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  • 2021-06-24 发布

【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第6章第3节等比数列及其前n项和学案

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第三节 等比数列及其前n项和 ‎[最新考纲] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎1.等比数列的有关概念 ‎(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的数学表达式为=q(n∈N+,q为非零常数).‎ ‎(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±,那么G叫作a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2=ab.‎ ‎2.等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式:an=a1qn-1=amqn-m.‎ ‎(2)前n项和公式:‎ Sn= 等比数列的常用性质 ‎1.在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈‎ N+),则am·an=ap·aq=a.‎ ‎2.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍然是等比数列.‎ ‎3.等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn,其中当公比为-1时,n为偶数时除外.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.(  )‎ ‎(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(  )‎ ‎(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(  )‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(  )‎ ‎(5)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×‎ 二、教材改编 ‎1.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5等于(  )‎ A.5 B.±5‎ C.4 D.±4‎ C [∵a=a‎3a7=2×8=16,∴a5=±4.‎ 又∵a5=a3q2>0,‎ ‎∴a5=4.]‎ ‎2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+‎10a1,a5=9,则a1=(  )‎ A. B.- C. D.- C [∵S3=a2+‎10a1,∴a1+a2+a3=a2+‎10a1,∴a3=‎9a1,‎ 即公比q2=9,又a5=a1q4,‎ ‎∴a1===.故选C.]‎ ‎3.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.‎ ‎6 [∵a1=2,an+1=2an,‎ ‎∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 又∵Sn=126,∴=126,‎ 解得n=6.]‎ ‎4.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1‎ ‎ MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________秒,该病毒占据内存8 GB(1 GB=210 MB).‎ ‎39 [由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},‎ 且a1=2,q=2,∴an=2n,‎ 则2n=8×210=213,∴n=13.‎ 即病毒共复制了13次.‎ ‎∴所需时间为13×3=39(秒).]‎ 考点1 等比数列的基本运算 ‎ 等比数列基本量运算的解题策略 ‎(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).‎ ‎(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意分q=1和q≠1两类分别讨论.‎ ‎ 1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=(  )‎ A.3   B.‎4 ‎   ‎ C.5     D.6‎ B [因为3S3=a4-2,3S2=a3-2,所以两式相减,得3(S3-S2)=(a4-2)-(a3-2),‎ 即‎3a3=a4-a3,‎ 得a4=‎4a3,所以q==4.]‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,a=a6,则S5=________.‎  [设等比数列的公比为q,由已知a1=,a=a6,所以2=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.]‎ ‎3.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知a3=,S3=,则a2=________.‎ ‎-3或 [法一:(直接法)∵数列{an}是等比数列,‎ ‎∴当q=1时,a1=a2=a3=,显然S3=‎3a3=.‎ 当q≠1时,由题意可知 解得q=-或q=1(舍去).‎ ‎∴a2==×(-2)=-3.‎ 综上可知a2=-3或.‎ 法二:(优解法)由a3=得a1+a2=3.‎ ‎∴+=3,‎ 即2q2-q-1=0,‎ ‎∴q=-或q=1.‎ ‎∴a2==-3或.]‎ ‎4.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=‎4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.‎ ‎[解] (1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.‎ 由已知得q4=4q2,‎ 解得q=0(舍去),q=-2或q=2.‎ 故an=(-2)n-1或an=2n-1(n∈N+).‎ ‎(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.‎ 由Sm=63得(-2)m=-188,‎ 此方程没有正整数解.‎ 若an=2n-1,则Sn=2n-1.‎ 由Sm=63得‎2m=64,解得m=6.‎ 综上,m=6.‎ ‎ 抓住基本量a1, q,借用方程思想求解是解答此类问题的关键,求解中要注意方法的择优,如T3,方法二避免了讨论.‎ 考点2 等比数列的判定与证明 ‎ 判定一个数列为等比数列的常见方法 ‎(1)定义法:若=q(q是不为零的常数),则数列{an}是等比数列;‎ ‎(2)等比中项法:若a=anan+2(n∈N+,an≠0),则数列{an}是等比数列;‎ ‎(3)通项公式法:若an=Aqn(A,q是不为零的常数),则数列{an}是等比数列.