2020届广西名校高三上学期12月高考模拟数学（理）试题（解析版） 19页

2020 届广西名校高三上学期 12 月高考模拟数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 P 的非空子集的个 数是（ ） A．7 B．15 C．63 D．64 【答案】C 【解析】根据 求解 中元素的个数,再根据包含 个元 素的集合的非空子集的个数是 计算即可. 【详解】 解：∵集合 , ∴ ,共 6 个元素, 故 P 的非空子集的个数为 ． 故选 C． 【点睛】 本题主要考查了集合运算以及包含 个元素的集合的非空子集个数,属于基础题型. 2．定义运算 ，若 ，则复数 对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析： ，所以复数 对应的点 在第二象限，选 B. 【考点】复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数 的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念， 如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭 为 { }1,2,3,4M = ( ){ }, ,P x y x M x y M= ∈ − ∈ ( ){ }, ,P x y x M x y M= ∈ − ∈ P n 2 1n − { }1,2,3,4M = ( ){ } ( ) ( ) ( )( )( ) ( ){ }, , 2,1 , 3,1 , 3,2 4,1 4,2 , 4,3P x y x M x y M= ∈ − ∈ = 62 1 63− = n , , a b ad bcc d = − 2 1, 2 ,z i i = z 2 2 1, 2 2 1 2 , 1 2,z i i i z ii i = = − = − − = − + z ( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )a bi c di ac bd ad bc i a b c d R+ + = − + + ∈ ( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+ ( , )a b .a bi− 3．如图是国家统计局今年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民消费价 格的涨跌幅情况折线图．（注：2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比，2019 年 2 月 与 2019 年 1 月相比较称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A．2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨 B．2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格环比有涨有跌 C．2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大 D．2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快 【答案】C 【解析】由题意,根据同比与环比的意义分析即可. 【详解】 解：由图中的数据可知：A,B,D 三项判断都正确； 对 C．2019 年全国居民消费价格同比涨幅最大是 9 月和 10 月,错误． 故选 C． 【点睛】 本题主要考查了图表的分析与理解,属于基础题型. 4． 的展开式中 的系数为（ ） A．320 B．300 C．280 D．260 【答案】B 【解析】 展开式的通项为： ， 则： ， ， 据此可得： 的系数为 . 本题选择 B 选项. 5．我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中 ( )( )62 2 2a b a b+ − 4 4a b ( )62a b− ( ) ( )6 6 1 6 62 2r rr r r r r rT C a b C a b− − + = − = − ( )4 4 6 4 4 2 4 5 62 240T C a b a b−= − = ( )2 2 6 2 2 4 2 3 62 60T C a b a b−= − = 4 4a b 240 60 300+ = 有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢 四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明” 意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指 3.9 升，则九节竹的中间一 节的盛米容积为（ ） A．0.9 升 B．1 升 C．1.1 升 D．2.1 升 【答案】B 【解析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得 的 值，进而求得 的值. 【详解】 依题意得 ，故 ，即 ，解得 ，故 升.故选 B. 