【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）2【附详细答案和解析_可编辑】 8页

‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）2【附详细答案和解析 可编辑】‎ 真水无香陈 tougao33‎ 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎1. 若i为虚数单位，且‎(2-i‎)‎‎2‎=a+bi‎3‎(a,b∈R)‎，则a+b=‎（        ） ‎ A.‎7‎ B.‎-7‎ C.‎-1‎ D.‎‎1‎ ‎ ‎ ‎2. 执行如图所示的程序框图，则输出的x等于(        ) ‎ A.‎2‎ B.‎4‎ C.‎8‎ D.‎‎16‎ ‎ ‎ ‎3. 曲线C的参数方程为x=5secθ,‎y=4tanθ（θ为参数）经过伸缩变换x'=x‎5‎，‎y'=‎y‎4‎后所得曲线的离心率为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎4. 已知F‎1‎，F‎2‎分别为椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左右焦点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且PF‎1‎‎→‎‎⋅PF‎2‎‎→‎=0‎，‎|PF‎1‎‎→‎|=3|PF‎2‎‎→‎|‎，则该椭圆的离心率为（ ） ‎ A.‎10‎‎5‎ B.‎10‎‎4‎ C.‎10‎‎3‎ D.‎‎10‎‎2‎ ‎ ‎ ‎5. 已知实数x，y满足条件x-y≥0，‎x+y≥0，‎x≤1，‎则 z=y-‎‎1‎‎2‎x的最大值为（        ） ‎ A.‎-‎‎3‎‎2‎ B.‎0‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎ ‎ ‎ ‎6. 若lgx=a,lgy=b，则lgx-lgy‎10‎‎2‎的值为(        ) ‎ A.‎1‎‎2‎a-2b-2‎ B.‎1‎‎2‎a-2b+1‎ C.‎1‎‎2‎a-2b-1‎ D.‎‎1‎‎2‎a-2b+2‎ ‎ ‎ ‎7. 已知：‎|OA‎→‎|=1‎，‎|OB‎→‎|=‎‎3‎，OA‎→‎‎*OB‎→‎=0‎，点C在‎∠AOB内，且OC‎→‎与OA‎→‎的夹角为‎30‎‎∘‎，设OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎(m, n∈R)‎，则mn的值为（ ） ‎ A.‎2‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎ ‎ ‎8. 已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1‎，则abc的最大值为（ ） ‎ A.‎3‎‎9‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎ D.‎‎3‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知角θ的终边经过点P(‎2‎x, -6)‎，且tanθ=-‎‎3‎‎4‎，则x的值为________． ‎ ‎ ‎ ‎10. 在等差数列‎{an}‎中，若a‎5‎‎=8‎，a‎9‎‎=24‎，则公差d=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎11. 若‎⊙O‎1‎:x‎2‎+y‎2‎=5‎与‎⊙‎O‎2‎：‎(x-m‎)‎‎2‎+y‎2‎=20(m∈R)‎相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________． ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知函数f(x)=lnxx+x-a(a∈R)‎，若曲线y=‎‎2‎ex+1‎e‎2x‎+1‎（e为自然对数的底数）上存在点‎(x‎0‎, y‎0‎)‎使得f(f(y‎0‎)‎)‎=‎y‎0‎，则实数a的取值范围是__________. ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎13. 已知函数f(x)‎＝sin‎2‎x‎2‎‎+‎1‎‎2‎sinx-‎‎1‎‎2‎，‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c． ‎ ‎（1）求f(A)‎的取值范围；‎ ‎ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎（2）若C>A，f(A)‎＝‎0‎，且‎2sinA＝sinB+‎‎2‎sinC‎2‎，‎△ABC的面积为‎2‎，求b的值．‎ ‎ ‎ ‎14. 如图，在矩形ABCD中，AB=4‎，AD=2‎，E是CD的中点，以AE为折痕将‎△DAE向上折起，D变为D‎'‎，且平面D‎'‎AE⊥‎平面ABCE． ‎(‎Ⅰ‎)‎求证：AD‎'‎⊥EB； ‎(‎Ⅱ‎)‎求二面角A-BD‎'‎-E的大小． ‎ ‎ ‎ ‎15. 调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：‎0‎表示不合格，‎1‎表示临界合格，‎2‎表示合格，再用综合指标ω＝x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4‎，则长势为一级；若‎2≤ω≤3‎，则长势为二级；若‎0≤ω≤1‎，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取‎10‎块种植地，得到如表中结果： ‎ 种植地编号 A‎1‎ A‎2‎ A‎3‎ A‎4‎ A‎5‎ ‎(x, y, z)‎ ‎(1, 1, 2)‎ ‎(2, 1, 1)‎ ‎(2, 2, 2)‎ ‎(0, 0, 1)‎ ‎(1, 2, 1)‎ 种植地编号 A‎6‎ A‎7‎ A‎8‎ A‎9‎ A‎10‎ ‎(x, y, z)‎ ‎(1, 1, 2)‎ ‎(1, 1, 1)‎ ‎(1, 2, 2)‎ ‎(1, 2, 1)‎ ‎(1, 1, 1)‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎在这‎10‎块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率； ‎(‎Ⅱ‎)‎从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X＝A-B，求X的分布列及其数学期望．‎ ‎ ‎ ‎16. 如图，点P为圆E：‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎＝r‎2‎‎(r>1)‎与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D． ‎(‎Ⅰ‎)‎当r在‎(1, +∞)‎内变化时，求点Q的轨迹方程； ‎(‎Ⅱ‎)‎已知点A(-1, 1)‎，设直线AQ，EQ分别与‎(‎Ⅰ‎)‎中的轨迹交于另一点Q‎1‎，Q‎2‎，求证：当Q在‎(‎Ⅰ‎)‎中的轨迹上移动时，只要Q‎1‎，Q‎2‎都存在，且Q‎1‎，Q‎2‎不重合，则直线Q‎1‎Q‎2‎恒过定点，并求该定点坐标． ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知函数 f(x)=2ax+‎ex ，g(x)=ax‎2‎-2ax-xex,a∈R. ‎ ‎(1)‎讨论 f(x)‎ 的单调区间；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若对任意实数x, f(x)+g(x)≤1‎，求a的取值范围‎.‎ ‎ ‎ ‎18. 自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈‎N‎+‎，且x‎1‎‎>0‎．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn‎2‎成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c． ‎ ‎（1）求xn+1‎与xn的关系式；‎ ‎ ‎ ‎（2）猜测：当且仅当x‎1‎，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）2【附详细答案和解析 可编辑】‎ 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） ‎ ‎1.