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  • 2021-06-24 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理5-1平面向量的概念及线性运算学案

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知识点 考纲下载 平面向量的实际 背景及基本概念 ‎ 了解向量的实际背景.‎ ‎ 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.‎ ‎ 理解向量的几何表示.‎ 向量的线性运算 ‎ 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.‎ ‎ 掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.‎ ‎ 了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 平面向量的基本 定理及坐标表示 ‎ 了解平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎ 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.‎ ‎ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 平面向量的数量 积及向量的应用 ‎ 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎ 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎ 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎ 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 第1讲 平面向量的概念及线性运算 ‎1.向量的有关概念 ‎(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.‎ ‎(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.‎ ‎(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.‎ ‎(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.‎ ‎(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.‎ ‎(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.‎ ‎2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律:a+b=b+a;‎ 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)‎ 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算 a-b=a+(-b) ‎ 续 表 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λ a|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与 a的方向相反;当λ=0时,λ a=0‎ λ(μ a)=(λμ)a;‎ ‎(λ+μ)a=λa+μ__a;‎ λ(a+b)=λa+λb ‎3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.‎ ‎[说明] 三点共线的等价关系 A,P,B三点共线⇔=λ(λ≠0)⇔=(1-t)·+t(O为平面内异于A,P,B的任一点,t∈R)⇔=x+y(O为平面内异于A,P,B的任一点,x∈R,y∈R,x+y=1).‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.(  )‎ ‎(2)++=.(  )‎ ‎(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.(  )‎ ‎(4)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(  )‎ ‎(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.(  )‎ ‎(6)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√‎ ‎ 给出下列命题:‎ ‎①零向量的长度为零,方向是任意的;‎ ‎②若a,b都是单位向量,则a=b;‎ ‎③向量与相等.‎ 则所有正确命题的序号是(  )‎ A.① B.③‎ C.①③ D.①②‎ 解析:选A.根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.‎ ‎ (教材习题改编)如图,▱ABCD的对角线交于M,若=a,=b,用a,b表示为(  )‎ A. a+b        B. a-b C.-a-b D.-a+b 解析:选D.==(b-a)=-a+b,故选D.‎ ‎ 已知平面内四点A,B,C,D,若=2,=+λ,则λ的值为________.‎ 解析:依题意知点A,B,D三点共线,于是有+λ=1,λ=.‎ 答案: ‎      平面向量的有关概念 ‎ [典例引领]‎ ‎ 给出下列命题:‎ ‎①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;‎ ‎②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;‎ ‎③若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则ABCD为平行四边形;‎ ‎④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;‎ 其中真命题的序号是________.‎ ‎【解析】 ①是错误的,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点.‎ ‎②是错误的,|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等或相反.‎ ‎③是正确的,因为=,所以||=||且∥;又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形.‎ ‎④是错误的,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.‎ ‎【答案】 ③‎ 平面向量有关概念的四个关注点 ‎(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.‎ ‎(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.