【点睛】 本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题. 6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则 该几何体最长的棱长为（ ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【 解 析 】 由 题 可 得 立 体 图 形 ： 则 , 所以最长棱为 6 2 ,a d 5a 1 2 3 6 7 8 9 3.9 3 a a a a a a a + + =  + + + = 2 7 8 1.3 1.5 a a a =  + = 2 2 25 6 2 11a d a d a d+ + + = + 2.6 11 1.5d= + = 0.1d = − 5 2 3 1.3 0.3 1a a d= + = − = 4 3 4 2 2 5 4, 16 4 2 5, 4 2AB AC PC BC= = = + = = 16 16 4 6,AP BP= = + + = 点睛：考察三视图 7．已知函数 ，则 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 由于 ，排除 B 选项. 由于 ， ，函数单调递减，排除 C 选项. 由于 ，排除 D 选项.故选 A. 【点睛】 本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题. 8．如图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是( ) A． ？ B． ？ C． ？ D． ？ 【答案】B 【解析】程序运行结果为 ,执行程序,当 时,判断条件成立,当 时,判断条 件不成立,输出 ,即可选出答案. 1( ) ln 1f x x x = − − = ( )y f x 1 2 2 01 1 12 ln 1 ln 22 2 2 f   = = >   − − − ( ) ( )2 2 2 2,2 3f e f ee e = =− − ( ) ( )2f e f e> ( )100 100 2 0101f e e = >− 41S = k 7k ≥ 6k ≥ 5k ≥ 6k > 41S = 6k = 5k = 41S = 【详解】 根据程序框图,运行如下: 初始 , 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件成立,得到 , ; 判断条件不成立,输出 ,退出循环,即 符合题意. 故选:B. 【点睛】 本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的 关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 9．已知点 是抛物线 上的一动点， 为抛物线的焦点， 是圆 ： 上一动点，则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当 三点共线时， 的值最小，根据圆的性质可知最小值为 ；根据抛物线方程和圆的方程可求得 ，从而得到所求的最值. 【详解】 如图所示，利用抛物线的定义知： 当 三点共线时， 的值最小，且最小值为 抛物线的准线方程： ， 10, 1k S= = 1 10 11S = + = 10 1 9k = − = 11 9 20S = + = 9 1 8k = − = 20 8 28S = + = 8 1 7k = − = 28 7 35S = + = 7 1 6k = − = 35 6 41S = + = 6 1 5k = − = 41S = 6k ≥ M 2 4x y= F A C 2 2( 1) ( 4) 1x y− + − = | | | |MA MF+ , ,M A P MA MF+ CP r− CP MP MF= , ,M A P MA MF+ 1CP r CP− = −  1y = − ( )1,4C 本题正确选项： 【点睛】 本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能 够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解. 10．过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与双曲 线的两条渐近线的交点分别为 ．若 ，则双曲线的离心率是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：直线 l：y=-x+a 与渐近线 l1：bx-ay=0 交于 B ， l 与渐近线 l2：bx+ay=0 交于 C ，A（a，0）， ∴ ，∵ ， ∴ ，b=2a，∴ ，∴ ，∴ 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质 11．已知函数 满足 ，且当 时， 成 立，若 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．a B． C． D．c 【答案】C 【解析】根据题意，构造函数 h（x）＝xf（x），则 a＝h（20.6），b＝h（ln2），c＝ （ ）•f（ ）＝h（﹣3），分析可得 h（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减 函数，进而分析可得 h（x）在（0，+∞）上为减函数，分析有 0＜ln2＜1＜ 20.6，结合函数的单调性分析可得答案． 