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：等式化为‎3-4i=a-bi，所以a=3‎，b=4‎．‎ 故选A．‎ ‎2.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：执行程序框图， ∵ y>0‎，∴ y=-2‎，x=2‎， ∵ y<0‎，∴ y=3‎，x=4‎， ∵ y>0‎，∴ y=1‎，x=8‎， 结束循环，输出x=8‎． 故选C.‎ ‎3.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：由题得曲线C的普通方程为x‎2‎‎25‎‎-y‎2‎‎16‎=1‎, 由x'=x‎5‎，‎y'=y‎4‎，‎可得x=5x'，‎y=4y'，‎ 代入曲线C中，可得x‎'‎‎2‎-y‎'‎‎2‎=1‎， 即x‎2‎‎-y‎2‎=1‎， ∴ a=1‎，b=1‎， ∴ c=‎‎2‎， ∴ e=ca=‎‎2‎． 故选C．‎ ‎4.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 点P是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎上的一点，F‎1‎，F‎2‎分别为椭圆的左、右焦点，已知‎∠F‎1‎PF‎2‎＝‎90‎‎∘‎，且‎|PF‎1‎|‎＝‎3|PF‎2‎|‎，如图： 设‎|PF‎2‎|‎＝m，则‎|PF‎1‎|‎＝‎3m， 则：‎4m=2a‎9m‎2‎+m‎2‎=4‎c‎2‎‎ ‎， 可得‎4c‎2‎=‎‎5‎‎2‎a‎2‎， 解得e=ca=‎‎10‎‎4‎．‎ ‎5.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：作出不等式组对应的平面区域,‎ ‎ ‎ 将y-(‎1‎‎2‎‎)‎x=0‎平移到点A(1,1)‎，‎ 此时目标函数z=y-(‎‎1‎‎2‎‎)‎x取得最大值，其最大值为z=1-(‎1‎‎2‎‎)‎‎1‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 故选C.‎ ‎6.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：‎∵ lgx=a，lgy=b， ‎∴ lgx-lgy‎10‎‎2‎=‎1‎‎2‎lgx-2lgy‎10‎ ‎‎=‎1‎‎2‎lgx-2lgy-1‎ ‎‎=‎1‎‎2‎lgx-2lgy+2 ‎‎=‎1‎‎2‎a-2b+2‎， 故选D．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎7.【答案】‎ C ‎【解答】‎ ‎∵ ‎|OA‎→‎|=1‎，‎|OB‎→‎|=‎‎3‎，OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=0‎， ∴ 建立平面直角坐标系如图： 则OA‎→‎‎=(1,0)‎，OB‎→‎‎=(0,‎3‎)‎， ∴ OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎=(m, ‎3‎n)‎， 又OC‎→‎与OA‎→‎的夹角为‎30‎‎∘‎， ∴ ‎3‎nm‎=tan‎30‎‎∘‎=‎‎3‎‎3‎，则mn的值为‎3‎．‎ ‎8.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：∵ a，b，c是正实数， 且ab+bc+ac=1‎， ∴ ‎1‎‎3‎‎=ab+bc+ca‎3‎≥‎‎3‎‎(abc‎)‎‎2‎， ∴ ‎(abc‎)‎‎2‎≤‎‎1‎‎27‎， ∴ abc≤‎‎3‎‎9‎， 即 abc的最大值为 ‎3‎‎9‎， 故选A．‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） ‎ ‎9.【答案】‎ ‎3‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 角α的终边经过点P(‎2‎x, -6)‎，且tanθ=-‎‎3‎‎4‎， ∴ ‎-6‎‎2‎x‎=-‎‎3‎‎4‎， ∴ x=3‎ 故答案为：‎3‎．