‎ ‎(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混淆.‎ ‎(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.  ‎ ‎ 给出下列命题:‎ ‎①两个具有公共终点的向量一定是共线向量;‎ ‎②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;‎ ‎③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;‎ ‎④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.‎ 其中正确命题的个数为(  )‎ A.1         B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选A.①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,无论λ为何值,λa=0.④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.‎ ‎      平面向量的线性运算(高频考点) ‎ 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算,是高考考查向量的热点.常以选择题、填空题的形式出现.高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度:‎ ‎(1)用已知向量表示未知向量;‎ ‎(2)求参数的值.‎ ‎[典例引领]‎ 角度一 用已知向量表示未知向量 ‎ 如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个靠近B点的三等分点,那么等于(  )‎ A.- B.+ C.+ D.- ‎【解析】 在△CEF中,有=+.‎ 因为点E为DC的中点,所以=.‎ 因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点,‎ 所以=.‎ 所以=+=+ ‎=-,故选D.‎ ‎【答案】 D 角度二 求参数的值 ‎ 如图,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.‎ ‎【解析】 因为AB=2,∠ABC=60°,AH⊥BC,所以BH=1.‎ 因为点M为AH的中点,‎ 所以==(+)‎ ‎= ‎=+,‎ 又=λ+μ,‎ 所以λ=,μ=,‎ 所以λ+μ=.‎ ‎【答案】  向量线性运算的解题策略 ‎(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.‎ ‎(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.化简-+-得(  )‎ A. B. C. D.0‎ 解析:选D.因为-+-=+++=0.‎ ‎2.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则=(  )‎ A.2- B.-+2 C .- D.-+ 解析:选A.因为2+=0,所以A为BC的中点,所以2=+,所以=2-.‎ ‎3.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为________.‎ 解析:因为D为边BC的中点,所以+=2,‎ 又++=0,‎ 所以=+=2,‎ 所以=-2,‎ 与=λ比较,得λ=-2.‎ 答案:-2‎ ‎      平面向量共线定理的应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ 设两个非零向量a与b不共线.‎ ‎(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.‎ ‎【解】 (1)证明:因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),‎ 所以=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,‎ 所以,共线,又它们有公共点B,‎ 所以A,B,D三点共线.‎ ‎(2)因为ka+b与a+kb共线,‎ 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),‎ 即(k-λ)a=(λk-1)b.‎ 又a,b是两个不共线的非零向量,‎ 所以k-λ=λk-1=0.所以k2-1=0.‎ 所以k=±1.‎ ‎ 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?‎ 解:因为ka+b与a+kb反向共线,‎ 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),‎ 所以所以k=±1.‎ 又λ<0,k=λ,所以k=-1.‎ 故当k=-1时,两向量反向共线.‎ ‎  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线的充要条件是(  )‎ A.λ=0 B.λ=-1‎ C.λ=-2 D.λ=- 解析:选D.因为a=2e1-e2,b=e1+λe2,e1,e2不共线,‎ 因为a,b共线⇔b=a⇔b=e1-e2⇔λ=-.‎ ‎2.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R,则+的值为________.‎ 解析:设=a,=b,则=(a+b),=-=nb-ma,=-=(a+b)-ma=a+b.‎ 由P,G,Q共线得,存在实数λ使得=λ,‎ 即nb-ma=λa+λb,‎ 从而 消去λ,得+=3.‎ 答案:3‎ ‎ 求解向量共线问题的五个策略 ‎(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用.‎ ‎(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.‎ ‎(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.‎ ‎(4)直线的向量式参数方程:A,P,B三点共线⇔=(1-t)·+t(O为平面内任一点,t∈R).‎ ‎(5)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)作两个向量的差时,首先将两向量的起点平移到同一点,要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点.‎ ‎(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.                                      ‎ ‎1.下列各式中不能化简为的是(  )‎ A. +(+)‎ B.(+)+(-)‎ C. -+ D. +- 解析:选D.+(+)=++=+=;‎ ‎(+)+(-)=(+)+(-)=+=;‎ -+=+=;‎ +-=-,‎ 显然由-得不出,‎ 所以不能化简为的式子是D.