4 1 5CP∴ = + = ( ) min 5 1 4MA MF∴ + = − = B 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A 1− ,B C 1 2AB BC=  2 3 5 10 2 ,a ab a b a b    + +  2 ,a ab a b a b  −  − −  2 2 2 2 2 2 2 2, , ,ab ab a b a bAB BCa b a b a b a b   = − = −  + + − −      1 2AB BC=  2 2 2 ab a b a b a b − =+ − 2 2 24c a a− = 2 2 2 5ce a = = 5e = ( )f x ( ) ( )f x f x= − ( ],0x∈ −∞ ( ) ( ) 0f x xf x′+ < ( ) ( )0.6 0.62 2a f= ⋅ ( ) ( )ln2 ln2b f= ⋅ 1 1 8 8 2 2log logc f    = ⋅        b c> > a c b> > c b a> > a b> > 2 1 8log 2 1 8log 2 1 8log ＜ 【详解】 解：根据题意，令 h（x）＝xf（x）， h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则 h（x）为奇函数； 当 x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'（x）＜0，则 h（x）在（﹣∞，0）上为减函 数， 又由函数 h（x）为奇函数，则 h（x）在（0，+∞）上为减函数， 所以 h（x）在 R 上为减函数， a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（ ）•f（ ） ＝h（ ）＝h（﹣3）， 因为 0＜ln2＜1＜20.6， 则有 ； 故选：C． 【点睛】 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数 h（x）＝xf（x），并分析 h （x）的奇偶性与单调性． 12．已知半径为 2 的扇形 AOB 中， ，C 是 OB 的中点，P 为弧 AB 上任 意一点，且 ，则 的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等和线性质,利用平行线的方法,求半径 2 与 到 的距离 的比值即可. 【详解】 由题有 面积 ,又由余弦定理 .故 . 故 到 的距离 满足 . 故 的最大值为 2 1 8log 2 1 8log 2 1 8log 2 1 8log ＜ c b a> > 120AOB∠ =  OP OA OCλ µ= +   λ µ+ 21 3 2 21 3 4 21 3 O AC d AOC△ 1 32 1 sin1202 2AOCS = × × × ° =  2 2 2 2 cos120 1 4 2 7AC OC OA OC OA= + − ⋅ ° = + + = 7AC = O AC d 1 3 3 2 2 7AOCS AC d d= × ⋅ = ⇒ =  λ µ+ 2 7 2 212 33d = × = 故选：C 【点睛】 本题主要考查与 有关的等和线问题,求出 所在的位置对应的 的值即可.属 于中等题型. 二、填空题 13．已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小 值______． 【答案】 【解析】由 ，可得： ，再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得 出． 【详解】 ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， 当且仅当 时取等号， ∴ 的最小值是 ． λ µ+ P λ µ+ ( ,1)a m= (4 ,2)b n= − 0m > 0n > a b   1 8 m n + 9 2 a b   2 4n m+ = a b   4 2 0n m− − = 2 4n m+ = 0m > 0n > 1 8 1 1 8( 2 )4 n mm n m n  + = + +   1 16104 n m m n  = + +   1 16 9(10 2 )4 2 n m m n ≥ + × = 84 3n m= = 1 8 m n + 9 2 故答案为 ． 【点睛】 本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 14．若数列 的首项 ，且 ；令 ，则 _____________． 【答案】 【解析】试题分析：由 可知 ， 所 以 数 列 是 以 为 首 项 ， 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 所 以 ， 所 以 ， 因 此 【考点】等比数列的通项公式与等差数列求和． 【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题 解答的关键是根据递推式 构造数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.据此得到数列 的通项公式，根据对数运算得到 是通项公式， 可判断其为等差数列，由等差数列的前 项和公式求解. 15．在锐角 中， ， ， ，则 __________． 