‎ ‎10.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 数列‎{an}‎中为等差数列，∴ a‎5‎‎=a‎1‎+4d=8‎，①a‎9‎‎=a‎1‎+8d=24‎② ②-①得，‎4d=16‎．∴ d=4‎ 故答案为‎4‎ ‎11.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解：由题  O‎1‎‎(0, 0)‎与O‎2‎：‎(m, 0)‎ ‎5‎‎<|m|<3‎‎5‎，O‎1‎A⊥AO‎2‎， m‎2‎‎=(‎5‎‎)‎‎2‎+(2‎5‎‎)‎‎2‎=25‎，∴ m=±5‎ AB=2⋅‎5‎‎˙‎=4 ‎故答案为：‎‎4‎ ‎12.【答案】‎ ‎(-∞,‎1‎e]‎ ‎【解答】‎ 解：y=‎‎2‎ex+1‎e‎2x‎+1‎（e是自然对数的底数），求导，y'=‎‎2ex+1‎(1-e‎2x)‎‎(e‎2x+1‎‎)‎‎2‎， 令y'‎＝‎0‎，解得：x=0‎， 当x>0‎时，y'<0‎，当x<0‎，y'>0‎， 则x∈(-∞, 0)‎，函数单调递增，x∈(0, +∞)‎时，函数y单调递减， 则当x=0‎时，取最大值，最大值为e， ∴ y‎0‎的取值范围为‎(0, e]‎， 则函数f(x)=lnxx+x-a(a∈R)‎，x∈(0, e)‎， 求导，f'(x)=‎x‎2‎‎-lnx+1‎x‎2‎， x∈(0, e)‎，f'(x)>0‎， 则f(x)‎在‎(0, e)‎上单调递增， 下面证明f(y‎0‎)=‎y‎0‎． 假设f(y‎0‎)=c>‎y‎0‎，则f(f(y‎0‎))=f(c)>f(y‎0‎)=c>‎y‎0‎，不满足f(f(y‎0‎))=‎y‎0‎． 同理假设f(y‎0‎)=c<‎y‎0‎，则不满足f(f(y‎0‎))=‎y‎0‎． 综上可得：f(y‎0‎)=‎y‎0‎． 令函数f(x)=lnxx+x-a=x，化为a=‎lnxx． 设g(x)=‎lnxx，求导g'(x)=‎‎1-lnxx‎2‎， 当x∈(0, e)‎时，g'(x)>0‎， g(x)‎在‎(0, e)‎上单调递增， 当x=e时取最大值，最大值为‎1‎e， 当x→0‎时，a→-∞‎， ∴ a的取值范围‎(-∞, ‎1‎e]‎. ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 故答案为：‎(-∞, ‎1‎e]‎.‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ） ‎ ‎13.【答案】‎ f(x)‎‎＝sin‎2‎x‎2‎‎+‎1‎‎2‎sinx-‎1‎‎2‎=‎1-cosx‎2‎+sinx‎2‎-‎1‎‎2‎=‎2‎‎2‎sin(x-π‎4‎)‎． 由题意‎0A，可得C=‎π‎2‎，则‎△ABC为等腰直角三角形， 由于：‎1‎‎2‎b‎2‎＝‎2‎， 所以：b＝‎2‎．‎ ‎【解答】‎ f(x)‎‎＝sin‎2‎x‎2‎‎+‎1‎‎2‎sinx-‎1‎‎2‎=‎1-cosx‎2‎+sinx‎2‎-‎1‎‎2‎=‎2‎‎2‎sin(x-π‎4‎)‎． 由题意‎0A，可得C=‎π‎2‎，则‎△ABC为等腰直角三角形， 由于：‎1‎‎2‎b‎2‎＝‎2‎， 所以：b＝‎2‎．‎ ‎14.【答案】‎ 证明：‎(‎Ⅰ‎)‎∵ AE=BE=2‎‎2‎，AB=4‎， ∴ AB‎2‎=AE‎2‎+BE‎2‎，∴ AE⊥EB， 取AE的中点M，连结MD‎'‎，则AD=D‎'‎E=2⇒MD‎'‎⊥AE， ∵ 平面D‎'‎AE⊥‎平面ABCE， ∴ MD‎'‎⊥‎平面ABCE，∴ MD‎'‎⊥BE， 从而EB⊥‎平面AD‎'‎E，∴ AD‎'‎⊥EB； ‎(‎Ⅱ‎)‎以C为原点，CE为x轴，CB为y轴， 过C作平面ABCE的垂线为z轴， 如图建立空间直角坐标系， 则A(4, 2, 0)‎、C(0, 0, 0)‎、B(0, 2, 0)‎、D‎'‎‎(3,1,‎2‎)‎，E(2, 0, 0)‎， 从而BA‎→‎‎=(4, 0, 0)‎，BD‎'‎‎→‎‎=(3,-1,‎2‎)‎，BE‎→‎‎=(2,-2,0)‎． 