2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题二 第1讲 等差数列与等比数列 练典型习题 提数学素养含解析 5页

一、选择题 ‎1．(2019·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列为等差数列，则a9＝(　　)‎ A．　　　　　　　　 B． C． D．－ 解析：选C.因为数列为等差数列，a3＝2，a7＝1，‎ 所以数列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝，故选C.‎ ‎2．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S3＝－6，则S5＝(　　)‎ A．18 B．10‎ C．－14 D．－22‎ 解析：选D.法一：设等比数列{an}的公比为q，由题意，得，解得，所以S5＝＝－22，故选D.‎ 法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，令A＝，则Sn＝Aqn－A，，解得，所以Sn＝[(－2)n－1]，所以S5＝×[(－2)5－1]＝－22，故选D.　‎ ‎3．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan 的值是　(　　)‎ A．－ B．－1‎ C．－ D． 解析：选A.依题意得，a＝(－)3，3b6＝7π，所以a6＝－，b6＝，所以＝＝－，故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，故选A.‎ ‎4．(一题多解)(2019·合肥市第一次质量检测)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，a5＋a7－a＝0，则S11的值为(　　)‎ A．11 B．12‎ C．20 D．22‎ 解析：选D.通解：设等差数列{an}的公差为d(d>0)，则由(a1＋4d)＋(a1＋6d)－(a1＋5d)2＝0，得(a1＋5d)(a1＋5d－2)＝0，所以a1＋5d＝0或a1＋5d＝2，又a1>0，所以a1＋5d>0，则a1＋5d＝2，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22，故选D.‎ 优解：因为{an}为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a5＋a7－a＝0，得2a6－a＝0，a6＝2，则S11＝＝＝11a6＝22，故选D.‎ ‎5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：选C.由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.‎ ‎6．(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列命题正确的是(　　)‎ A．数列{|an|}是等比数列 B．数列{anan＋1}是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列{lg a}是等比数列 解析：选ABC.因为数列{an}是等比数列，所以＝q.对于A，＝＝|q|，所以数列{|an|}是等比数列，A正确；对于B，＝q2，所以数列{anan＋1}是等比数列，B正确；对于C，＝＝，所以数列是等比数列，C正确；对于D，＝＝，不一定是常数，所以D错误．‎ 二、填空题 ‎7．(2019·贵阳市第一学期监测)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝7.当n∈N*时，an＋2是乘积 an·an＋1的个位数，则a2 019＝________．‎ 解析：a1＝3，a2＝7，a1a2＝21，a3＝1，a2a3＝7，a4＝7，a3a4＝7，a5＝7，a4a5＝49，a6＝9，a5a6＝63，a7＝3，a6a7＝27，a8＝7，a7a8＝21，a9＝1，a8a9＝7，所以数列{an}是周期为6的数列，又2 019＝6×336＋3，所以a2 019＝a3＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：‎ ‎①k不可能为0；‎ ‎②等差数列一定是“等差比数列”；‎ ‎③等比数列一定是“等差比数列”；‎ ‎④“等差比数列”中可以有无数项为0.‎ 其中所有正确判断的序号是________．‎ 解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{an}是等比数列，且公比q＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．‎ 答案：①④‎ ‎9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x－1)＋1，则g(x)的图象关于________对称，若an＝g＋g＋g＋…＋g(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．‎ 解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．因为g(x)＝f(x－1)＋1，所以g(x)的图象关于点(1，1)对称，若x1＋x2＝2，则有g(x1)＋g(x2)＝2，所以an＝g＋g＋g＋…＋g＝2(n－1)＋g(1)＝2n－2＋f(0)＋1＝2n－1，即an＝2n－1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ 答案：(1，1)　an＝2n－1‎ 三、解答题 ‎10．(2019·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q<1，若a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．‎ 解：(1)由已知得，‎ 则或(舍去)．‎ 所以an＝4×＝23－n.‎ ‎(2)因为bn＝log2an＝log223－n＝3－n，所以数列{bn}是首项为2，公差为－1的等差数列．‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，‎ 则Tn＝＝.‎ ‎11．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}前三项的和为－9，前三项的积为－15.‎ ‎(1)求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意得a2＝－3，则a1＝－3－d，a3＝－3＋d，‎ 所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d2＝4，d＝±2，‎ 所以an＝－2n＋1或an＝2n－7.‎ ‎(2)由题意得an＝2n－7，所以|an|＝，‎ ‎①n≤3时，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2；‎ ‎②n≥4时，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.‎ 综上，数列{|an|}的前n项和Sn＝.‎ ‎12．(2019·长沙市统一模拟考试)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整数n的值．‎ 解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5.‎ 又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，‎ 故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列，‎ 于是an＝2n＋1，bn＝a2n－1＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝2n＋1.‎ 于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.‎ 令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是关于n的单调递增函数，‎ 又f(9)＝210＋9－2＝1 031，f(10)＝211＋10－2＝2 056，‎ 故使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整数n的值是10.‎ ‎ ‎