【答案】 【解析】 ,因为 , (舍)， ，由 , 9 2 { }na 1 2a = ( )* 1 3 2n na a n N+ = + ∈ ( )3log 1n nb a= + 1 2 3 100b b b b+ + + + = 5050 ( )* 1 3 2n na a n N+ = + ∈ ( ) 1 1 11 3 1 , 31 n n n n aa a a + + ++ = + ∴ =+ { }1na + 3 3 1 3 , 3 1n n n na a+ = ∴ = − ( )3log 1n nb a n= + = ( ) 1 2 3 100 100 1 100 5050.2b b b b ++ + + + = = ( )* 1 3 2n na a n N+ = + ∈ { }1na + 3 3 { }na { }nb n ABC∆ 6B π> 3sin 6 5A π + =   4cos 6 5B π − =   ( )sin A B+ = 24 25 3 4sin , cos6 5 6 5A A π π   + = ∴ + = ±       4 1cos cos1206 5 2A π + = − < − =    2 6 3 2A A π π π∴ + > ⇒ > 4cos 6 5A π ∴ + =   4 3cos sin6 5 6 5B B π π   − = ⇒ − =       . 16．在三棱锥 中，面 面 ， ， ， 则三棱锥 的外接球的表面积是____ 【答案】 【解析】【详解】 解：如图，设 AC 中点为 M，VA 中点为 N， ∵面 VAC⊥面 ABC，BA⊥BC，∴过 M 作面 ABC 的垂线， 球心 O 必在该垂线上，连接 ON，则 ON⊥AV． 在 Rt△OMA 中，AM＝1，∠OAM＝60°， ∴OA＝2，即三棱锥 V﹣ABC 的外接球的半径为 2， ∴三棱锥 V﹣ABC 的外接球的表面积 S＝4πR2＝16π． 故答案为 16π． 三、解答题 17．已知数列 的前 n 项和 ，其中 ． （1）证明 是等比数列，并求其通项公式； （2）若 ，求 ． 【答案】（1）证明详见解析； ；（2） . 【解析】(1)利用 与 的关系求得 ,再证明与求解首项和公比即可. (2)根据 ,代入(1)中所求的 通项公式求解即可. 【详解】 ( )sin sin[( ) ( )] sin( )cos( ) cos( )sin( )6 6 6 6 6 6A B A B A B A B π π π π π π∴ + = + + − = + − + + − 3 4 4 3 24 5 5 5 5 25 = × + × = V ABC− VAC ⊥ ABC 2VA AC= = 120VAC∠ = ° BA BC⊥ V ABC− 16π { }na 1n nS aλ= + 0λ ≠ { }na 5 33 32S = λ 11 1 1 n na λ λ λ − = ⋅ − −  1 3 λ = na nS ( ) 11 n na aλ λ −− = 1n nS aλ= + na 解：（1）∵ , ,∴ ． 当 时, , 两式相减,得 ,即 , ∵ , ．∴ ．即 ,即 ,（ ）, ∴ 是等比数列,公比 , 当 时, ,即 , ∴ ； （2）若 ,则 ,即 , 则 ,得 【点睛】 本题主要考查了利用数列 与 的关系证明等比数列的方法,同时也考查了数列求和 的有关问题,属于中等题型. 18．为推进“千村百镇计划”， 年 月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活 动，首批投放 台 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试 用到期后，为了解男女试用者对 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用 者填写一份性能综合评分表（满分为 分）．最后该公司共收回 份评分表，现从 中随机抽取 份（其中男、女的评分表各 份）作为样本，经统计得到如下茎叶图： （1）求 个样本数据的中位数 ； （2）已知 个样本数据的平均数 ，记 与 的最大值为 ．该公司规定样本 中试用者的“认定类型”：评分不小于 的为“满意型”，评分小于 的为“需改进 型”． ①请根据 个样本数据，完成下面 列联表： 1n nS aλ= + 0λ ≠ 0na ≠ 2n ≥ 1 11n nS aλ− −= + 1 11 1n n n n na a a a aλ λ λ λ− −= + − − = − ( ) 11 n na aλ λ −− = 0λ ≠ 0na ≠ 1 0λ − ≠ 1λ ≠ 1 1 n n a a λ λ− = − 2n ≥ { }na 1q λ λ= − 1n = 1 1 11S a aλ= + = 1 1 1a λ= − 11 1 1 n na λ λ λ − = ⋅ − −  5 33 32S = 4 5 1 331 1 1 32S λλ λ λ   = + ⋅ =  − −    5 33 111 32 32 λ λ   = − = −  1 1 2 λ λ =− 1 3 λ = na nS 2018 4 200 P P 100 600 40 20 40 m 40 80a = m a M M M 40 2 2× 根据 列联表判断能否有 的把握认为“认定类型”与性别有关？ ②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法， 从中抽取 8 人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 3 人进行二 次试用，记这 3 人中男性人数为 ，求 的分布列及数学期望. 