设n‎1‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面ABD‎'‎的法向量， 则n‎1‎‎→‎‎*BA‎→‎=4x=0‎n‎1‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z‎ ‎，取z=1‎，得n‎1‎‎→‎‎=(0,‎2‎,1)‎ 设n‎2‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面BD‎'‎E的法向量， 则n‎2‎‎→‎‎*BE‎→‎=2x-2y=0‎n‎2‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z=0‎‎ ‎，取x=1‎，得n‎2‎‎→‎‎=(1,1,-‎2‎)‎ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 因此，n‎1‎‎→‎‎*n‎2‎‎→‎=0‎，有n‎1‎‎→‎‎⊥‎n‎2‎‎→‎，即平面ABD‎'‎⊥‎平面BD‎'‎E， 故二面角A-BD‎'‎-E的大小为‎90‎‎∘‎． ‎ ‎【解答】‎ 证明：‎(‎Ⅰ‎)‎∵ AE=BE=2‎‎2‎，AB=4‎， ∴ AB‎2‎=AE‎2‎+BE‎2‎，∴ AE⊥EB， 取AE的中点M，连结MD‎'‎，则AD=D‎'‎E=2⇒MD‎'‎⊥AE， ∵ 平面D‎'‎AE⊥‎平面ABCE， ∴ MD‎'‎⊥‎平面ABCE，∴ MD‎'‎⊥BE， 从而EB⊥‎平面AD‎'‎E，∴ AD‎'‎⊥EB； ‎(‎Ⅱ‎)‎以C为原点，CE为x轴，CB为y轴， 过C作平面ABCE的垂线为z轴， 如图建立空间直角坐标系， 则A(4, 2, 0)‎、C(0, 0, 0)‎、B(0, 2, 0)‎、D‎'‎‎(3,1,‎2‎)‎，E(2, 0, 0)‎， 从而BA‎→‎‎=(4, 0, 0)‎，BD‎'‎‎→‎‎=(3,-1,‎2‎)‎，BE‎→‎‎=(2,-2,0)‎． 设n‎1‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面ABD‎'‎的法向量， 则n‎1‎‎→‎‎*BA‎→‎=4x=0‎n‎1‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z‎ ‎，取z=1‎，得n‎1‎‎→‎‎=(0,‎2‎,1)‎ 设n‎2‎‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面BD‎'‎E的法向量， 则n‎2‎‎→‎‎*BE‎→‎=2x-2y=0‎n‎2‎‎→‎‎*BD‎'‎‎→‎=3x-y+‎2‎z=0‎‎ ‎，取x=1‎，得n‎2‎‎→‎‎=(1,1,-‎2‎)‎ 因此，n‎1‎‎→‎‎*n‎2‎‎→‎=0‎，有n‎1‎‎→‎‎⊥‎n‎2‎‎→‎，即平面ABD‎'‎⊥‎平面BD‎'‎E， 故二面角A-BD‎'‎-E的大小为‎90‎‎∘‎． ‎ ‎15.【答案】‎ ‎（1）由表可知：空气湿度指标为‎1‎的有A‎2‎，A‎4‎，A‎5‎，A‎7‎，A‎9‎，A‎10‎ 空气湿度指标为‎2‎的有A‎1‎，A‎3‎，A‎6‎，A‎8‎， 在这‎10‎块种植地中任取两块地，基本事件总数n=C‎10‎‎2‎=‎10×9‎‎2‎=45⋯‎ 这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C‎6‎‎2‎+C‎4‎‎2‎=‎6×5‎‎2‎+‎4×3‎‎2‎=21⋯‎ ∴ 这两地的空气温度的指标z相同的概率P=mn=‎21‎‎45‎=‎7‎‎15‎⋯‎ （2）由题意得‎10‎块种植地的综合指标如下表： ‎ 编号 A‎1‎ A‎2‎ A‎3‎ A‎4‎ A‎5‎ A‎6‎ A‎7‎ A‎8‎ A‎9‎ A‎10‎ 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎ 其中长势等级是一级‎(ω≥4)‎有A‎1‎，A‎2‎，A‎3‎，A‎5‎，A‎6‎，A‎8‎，A‎9‎，共‎7‎个， 长势等级不是一级‎(ω<4)‎的有A‎4‎，A‎7‎，A‎10‎，共‎3‎个， 随机变量X＝A-B的所有可能取值为‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎， w＝‎4‎的有A‎1‎，A‎2‎，A‎5‎，A‎6‎，A‎9‎共‎5‎块地，w＝‎3‎的有A‎7‎，A‎10‎共‎2‎块地，这时有X＝‎4-3‎＝‎1‎ 