Ⅱ‎)‎以C为原点,CE为x轴,CB为y轴, 过C作平面ABCE的垂线为z轴, 如图建立空间直角坐标系, 则A(4, 2, 0)‎、C(0, 0, 0)‎、B(0, 2, 0)‎、D‎'‎‎(3,1,‎2‎)‎,E(2, 0, 0)‎, 从而BA‎→‎‎=(4, 0, 0)‎,BD‎'‎‎→‎‎=(3,-1,‎2‎)‎,BE‎→‎‎=(2,-2,0)‎. 设n‎1‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面ABD‎'‎的法向量, 则n‎1‎‎→‎‎*BA‎→‎=4x=0‎n‎1‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z‎ ‎,取z=1‎,得n‎1‎‎→‎‎=(0,‎2‎,1)‎ 设n‎2‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面BD‎'‎E的法向量, 则n‎2‎‎→‎‎*BE‎→‎=2x-2y=0‎n‎2‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z=0‎‎ ‎,取x=1‎,得n‎2‎‎→‎‎=(1,1,-‎2‎)‎ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 因此,n‎1‎‎→‎‎*n‎2‎‎→‎=0‎,有n‎1‎‎→‎‎⊥‎n‎2‎‎→‎,即平面ABD‎'‎⊥‎平面BD‎'‎E, 故二面角A-BD‎'‎-E的大小为‎90‎‎∘‎. ‎ ‎【解答】‎ 证明:‎(‎Ⅰ‎)‎∵ AE=BE=2‎‎2‎,AB=4‎, ∴ AB‎2‎=AE‎2‎+BE‎2‎,∴ AE⊥EB, 取AE的中点M,连结MD‎'‎,则AD=D‎'‎E=2⇒MD‎'‎⊥AE, ∵ 平面D‎'‎AE⊥‎平面ABCE, ∴ MD‎'‎⊥‎平面ABCE,∴ MD‎'‎⊥BE, 从而EB⊥‎平面AD‎'‎E,∴ AD‎'‎⊥EB; ‎(‎Ⅱ‎)‎以C为原点,CE为x轴,CB为y轴, 过C作平面ABCE的垂线为z轴, 如图建立空间直角坐标系, 则A(4, 2, 0)‎、C(0, 0, 0)‎、B(0, 2, 0)‎、D‎'‎‎(3,1,‎2‎)‎,E(2, 0, 0)‎, 从而BA‎→‎‎=(4, 0, 0)‎,BD‎'‎‎→‎‎=(3,-1,‎2‎)‎,BE‎→‎‎=(2,-2,0)‎. 设n‎1‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面ABD‎'‎的法向量, 则n‎1‎‎→‎‎*BA‎→‎=4x=0‎n‎1‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z‎ ‎,取z=1‎,得n‎1‎‎→‎‎=(0,‎2‎,1)‎ 设n‎2‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面BD‎'‎E的法向量, 则n‎2‎‎→‎‎*BE‎→‎=2x-2y=0‎n‎2‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z=0‎‎ ‎,取x=1‎,得n‎2‎‎→‎‎=(1,1,-‎2‎)‎ 因此,n‎1‎‎→‎‎*n‎2‎‎→‎=0‎,有n‎1‎‎→‎‎⊥‎n‎2‎‎→‎,即平面ABD‎'‎⊥‎平面BD‎'‎E, 故二面角A-BD‎'‎-E的大小为‎90‎‎∘‎. ‎ ‎15.【答案】‎ ‎(1)由表可知:空气湿度指标为‎1‎的有A‎2‎,A‎4‎,A‎5‎,A‎7‎,A‎9‎,A‎10‎ 空气湿度指标为‎2‎的有A‎1‎,A‎3‎,A‎6‎,A‎8‎, 在这‎10‎块种植地中任取两块地,基本事件总数n=C‎10‎‎2‎=‎10×9‎‎2‎=45⋯‎ 这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C‎6‎‎2‎+C‎4‎‎2‎=‎6×5‎‎2‎+‎4×3‎‎2‎=21⋯‎ ∴ 这两地的空气温度的指标z相同的概率P=mn=‎21‎‎45‎=‎7‎‎15‎⋯‎ (2)由题意得‎10‎块种植地的综合指标如下表: ‎ 编号 A‎1‎ A‎2‎ A‎3‎ A‎4‎ A‎5‎ A‎6‎ A‎7‎ A‎8‎ A‎9‎ A‎10‎ 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎ 其中长势等级是一级‎(ω≥4)‎有A‎1‎,A‎2‎,A‎3‎,A‎5‎,A‎6‎,A‎8‎,A‎9‎,共‎7‎个, 长势等级不是一级‎(ω<4)‎的有A‎4‎,A‎7‎,A‎10‎,共‎3‎个, 随机变量X=A-B的所有可能取值为‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎, w=‎4‎的有A‎1‎,A‎2‎,A‎5‎,A‎6‎,A‎9‎共‎5‎块地,w=‎3‎的有A‎7‎,A‎10‎共‎2‎块地,这时有X=‎4-3‎=‎1‎ 所以P(x=1)=C‎5‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎10‎‎21‎, 同理P(x=2)=C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎2‎‎21‎,‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 P(x=3)=C‎5‎‎1‎C‎1‎‎1‎‎+‎C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎7‎‎21‎P(x=4)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎1‎‎21‎‎,P(x=5)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎1‎‎21‎⋯‎ ∴ X的分布列为: ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎10‎‎21‎ ‎2‎‎21‎ ‎7‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎ ‎EX=1×‎10‎‎21‎+2×‎2‎‎21‎+3×‎7‎‎21‎+4×‎1‎‎21‎+5×‎1‎‎21‎=‎44‎‎21‎⋯‎ ‎【解答】‎ ‎(1)由表可知:空气湿度指标为‎1‎的有A‎2‎,A‎4‎,A‎5‎,A‎7‎,A‎9‎,A‎10‎ 空气湿度指标为‎2‎的有A‎1‎,A‎3‎,A‎6‎,A‎8‎, 在这‎10‎块种植地中任取两块地,基本事件总数n=C‎10‎‎2‎=‎10×9‎‎2‎=45⋯‎ 这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C‎6‎‎2‎+C‎4‎‎2‎=‎6×5‎‎2‎+‎4×3‎‎2‎=21⋯‎ ∴ 这两地的空气温度的指标z相同的概率P=mn=‎21‎‎45‎=‎7‎‎15‎⋯‎ (2)由题意得‎10‎块种植地的综合指标如下表: ‎ 编号 A‎1‎ A‎2‎ A‎3‎ A‎4‎ A‎5‎ A‎6‎ A‎7‎ A‎8‎ A‎9‎ A‎10‎ 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎ 其中长势等级是一级‎(ω≥4)‎有A‎1‎,A‎2‎,A‎3‎,A‎5‎,A‎6‎,A‎8‎,A‎9‎,共‎7‎个, 长势等级不是一级‎(ω<4)‎的有A‎4‎,A‎7‎,A‎10‎,共‎3‎个, 随机变量X=A-B的所有可能取值为‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎, w=‎4‎的有A‎1‎,A‎2‎,A‎5‎,A‎6‎,A‎9‎共‎5‎块地,w=‎3‎的有A‎7‎,A‎10‎共‎2‎块地,这时有X=‎4-3‎=‎1‎ 所以P(x=1)=C‎5‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎10‎‎21‎, 同理P(x=2)=C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎2‎‎21‎,P(x=3)=C‎5‎‎1‎C‎1‎‎1‎‎+‎C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎7‎‎21‎P(x=4)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎1‎‎21‎,P(x=5)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎1‎‎21‎⋯‎ ∴ X的分布列为: ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎10‎‎21‎ ‎2‎‎21‎ ‎7‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎ ‎EX=1×‎10‎‎21‎+2×‎2‎‎21‎+3×‎7‎‎21‎+4×‎1‎‎21‎+5×‎1‎‎21‎=‎44‎‎21‎⋯‎ ‎16.