【答案】（1）81；（2）①有 的把握认为“认定类型”与性别有关，②见解析 【解析】（1） 个数字，中位数为从小到大排序的第 和第 数的平均数，可求得 结果；（2）①将数据代入公式可求得 ，可知 ，对比概率表格可知有 的把握认为二者相关；②通过分层抽样确定男性和女性的人数，得到 所有可能的取 值，根据超几何分布得到分布列，从而根据数学期望的公式求得结果. 【详解】 （1）由茎叶图可知： （2）因为 ， ，所以 ①由茎叶图值，女性试用者评分不小于 的有 个，男性试用者评分不小于 的有 个，根据题意得 列联表： 满意型 需改进型 合计 女性 男性 合计 2 2× 99% X X 99% 40 20 21 2K 2 6.635K > 99% X 80 82 812m += = 81m = 80a = 81M = 81 15 81 5 2 2× 15 5 20 5 15 20 20 20 40 由于 查表得： 所以有 的把握认为“认定类型”与性别有关 ②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性 名，男 性 名 的所有可能取值为 ， ， 则 ， ， 所以 的分布列如下： 所以 的数学期望为： 【点睛】 本题考查茎叶图、独立性检验、超几何分布、随机变量的数学期望的求解，关键在于能 够确定随机变量符合超几何分布，然后通过公式求得对应概率. 19．如图，正方体 的棱长为 2，P 是 BC 的中点，点 Q 是棱 上 的动点． （1）点 Q 在何位置时，直线 ，DC，AP 交于一点，并说明理由； （2）求三棱锥 的体积； ( )2 40 15 15 5 5 10 6.63520 20 20 20K × × − ×= = >× × × ( )2 6.635 0.010P K ≥ ≈ 99% 2 6 X 1 2 3 ( ) 2 1 2 6 3 8 6 31 56 28 C CP X C = = = = ( ) 1 2 2 6 3 8 30 152 56 28 C CP X C = = = = ( ) 0 3 2 6 3 8 20 53 56 14 C CP X C = = = = X X 1 2 3 P 3 28 15 28 5 14 X ( ) 3 15 5 91 2 328 28 14 4E X = × + × + × = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1CC 1D Q 1B DBQ− （3）棱 上是否存在动点 Q，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存 在指出点 Q 在棱 上的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当 Q 是 中点时，直线 ，DC，AP 交于一点，理由详见解析； （2） ；（3）存在点 Q，且点 Q 为 的中点. 【解析】(1)画出辅助线延长 AP 交 DC 于 M,连结 交 于点 Q,利用相似三角形 证明即可. (2)换顶点求解三棱锥 的体积即可. (3)以 D 为原点建立合适的空间直角坐标系,设 ,再利用线面夹角的向量解法 求出 即可. 【详解】 解：（1）当 Q 是 中点时,直线 ,DC,AP 交于一点． 理由如下：延长 AP 交 DC 于 M,连结 交 于点 Q, ∵ ,∴ , ∴ ． ∵ , ∴ ,∴ ． ∴Q 是 中点． （2）V 棱锥 棱锥 ． （3）以 D 为原点,DA,DC, 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 1CC 1DB 1AQD 5 3 9 1CC 1C C 1D Q 4 3 1CC 1D M 1C C 1D BB Q− ( )0,2,Q λ λ 1C C 1D Q 1D M 1C C CP AD MCP MDA∆ ∆∽ 1 2 MC CP MD AD = = 1CQ D D 1MCQ MDD∆ ∆∽ 1 1 2 CQ MC DD MD = = 1C C 1B DBQ V− = 11 1 1 1 4= 8 =3 3 2 3BB QD BB Q S CD∆− = ⋅ ⋅ ⋅ 1DD 则 , , , , , , 设面 的法向量为 ,则 取 , , 即 设 与面 所成角为 则 化简得 解得 或 （舍去） 所以存在点 Q,且点 Q 为 的中点 【点睛】 本题主要考查了空间中线与线相交的问题,同时也考查了利用建系解决空间中线面角的 问题,属于中等题型. 20．如图，中心为坐标原点 O 的两圆半径分别为 ， ，射线 OT 与两圆分别 交于 A、B 两点，分别过 A、B 作垂直于 x 轴、y 轴的直线 、 ， 交 于点 P． （1）当射线 OT 绕点 O 旋转时，求 P 点的轨迹 E 的方程； （2）直线 l： 与曲线 E 交于 M、N 两点，两圆上共有 6 个点到直线 l 的距 离为 时，求 的取值范围． ( )0,0,0D ( )2,0,0A ( )1 2,2,2B ( )0,2,Q λ ( )1 0,0,2D ( )1 2,0,2AD = − ( )2,2,AQ λ= − ( )1 2,2,2DB = 1AQD ( ), ,n x y z= 1 2 2 00 2 2 00 x zn AD x y zn AQ λ  − + =⋅ = ⇒ − + + =⋅ =    2x = 2z = 2y λ= − ( )2,2 ,2n λ= − 1DB 1AQD θ ( ) 1 1 2 1 12 2 5 3sin cos , 912 8 2 n DBn DB n DB λθ λ ⋅ −= = = = + −      22 3 0λ λ+ − = 1λ = 3 2 λ = − 1CC 1 1r = 2 2r = 1l 2l 1l 2l 3y kx= + 1 2 MN 【答案】（1） ；（2） . 