‎ ‎2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是(  )‎ A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a|‎ D.|-λa|≥|λ|a 解析:选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反;B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.‎ ‎3.(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D是△ABC所在平面内一点,=2,则(  )‎ A.=-     B.=- C.=- D.=- 解析:选A.=+=-=--=-,选A.‎ ‎4.(2018·山东临沂模拟)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为(  )‎ A.λ+μ=2 B.λ-μ=1‎ C.λμ=-1 D.λμ=1‎ 解析:选D.因为A,B,C三点共线,所以∥.设=m(m≠0),所以所以λμ=1,故选D.‎ ‎5.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,但a+b与c共线,且b+c与a共线,则向量a+b+c=(  )‎ A.a B.b C.c D.0‎ 解析:选D.依题意,设a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na.又a与c不共线,于是有m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0.‎ ‎6.若||=8,||=5,则||的取值范围是________.‎ 解析:=-,当,同向时,||=8-5=3;当,反向时,||=8+5=13;当,不共线时,3<||<13.综上可知3≤||≤13.‎ 答案:[3,13]‎ ‎7.已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________(用a,b表示).‎ 解析:如图,==-=b-a,=-=--=‎ ‎-a-b.‎ 答案:b-a -a-b ‎8.(2018·豫西五校联考)若M是△ABC的边BC上的一点,且=3,设=λ+μ,则λ的值为________.‎ 解析:由题设知=3,过M作MN∥AC交AB于N,则===,从而=,又=λ+μ=+=+,所以λ=.‎ 答案: ‎9.在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.‎ 解:=(+)=a+b.‎ =+=+=+(+)=+(-)=+=a+b.‎ ‎10.设a,b是不共线的两个非零向量.‎ ‎(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线;‎ ‎(2)若=a+b,=2a-3b,=2a-kb,且A,C,D三点共线,求k的值.‎ 解:(1)证明:由已知得,‎ =-=3a+b-2a+b=a+2b,=-=a-3b-3a-b=-2a-4b,‎ 故=-2,‎ 又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.‎ ‎(2)=+=3a-2b,=2a-kb.‎ 因为A、C、D三点共线,所以=λ,即3a-2b=2λa-kλb,‎ 所以所以 综上,k的值为.‎ ‎1.(2018·广州市综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点,且=2,则△PAB与△PBC的面积的比值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.因为=2,所以=,又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等,所以==.‎ ‎2.(2018·福建省普通高中质量检查)已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.由题意,知P,B,C三点共线,则存在实数λ使=λ,所以-=λ(-),所以=-λ+(λ+1),则,所以x+y=1且≤x≤,于是xy=x(1-x)=-‎ +,所以当x=时,xy取得最大值;当x=或x=时,xy取得最小值,所以xy的取值范围为,故选D.‎ ‎3.给出下列四个命题:‎ ‎①若a+b与a-b是共线向量,则a与b也是共线向量;‎ ‎②若|a|-|b|=|a-b|,则a与b是共线向量;‎ ‎③若|a-b|=|a|+|b|,则a与b是共线向量;‎ ‎④若||a|-|b||=|a|+|b|,则b与任何向量都共线.‎ 其中为真命题的有________(填上序号).‎ 解析:由向量的平行四边形法则知道,若a+b与a-b是共线向量,则必有a与b也是共线向量.所以①是真命题;若|a|-|b|=|a-b|,则a与b同向,或b是零向量或a,b均为零向量,所以a与b是共线向量,所以②是真命题;若|a-b|=|a|+|b|,则a与b方向相反,或a,b中至少有一个零向量,所以a与b是共线向量,所以③是真命题;当a是零向量,b是非零向量时,||a|-|b||=|a|+|b|成立,而b不能与任何向量都共线,所以④是假命题.‎ 答案:①②③‎ ‎4.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.‎ 解析:由题意可求得AD=1,CD=,‎ 所以=2.‎ 因为点E在线段CD上,‎ 所以=λ(0≤λ≤1).‎ 因为=+,‎ 又=+μ=+2μ=+,‎ 所以=1,即μ=.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.‎ 答案: ‎5.如图,EF是等腰梯形ABCD的中位线,M,N是EF上的两个三等分点,若=a,=b,=2.‎ ‎(1)用a,b表示;‎ ‎(2)证明A,M,C三点共线.‎ 解:(1)=++=a+b+=a+b,‎ 又E为AD中点,‎ 所以==a+b,‎ 因为EF是梯形的中位线,且=2,‎ 所以=(+)==a,‎ 又M,N是EF的三等分点,所以==a,‎ 所以=+=a+b+a ‎=a+b.‎ ‎(2)证明:由(1)知==a,‎ 所以=+=a+b=,‎ 又与有公共点M,所以A,M,C三点共线.‎ ‎6.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).求证:A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1.‎ 证明:充分性:若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),‎ 所以-=m(-),‎ 即=m,‎ 所以与共线.‎ 又因为与有公共点B,则A,P,B三点共线.‎ 必要性:若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使=λ,‎ 所以-=λ(-).‎ 又=m+n.‎ 故有m+(n-1)=λ-λ,‎ 即(m-λ)+(n+λ-1)=0.‎ 因为O,A,B不共线,所以,不共线,‎ 所以所以m+n=1.‎ 所以A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1.‎