【答案】‎ ‎(1)设Q(x, y)‎,则PQ的中点D(0,y‎2‎)‎, ∵ E(1, 0)‎,∴ DE‎→‎‎=(1,-y‎2‎)‎,DQ‎→‎‎=(x,y‎2‎)‎. 在圆E中,∵ DE⊥DQ,∴ DE‎→‎‎*DQ‎→‎=0‎,则x-y‎2‎‎4‎=0‎. ∴ 点Q的轨迹方程y‎2‎=‎4x(x≠0)‎; (2)证明:设Q(t‎2‎, 2t)‎,Q‎1‎‎(t‎1‎‎2‎,2t‎1‎)‎,Q‎2‎‎(t‎2‎‎2‎,2t‎2‎)‎, 则直线Q‎1‎Q‎2‎的方程为‎(t‎1‎+t‎2‎)y-2x-2‎t‎1‎t‎2‎=‎0‎. 由A,Q,Q‎1‎共线,得‎2t‎1‎-2tt‎1‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-1‎t‎2‎‎+1‎,从而t‎1‎‎=‎t+2‎‎2t-1‎(t≠‎‎1‎‎2‎,否则Q‎1‎不存在), 由E,Q,Q‎2‎共线,得‎2t‎2‎-2tt‎2‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-0‎t‎2‎‎-1‎,从而t‎2‎‎=-‎‎1‎t(t≠0‎,否则Q‎2‎不存在), ∴ t‎1‎t‎2‎‎=-‎t+2‎‎2t‎2‎-t,t‎1‎‎+t‎2‎=‎t‎2‎‎+1‎‎2t‎2‎-t, ∴ 直线Q‎1‎Q‎2‎的方程化为t‎2‎‎(y-4x)+2t(x+1)+(y+4)‎=‎0‎, 令y-4x=0‎x+1=0‎y+4=0‎‎ ‎,得x=‎-1‎,y=‎-4‎. ∴ 直线Q‎1‎Q‎2‎恒过定点‎(-1, -4)‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)设Q(x, y)‎,则PQ的中点D(0,y‎2‎)‎, ∵ E(1, 0)‎,∴ DE‎→‎‎=(1,-y‎2‎)‎,DQ‎→‎‎=(x,y‎2‎)‎. 在圆E中,∵ DE⊥DQ,∴ DE‎→‎‎*DQ‎→‎=0‎,则x-y‎2‎‎4‎=0‎. ∴ 点Q的轨迹方程y‎2‎=‎4x(x≠0)‎; (2)证明:设Q(t‎2‎, 2t)‎,Q‎1‎‎(t‎1‎‎2‎,2t‎1‎)‎,Q‎2‎‎(t‎2‎‎2‎,2t‎2‎)‎, 则直线Q‎1‎Q‎2‎的方程为‎(t‎1‎+t‎2‎)y-2x-2‎t‎1‎t‎2‎=‎0‎. 由A,Q,Q‎1‎共线,得‎2t‎1‎-2tt‎1‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-1‎t‎2‎‎+1‎,从而t‎1‎‎=‎t+2‎‎2t-1‎(t≠‎‎1‎‎2‎,否则Q‎1‎不存在), 由E,Q,Q‎2‎共线,得‎2t‎2‎-2tt‎2‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-0‎t‎2‎‎-1‎,从而t‎2‎‎=-‎‎1‎t(t≠0‎,否则Q‎2‎不存在), ∴ t‎1‎t‎2‎‎=-‎t+2‎‎2t‎2‎-t,t‎1‎‎+t‎2‎=‎t‎2‎‎+1‎‎2t‎2‎-t, ∴‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ 直线Q‎1‎Q‎2‎的方程化为t‎2‎‎(y-4x)+2t(x+1)+(y+4)‎=‎0‎, 令y-4x=0‎x+1=0‎y+4=0‎‎ ‎,得x=‎-1‎,y=‎-4‎. ∴ 直线Q‎1‎Q‎2‎恒过定点‎(-1, -4)‎.‎ ‎17.【答案】‎ 解:‎(1)‎由 f(x)=2ax+ex(a∈R)‎,得f‎'‎‎(x)=2a+‎ex.‎ ‎①当 a≥0‎时,f‎'‎‎(x)=2a+ex>0‎,‎ 所以f(x)‎在R上是增函数.‎ ‎②当 a<0‎ 时,由f‎'‎‎(x)=2a+ex=0‎,得x=ln(-2a)‎,‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎上,f‎'‎‎(x)<0‎,在‎(ln(-2a),0)‎上,f‎'‎‎(x)>0‎,‎ 所以 f(x)‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎ 上是减函数,在 ‎(ln(-2a),0)‎ 上是增函数.