所以P(x=1)=C‎5‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎10‎‎21‎， 同理P(x=2)=C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎2‎‎21‎，‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 P(x=3)=C‎5‎‎1‎C‎1‎‎1‎‎+‎C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎7‎‎21‎P(x=4)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎1‎‎21‎‎，P(x=5)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎1‎‎21‎⋯‎ ∴ X的分布列为： ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎10‎‎21‎ ‎2‎‎21‎ ‎7‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎ ‎EX=1×‎10‎‎21‎+2×‎2‎‎21‎+3×‎7‎‎21‎+4×‎1‎‎21‎+5×‎1‎‎21‎=‎44‎‎21‎⋯‎ ‎【解答】‎ ‎（1）由表可知：空气湿度指标为‎1‎的有A‎2‎，A‎4‎，A‎5‎，A‎7‎，A‎9‎，A‎10‎ 空气湿度指标为‎2‎的有A‎1‎，A‎3‎，A‎6‎，A‎8‎， 在这‎10‎块种植地中任取两块地，基本事件总数n=C‎10‎‎2‎=‎10×9‎‎2‎=45⋯‎ 这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C‎6‎‎2‎+C‎4‎‎2‎=‎6×5‎‎2‎+‎4×3‎‎2‎=21⋯‎ ∴ 这两地的空气温度的指标z相同的概率P=mn=‎21‎‎45‎=‎7‎‎15‎⋯‎ （2）由题意得‎10‎块种植地的综合指标如下表： ‎ 编号 A‎1‎ A‎2‎ A‎3‎ A‎4‎ A‎5‎ A‎6‎ A‎7‎ A‎8‎ A‎9‎ A‎10‎ 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎ 其中长势等级是一级‎(ω≥4)‎有A‎1‎，A‎2‎，A‎3‎，A‎5‎，A‎6‎，A‎8‎，A‎9‎，共‎7‎个， 长势等级不是一级‎(ω<4)‎的有A‎4‎，A‎7‎，A‎10‎，共‎3‎个， 随机变量X＝A-B的所有可能取值为‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎， w＝‎4‎的有A‎1‎，A‎2‎，A‎5‎，A‎6‎，A‎9‎共‎5‎块地，w＝‎3‎的有A‎7‎，A‎10‎共‎2‎块地，这时有X＝‎4-3‎＝‎1‎ 所以P(x=1)=C‎5‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎10‎‎21‎， 同理P(x=2)=C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎2‎‎21‎，P(x=3)=C‎5‎‎1‎C‎1‎‎1‎‎+‎C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎7‎‎21‎P(x=4)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎‎1‎‎21‎，P(x=5)=C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎7‎‎1‎C‎3‎‎1‎=‎1‎‎21‎⋯‎ ∴ X的分布列为： ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎10‎‎21‎ ‎2‎‎21‎ ‎7‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎1‎‎21‎ ‎ ‎EX=1×‎10‎‎21‎+2×‎2‎‎21‎+3×‎7‎‎21‎+4×‎1‎‎21‎+5×‎1‎‎21‎=‎44‎‎21‎⋯‎ ‎16.