【解析】(1) 设 ,OT 与 x 轴正方向夹角为 ,写出 轨迹的参数方程,再化 简成直角坐标方程即可. (2)根据两圆上共有 6 个点到直线 l 的距离为 ,利用圆的位置关系转换为原点 O 至直线 l 的距离 ,进而求得 的取值范围,再联立直线与椭圆表达出 ,利用 的 取值范围求解 的取值范围即可. 【详解】 设 ,OT 与 x 轴正方向夹角为 ,则 即 化简得 ,即 P 点的轨迹 E 的方程为 （2）当两圆上有 6 个点到直线 1 的距离为 时,原点 O 至直线 l 的距离 , 即 ,解得 联立方程 得 设 , ,则 , 则 【点睛】 本题主要考查了轨迹问题的求法以及椭圆中的弦长范围问题,需要根据题意建立不等式 2 2 14 yx + = 16 16,13 5MN  ∈   ( ),P x y θ ( ),P x y 1 2 1 3,2 2d  ∈   k MN k MN ( ),P x y θ cos sin x OA y OB θ θ  = = cos 2sin x y θ θ =  = 2 2 14 yx + = 2 2 14 yx + = 1 2 1 3,2 2d  ∈   2 1 3 3 2 21 k < < + 2 1 ,113k  ∈   2 2 3 14 y kx yx  = + + = ( )2 24 2 3 1 0k x kx+ + − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 2 3 4 kx x k + = − + 1 2 2 1 4x x k = − + ( ) ( ) 2 22 2 1 2 1 2 2 22 12 41 4 1 44 kMN k x x x x k kk = + + − = + + ++ ( )2 2 2 4 1 34 14 4 k k k +  = = − + +  16 16,13 5MN  ∈   求斜率的范围,再联立方程求弦长 的表达式,再代入斜率的范围求解即可.属于中等 题型. 21．已知函数 . （Ⅰ）若 时， ，求 的最小值； （Ⅱ）设数列 的通项 ，证明： . 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）由已知 ， ， . 若 ，则当 时， ，所以 . 若 ，则当 时， ，所以当 时， . 综上， 的最小值是 . （Ⅱ）证明：令 .由（Ⅰ）知，当 时， ， 即 . 取 ，则 . 于是 . 所以 . （1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的 的范围，确定其最小值； （2）借助第一问的结论，得到不等式 进而构造 达到证 明不等式的目的. 【考点定位】本题考查导数的应用与不等式的证明，考查学生的分类讨论思想和利用构 造法证明不等式的解题能力. 22．已知曲线 C 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面 MN 1ρ = 直角坐标系，曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 E，直线 l： （t 为参 数）与曲线 E 交于 A，B 两点， （1）设曲线 C 上任一点为 ，求 的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长； 【答案】（1）-2；（2） . 【解析】(1)求出曲线 C 的参数方程,再代入 ,利用辅助角公式求最值即可. (2)利用伸缩变换求曲线 E 的直角坐标方程,再利用直线参数方程中 的几何意义,联立直 线与椭圆的方程利用韦达定理求解即可. 【详解】 解：（1）根据 ,进行化简得 C： , ∴曲线 C 的参数方程 （ 为参数）, ∴ , 则 的最小值为 ； （2）∵ ,∴ 代入 C 得∴E： , 将直线 l 的参数方程 （t 为参数）, 代入曲线 E 方程得： , ∴ , ． 【点睛】 本题主要考查了参数方程的运用以及直线参数方程中 的几何意义等,属于中等题型. 2x x y y  = = ′ ′ 1 2 3 2 tx y t  = +  = ( ),M x y 3x y+ 8 2 7 2 3x y+ t 2 2 2x yρ = + 2 2 1x y+ = cos sin x y θ θ =  = θ 3 cos 3sin 2sin 6x y πθ θ θ + = + = +   2 3x y+ 2− 2x x y y  = = ′ ′ 2 xx y y ′ ′  =  = 2 2 12 x y+ = 1 2 3 2 tx y t  = +  = 27 4 4 0t t+ − = 1 2 1 2 4 7 4 7 t t t t  + = −  = − ( )2 1 2 1 2 1 2 8 24 7AB t t t t t t= − = + − = t 23．（题文）已知函数 ，且 的解集为 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ， ， 都是正实数，且 ，求证： . 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析 【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式 证明或者采用柯西不等式证明. 试题解析： （I）依题意 ,即 , ∴ （II）方法 1:∵ ∴ 当且仅当 ,即 时取等号 方法 2: ∵ ∴由柯西不等式得 整理得 当且仅当 ,即 时取等号.