‎ ‎ 设数列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,令bn=an+1-an(n∈N+)‎ ‎(1)证明:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解] (1)∵an+2=an+1-an,‎ ‎∴an+2-an+1=(an+1-an),而bn=an+1-an,‎ ‎∴bn+1=bn,又b1=a2-a1=,‎ ‎∴{bn}是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知bn=×n-1=n,‎ ‎∴an-an-1=n-1,‎ ‎∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=1++2+…+n-1==3-3·n.‎ ‎[逆向问题] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N+).‎ ‎(1)求a1,a2,a3的值;‎ ‎(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an,若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)当n=1时,S1=a1=‎2a1-3,解得a1=3,‎ 当n=2时,S2=a1+a2=‎2a2-6,解得a2=9,‎ 当n=3时,S3=a1+a2+a3=‎2a3-9,解得a3=21.‎ ‎(2)假设{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),‎ 即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.‎ 下面证明{an+3}为等比数列:‎ ‎∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3,‎ ‎∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,‎ ‎∴2(an+3)=an+1+3,∴=2,‎ ‎∴存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.‎ ‎∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1)(n∈N+).‎ ‎ (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎(2) 已知等比数列求参数的值,常采用特殊到一般的方法求解,如本例的逆向问题.‎ ‎[教师备选例题]‎ 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解] (1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,‎ 有a1+a2=S2=‎4a1+2.‎ ‎∴a2=5,∴b1=a2-‎2a1=3.‎ 又 ‎①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),‎ ‎∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).‎ ‎∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),‎ 故{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,‎ ‎∴-=,‎ 故是首项为,公差为的等差数列.‎ ‎∴=+(n-1)·=,‎ 故an=(3n-1)·2n-2.‎ ‎ (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.‎ ‎(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎[解] (1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+‎ bn+1=(an+bn).‎ 又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.‎ 由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.‎ 又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.‎ 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,‎ bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.‎ 考点3  等比数列性质的应用 ‎ 等比数列性质的应用可以分为3类 ‎(1)通项公式的变形.‎ ‎(2)等比中项的变形.‎ ‎(3)前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ ‎ (1)[一题多解]已知数列{an}为等比数列,a4+a7=2,a‎5a6=-8,则a1+a10等于(  )‎ A.7   B.‎5 ‎    ‎ C.-5     D.-7‎ ‎(2)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=(  )‎ A.2 B. C. D.1或2‎ ‎(3)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.‎ ‎(1)D (2)B (3)2 [(1)法一:(基本量法)设数列{an}的公比为q,‎ 则由题意得 所以或 所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.‎ 法二:(性质法)由 解得或 所以或 所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.‎ ‎(2)设S2=k,S4=3k,∵数列{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,又S2=k,S4-S2=2k,‎ ‎∴S6-S4=4k,‎ ‎∴S6=7k,∴==,故选B.‎ ‎(3)由题意,得解得 所以q===2.]‎ ‎ 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系,活用性质,减少运算量,提高解题速度.‎ ‎[教师备选例题]‎ 数列{an}是一个项数为偶数的等比数列,所有项之和是偶数项之和的4倍,前三项之积为64,则此数列的通项公式an=________. ‎ ‎12×n-1 [设此数列{an}的公比为q,由题意,知S奇+S偶=‎ ‎4S偶,‎ 所以S奇=3S偶,所以q==.‎ 又a‎1a2a3=64,即a1(a1q)(a1q2)=aq3=64,‎ 所以a1q=4.又q=,所以a1=12,所以an=a1qn-1=12×n-1.]‎ ‎ 1.已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=,则a‎1a2+a‎2a3+…+anan+1(n∈N+)的最小值为(  )‎ A. B.1‎ C.2 D.3‎ C [由已知得数列{an}的公比满足q3==,‎ 解得q=,∴a1=2,a3=,故数列{anan+1}是以2为首项,公比为=的等比数列,‎ ‎∴a‎1a2+a‎2a3+…+anan+1= ‎=∈,故选C.]‎ ‎2.等比数列{an}满足an>0,且a‎2a8=4,则log‎2a1+log‎2a2+log‎2a3+…+log‎2a9=________.‎ ‎9 [由题意可得a‎2a8=a=4,a5>0,所以a5=2,则原式=log2(a‎1a2…a9)=9log‎2a5=9.] ‎