【答案】‎ ‎（1）设Q(x, y)‎，则PQ的中点D(0,y‎2‎)‎， ∵ E(1, 0)‎，∴ DE‎→‎‎=(1,-y‎2‎)‎，DQ‎→‎‎=(x,y‎2‎)‎． 在圆E中，∵ DE⊥DQ，∴ DE‎→‎‎*DQ‎→‎=0‎，则x-y‎2‎‎4‎=0‎． ∴ 点Q的轨迹方程y‎2‎＝‎4x(x≠0)‎； （2）证明：设Q(t‎2‎, 2t)‎，Q‎1‎‎(t‎1‎‎2‎,2t‎1‎)‎，Q‎2‎‎(t‎2‎‎2‎,2t‎2‎)‎， 则直线Q‎1‎Q‎2‎的方程为‎(t‎1‎+t‎2‎)y-2x-2‎t‎1‎t‎2‎＝‎0‎． 由A，Q，Q‎1‎共线，得‎2t‎1‎-2tt‎1‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-1‎t‎2‎‎+1‎，从而t‎1‎‎=‎t+2‎‎2t-1‎（t≠‎‎1‎‎2‎，否则Q‎1‎不存在）， 由E，Q，Q‎2‎共线，得‎2t‎2‎-2tt‎2‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-0‎t‎2‎‎-1‎，从而t‎2‎‎=-‎‎1‎t（t≠0‎，否则Q‎2‎不存在）， ∴ t‎1‎t‎2‎‎=-‎t+2‎‎2t‎2‎-t，t‎1‎‎+t‎2‎=‎t‎2‎‎+1‎‎2t‎2‎-t， ∴ 直线Q‎1‎Q‎2‎的方程化为t‎2‎‎(y-4x)+2t(x+1)+(y+4)‎＝‎0‎， 令y-4x=0‎x+1=0‎y+4=0‎‎ ‎，得x＝‎-1‎，y＝‎-4‎． ∴ 直线Q‎1‎Q‎2‎恒过定点‎(-1, -4)‎．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）设Q(x, y)‎，则PQ的中点D(0,y‎2‎)‎， ∵ E(1, 0)‎，∴ DE‎→‎‎=(1,-y‎2‎)‎，DQ‎→‎‎=(x,y‎2‎)‎． 在圆E中，∵ DE⊥DQ，∴ DE‎→‎‎*DQ‎→‎=0‎，则x-y‎2‎‎4‎=0‎． ∴ 点Q的轨迹方程y‎2‎＝‎4x(x≠0)‎； （2）证明：设Q(t‎2‎, 2t)‎，Q‎1‎‎(t‎1‎‎2‎,2t‎1‎)‎，Q‎2‎‎(t‎2‎‎2‎,2t‎2‎)‎， 则直线Q‎1‎Q‎2‎的方程为‎(t‎1‎+t‎2‎)y-2x-2‎t‎1‎t‎2‎＝‎0‎． 由A，Q，Q‎1‎共线，得‎2t‎1‎-2tt‎1‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-1‎t‎2‎‎+1‎，从而t‎1‎‎=‎t+2‎‎2t-1‎（t≠‎‎1‎‎2‎，否则Q‎1‎不存在）， 由E，Q，Q‎2‎共线，得‎2t‎2‎-2tt‎2‎‎2‎‎-‎t‎2‎‎=‎‎2t-0‎t‎2‎‎-1‎，从而t‎2‎‎=-‎‎1‎t（t≠0‎，否则Q‎2‎不存在）， ∴ t‎1‎t‎2‎‎=-‎t+2‎‎2t‎2‎-t，t‎1‎‎+t‎2‎=‎t‎2‎‎+1‎‎2t‎2‎-t， ∴‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ 直线Q‎1‎Q‎2‎的方程化为t‎2‎‎(y-4x)+2t(x+1)+(y+4)‎＝‎0‎， 令y-4x=0‎x+1=0‎y+4=0‎‎ ‎，得x＝‎-1‎，y＝‎-4‎． ∴ 直线Q‎1‎Q‎2‎恒过定点‎(-1, -4)‎．‎ ‎17.【答案】‎ 解：‎(1)‎由 f(x)=2ax+ex(a∈R)‎，得f‎'‎‎(x)=2a+‎ex.‎ ‎①当 a≥0‎时，f‎'‎‎(x)=2a+ex>0‎，‎ 所以f(x)‎在R上是增函数.‎ ‎②当 a<0‎ 时，由f‎'‎‎(x)=2a+ex=0‎，得x=ln(-2a)‎，‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎上，f‎'‎‎(x)<0‎，在‎(ln(-2a),0)‎上，f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 所以 f(x)‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎ 上是减函数，在 ‎(ln(-2a),0)‎ 上是增函数.