【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第6章第3节等比数列及其前n项和学案 9页

第三节　等比数列及其前n项和 ‎[最新考纲]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N＋，q为非零常数)．‎ ‎(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.‎ ‎(2)前n项和公式：‎ Sn＝ 等比数列的常用性质 ‎1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈‎ N＋)，则am·an＝ap·aq＝a.‎ ‎2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．‎ ‎3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为－1时，n为偶数时除外．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)‎ ‎(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)‎ ‎(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ 二、教材改编 ‎1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)‎ A．5 B．±5‎ C．4 D．±4‎ C　[∵a＝a‎3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.‎ 又∵a5＝a3q2＞0，‎ ‎∴a5＝4.]‎ ‎2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ C　[∵S3＝a2＋‎10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋‎10a1，∴a3＝‎9a1，‎ 即公比q2＝9，又a5＝a1q4，‎ ‎∴a1＝＝＝.故选C.]‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.‎ ‎6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，‎ 解得n＝6.]‎ ‎4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1‎ ‎ MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB＝210 MB)．‎ ‎39　[由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，‎ 且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，‎ 则2n＝8×210＝213，∴n＝13.‎ 即病毒共复制了13次．‎ ‎∴所需时间为13×3＝39(秒)．]‎ 考点1　等比数列的基本运算 ‎　等比数列基本量运算的解题策略 ‎(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．‎ ‎(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．‎ ‎　1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)‎ A．3　　 B．‎4　‎　　　‎ C．5　　　　 D．6‎ B　[因为3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，所以两式相减，得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)，‎ 即‎3a3＝a4－a3，‎ 得a4＝‎4a3，所以q＝＝4.]‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.‎ 　[设等比数列的公比为q，由已知a1＝，a＝a6，所以2＝q5，又q≠0，所以q＝3，所以S5＝＝＝.]‎ ‎3．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝，则a2＝________.‎ ‎－3或　[法一：(直接法)∵数列{an}是等比数列，‎ ‎∴当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，显然S3＝‎3a3＝.‎ 当q≠1时，由题意可知 解得q＝－或q＝1(舍去)．‎ ‎∴a2＝＝×(－2)＝－3.‎ 综上可知a2＝－3或.‎ 法二：(优解法)由a3＝得a1＋a2＝3.‎ ‎∴＋＝3，‎ 即2q2－q－1＝0，‎ ‎∴q＝－或q＝1.‎ ‎∴a2＝＝－3或.]‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝‎4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.‎ ‎[解]　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.‎ 由已知得q4＝4q2，‎ 解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.‎ 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N＋)．‎ ‎(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.‎ 由Sm＝63得(－2)m＝－188，‎ 此方程没有正整数解．‎ 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.‎ 由Sm＝63得‎2m＝64，解得m＝6.‎ 综上，m＝6.‎ ‎　抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优，如T3，方法二避免了讨论．‎ 考点2　等比数列的判定与证明 ‎　判定一个数列为等比数列的常见方法 ‎(1)定义法：若＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，则数列{an}是等比数列；‎ ‎(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎　设数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an(n∈N＋)‎ ‎(1)证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)∵an＋2＝an＋1－an，‎ ‎∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an，‎ ‎∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝，‎ ‎∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知bn＝×n－1＝n，‎ ‎∴an－an－1＝n－1，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋2＋…＋n－1＝＝3－3·n.‎ ‎[逆向问题]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N＋)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3的值；‎ ‎(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，S1＝a1＝‎2a1－3，解得a1＝3，‎ 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝‎2a2－6，解得a2＝9，‎ 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝‎2a3－9，解得a3＝21.‎ ‎(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，‎ 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.‎ 下面证明{an＋3}为等比数列：‎ ‎∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，‎ ‎∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，‎ ‎∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2，‎ ‎∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．‎ ‎∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N＋)．‎ ‎　(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．‎ ‎(2) 已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题．‎ ‎[教师备选例题]‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 有a1＋a2＝S2＝‎4a1＋2.‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－‎2a1＝3.‎ 又 ‎①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，‎ 故{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故是首项为，公差为的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 故an＝(3n－1)·2n－2.‎ ‎　(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.‎ ‎(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋‎ bn＋1＝(an＋bn)．‎ 又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．‎ 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.‎ 又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.‎ 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，‎ bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.‎ 考点3　 等比数列性质的应用 ‎　等比数列性质的应用可以分为3类 ‎(1)通项公式的变形．‎ ‎(2)等比中项的变形．‎ ‎(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ ‎　(1)[一题多解]已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)‎ A．7　　 B．‎5 ‎　　　　‎ C．－5　　　　 D．－7‎ ‎(2)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)‎ A．2 B． C． D．1或2‎ ‎(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.‎ ‎(1)D　(2)B　(3)2　[(1)法一：(基本量法)设数列{an}的公比为q，‎ 则由题意得 所以或 所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.‎ 法二：(性质法)由 解得或 所以或 所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.‎ ‎(2)设S2＝k，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，‎ ‎∴S6－S4＝4k，‎ ‎∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.‎ ‎(3)由题意，得解得 所以q＝＝＝2.]‎ ‎　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度．‎ ‎[教师备选例题]‎ 数列{an}是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an＝________. ‎ ‎12×n－1　[设此数列{an}的公比为q，由题意，知S奇＋S偶＝‎ ‎4S偶，‎ 所以S奇＝3S偶，所以q＝＝.‎ 又a‎1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aq3＝64，‎ 所以a1q＝4.又q＝，所以a1＝12，所以an＝a1qn－1＝12×n－1.]‎ ‎　1.已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)的最小值为(　　)‎ A． B．1‎ C．2 D．3‎ C　[由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，‎ 解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是以2为首项，公比为＝的等比数列，‎ ‎∴a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝ ‎＝∈，故选C.]‎ ‎2．等比数列{an}满足an＞0，且a‎2a8＝4，则log‎2a1＋log‎2a2＋log‎2a3＋…＋log‎2a9＝________.‎ ‎9　[由题意可得a‎2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a‎1a2…a9)＝9log‎2a5＝9.] ‎