‎ ‎(2)f(x)+g(x)≤1‎‎ 等价于 ax‎2‎+(1-x)ex-1≤0‎ 恒成立‎.‎ 令F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1‎,‎ 当a>0‎时,‎x→-∞, ax‎2‎→+∞,(1-x)ex→0‎ F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1→+∞‎‎,不合题意;‎ 当a≤0‎时,F‎'‎‎(x)=x(2a-ex)‎,‎ 当x>0‎时,F‎'‎‎(x)<0‎;当x<0‎时,F‎'‎‎(x)>0‎,‎ 所以F(x)‎ 在 x=0‎时取得最大值,最大值为 F(0)=a⋅‎0‎‎2‎+(1-0)⋅e‎0‎-1=0‎,‎ 所以 F(x)≤0‎ 恒成立,‎ 综上,a的取值范围为 ‎(-∞,0]‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎由 f(x)=2ax+ex(a∈R)‎,得f‎'‎‎(x)=2a+‎ex.‎ ‎①当 a≥0‎时,f‎'‎‎(x)=2a+ex>0‎,‎ 所以f(x)‎在R上是增函数.‎ ‎②当 a<0‎ 时,由f‎'‎‎(x)=2a+ex=0‎,得x=ln(-2a)‎,‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎上,f‎'‎‎(x)<0‎,在‎(ln(-2a),0)‎上,f‎'‎‎(x)>0‎,‎ 所以 f(x)‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎ 上是减函数,在 ‎(ln(-2a),0)‎ 上是增函数.‎ ‎(2)f(x)+g(x)≤1‎‎ 等价于 ax‎2‎+(1-x)ex-1≤0‎ 恒成立‎.‎ 令F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1‎,‎ 当a>0‎时,‎x→-∞, ax‎2‎→+∞,(1-x)ex→0‎ F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1→+∞‎‎,不合题意;‎ 当a≤0‎时,F‎'‎‎(x)=x(2a-ex)‎,‎ 当x>0‎时,F‎'‎‎(x)<0‎;当x<0‎时,F‎'‎‎(x)>0‎,‎ 所以F(x)‎ 在 x=0‎时取得最大值,最大值为 F(0)=a⋅‎0‎‎2‎+(1-0)⋅e‎0‎-1=0‎,‎ 所以 F(x)≤0‎ 恒成立,‎ 综上,a的取值范围为 ‎(-∞,0]‎.‎ ‎18.【答案】‎ 解:(1)从第n年初到第n+1‎年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为cxn‎2‎, 因此xn+1‎‎-xn=axn-bxn-cxn‎2‎,n∈N*‎.‎(*)‎ 即xn+1‎‎=xn(a-b+1-cxn)‎,n∈N*‎.‎‎(**)‎ ‎(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x‎1‎,n∈N*‎, 从而由‎(*)‎式得xn‎(a-b-cxn)‎恒等于‎0‎,n∈N*‎, 所以a-b-x‎1‎=0‎.即x‎1‎‎=‎a-bc. 因为x‎1‎‎>0‎,所以a>b. 猜测:当且仅当a>b,且x‎1‎‎=‎a-bc.每年年初鱼群的总量保持不变.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)从第n年初到第n+1‎年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为cxn‎2‎, 因此xn+1‎‎-xn=axn-bxn-cxn‎2‎,n∈N*‎.‎(*)‎ 即xn+1‎‎=xn(a-b+1-cxn)‎,n∈N*‎.‎‎(**)‎ ‎(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x‎1‎,n∈N*‎, 从而由‎(*)‎式得xn‎(a-b-cxn)‎恒等于‎0‎,n∈N*‎, 所以a-b-x‎1‎=0‎.即x‎1‎‎=‎a-bc. 因为x‎1‎‎>0‎,所以a>b. 猜测:当且仅当a>b,且x‎1‎‎=‎a-bc.每年年初鱼群的总量保持不变.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页