高中数学必修2教案：第二章 章末复习提升 11页

‎1．线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．‎ 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．‎ ‎(1)证明线线平行的方法 ‎①线线平行的定义；‎ ‎②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；‎ ‎③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；‎ ‎④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；‎ ‎⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.‎ ‎(2)证明线线垂直的方法 ‎①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；‎ ‎②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；‎ ‎③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.‎ ‎2．线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．‎ ‎(1)证明直线与平面平行的方法 ‎①线面平行的定义；‎ ‎②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；‎ ‎③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.‎ ‎(2)证明直线与平面垂直的方法 ‎①线面垂直的定义；‎ ‎②判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；‎ ‎⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎3．面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．‎ ‎(1)证明面面平行的方法 ‎①面面平行的定义；‎ ‎②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，‎ a∩b＝A⇒α∥β；‎ ‎③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β；‎ ‎④公理4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β.‎ ‎(2)证明面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；‎ ‎②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.‎ ‎4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点 ‎(1)由已知想性质，由求证想判定．‎ ‎(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．‎ ‎(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．‎ ‎5．“升降维”思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．‎ 平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.‎ 题型一　几何中共点、共线、共面问题 ‎1．证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．‎ ‎2．证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．‎ ‎3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，‎ 把问题转化为证明点在直线上的问题．‎ 例1　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.‎ 求证：(1)E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)GE与HF的交点在直线AC上．‎ 证明　(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，‎ ‎∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，‎ ‎∴E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.‎ 又EF∥GH，∴EG与FH不平行，‎ 则必相交，设交点为M.‎ ⇒M∈面ABC且M∈面ACD ‎⇒M在面ABC与面ACD的交线上⇒M∈AC.‎ ‎∴GE与HF的交点在直线AC上．‎ 跟踪训练1　如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：O、M、A1三点共线．‎ 证明　∵O∈AC，‎ AC⊂平面ACC1A1，‎ ‎∴O∈平面ACC1A1.‎ ‎∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1.‎ ‎∴M∈平面ACC1A1.‎ 又已知A1∈平面ACC1A1，‎ 即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，‎ 又O、M、A1三点都在平面A1BD上，‎ 所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，‎ 所以O、M、A1三点共线．‎ 题型二　空间中的平行关系 在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．‎ 例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．‎ 解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴O是BD的中点．∴OF∥PD.‎ 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，‎ ‎∴OF∥平面PMD.又MA綊PB，‎ ‎∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形．‎ ‎∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD.‎ ‎∴AF∥平面PMD.‎ 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.‎ ‎∴平面AFC∥平面PMD.‎ 跟踪演练2　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．‎ ‎ (1)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.‎ 证明　(1)‎ 由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)连接OG并延长交AC于点M，‎ 连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．‎ 由Q为PA中点，得QM∥PC，‎ 又O为AB中点，得OM∥BC.‎ 因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，‎ 所以平面QMO∥平面PBC.‎ 因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.‎ 题型三　空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法：‎ ‎(1)判定线线垂直的方法：‎ ‎①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；‎ ‎②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．‎ ‎(2)判定线面垂直的方法：‎ ‎①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；‎ ‎②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；‎ ‎③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；‎ ‎④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；‎ ‎⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；‎ ‎⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．‎ ‎(3)面面垂直的判定方法：‎ ‎①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ 例3　如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．‎ 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎(2)直线A1F∥平面ADE.‎ 证明　(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.‎ 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，‎ CC1∩DE＝E，‎ 所以AD⊥平面BCC1B1.‎ 又AD⊂平面ADE，‎ 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.‎ ‎(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，‎ 所以A1F⊥B1C1.‎ 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，‎ 所以CC1⊥A1F.‎ 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，‎ 所以A1F⊥平面BCC1B1.‎ 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.‎ 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，‎ 所以A1F∥平面ADE.‎ 跟踪演练3　如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB以AB为轴转动．‎ ‎(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；‎ ‎(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．‎ 解　(1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.‎ ‎(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.‎ 证明如下：①当D在平面ABC内时，‎ 因为AC＝BC，AD＝BD，‎ 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.‎ ‎②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.‎ 又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，‎ 所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.‎ 综上所述，总有AB⊥CD.‎ 题型四　空间角的计算 空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角)．‎ 用直接法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，‎ 二证，三计算．‎ ‎(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．‎ ‎(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．‎ ‎(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．‎ 例4　如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.‎ ‎(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；‎ ‎(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；‎ ‎(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎(1)解　如图所示，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．‎ 又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2，‎ 所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.‎ ‎(2)证明　由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.‎ 又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC.‎ 而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.‎ ‎(3)解　在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.‎ 由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．‎ 在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°.‎ 在Rt△PEC中，PE＝PCsin 30°＝.‎ 由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，‎ 因此BC⊥PC.‎ 在Rt△PCB中，PB＝＝.‎ 在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.‎ 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ 跟踪演练4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：‎ ‎(1)AO与A′C′所成角的度数；‎ ‎(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；‎ ‎(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．‎ 解　(1)∵A′C′∥AC，‎ ‎∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.‎ ‎∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，‎ 又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.‎ 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.‎ 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，‎ ‎∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.‎ ‎(2) 如图，作OE⊥BC于E，连接AE.‎ ‎∵平面BC′⊥平面ABCD，‎ ‎∴OE⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝，‎ AE＝ ＝，‎ ‎∴tan∠OAE＝＝.‎ ‎∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，‎ ‎∴OC⊥平面AOB.‎ 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.‎ 即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.‎ 转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为