‎ ‎(2)f(x)+g(x)≤1‎‎ 等价于 ax‎2‎+(1-x)ex-1≤0‎ 恒成立‎.‎ 令F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1‎，‎ 当a>0‎时，‎x→-∞, ax‎2‎→+∞，(1-x)ex→0‎ F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1→+∞‎‎，不合题意；‎ 当a≤0‎时，F‎'‎‎(x)=x(2a-ex)‎，‎ 当x>0‎时，F‎'‎‎(x)<0‎；当x<0‎时，F‎'‎‎(x)>0‎，‎ 所以F(x)‎ 在 x=0‎时取得最大值，最大值为 F(0)=a⋅‎0‎‎2‎+(1-0)⋅e‎0‎-1=0‎，‎ 所以 F(x)≤0‎ 恒成立，‎ 综上，a的取值范围为 ‎(-∞,0]‎.‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎由 f(x)=2ax+ex(a∈R)‎，得f‎'‎‎(x)=2a+‎ex.‎ ‎①当 a≥0‎时，f‎'‎‎(x)=2a+ex>0‎，‎ 所以f(x)‎在R上是增函数.‎ ‎②当 a<0‎ 时，由f‎'‎‎(x)=2a+ex=0‎，得x=ln(-2a)‎，‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎上，f‎'‎‎(x)<0‎，在‎(ln(-2a),0)‎上，f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 所以 f(x)‎ 在‎(-∞,ln(-2a))‎ 上是减函数，在 ‎(ln(-2a),0)‎ 上是增函数.‎ ‎(2)f(x)+g(x)≤1‎‎ 等价于 ax‎2‎+(1-x)ex-1≤0‎ 恒成立‎.‎ 令F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1‎，‎ 当a>0‎时，‎x→-∞, ax‎2‎→+∞，(1-x)ex→0‎ F(x)=ax‎2‎+(1-x)ex-1→+∞‎‎，不合题意；‎ 当a≤0‎时，F‎'‎‎(x)=x(2a-ex)‎，‎ 当x>0‎时，F‎'‎‎(x)<0‎；当x<0‎时，F‎'‎‎(x)>0‎，‎ 所以F(x)‎ 在 x=0‎时取得最大值，最大值为 F(0)=a⋅‎0‎‎2‎+(1-0)⋅e‎0‎-1=0‎，‎ 所以 F(x)≤0‎ 恒成立，‎ 综上，a的取值范围为 ‎(-∞,0]‎.‎ ‎18.【答案】‎ 解：（1）从第n年初到第n+1‎年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn‎2‎， 因此xn+1‎‎-xn=axn-bxn-cxn‎2‎，n∈N*‎．‎(*)‎ 即xn+1‎‎=xn(a-b+1-cxn)‎，n∈N*‎．‎‎(**)‎ ‎（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x‎1‎，n∈N*‎， 从而由‎(*)‎式得xn‎(a-b-cxn)‎恒等于‎0‎，n∈N*‎， 所以a-b-x‎1‎=0‎．即x‎1‎‎=‎a-bc． 因为x‎1‎‎>0‎，所以a>b． 猜测：当且仅当a>b，且x‎1‎‎=‎a-bc．每年年初鱼群的总量保持不变．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）从第n年初到第n+1‎年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn‎2‎， 因此xn+1‎‎-xn=axn-bxn-cxn‎2‎，n∈N*‎．‎(*)‎ 即xn+1‎‎=xn(a-b+1-cxn)‎，n∈N*‎．‎‎(**)‎ ‎（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x‎1‎，n∈N*‎， 从而由‎(*)‎式得xn‎(a-b-cxn)‎恒等于‎0‎，n∈N*‎， 所以a-b-x‎1‎=0‎．即x‎1‎‎=‎a-bc． 因为x‎1‎‎>0‎，所以a>b． 猜测：当且仅当a>b，且x‎1‎‎=‎a-bc．每年年初鱼群的总量保持不变．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页