2020年高中数学第二章平面向量章末检测新人教A版必修4 8页

第二章 平面向量 章末检测　‎ 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量是0‎ C．长度相等的向量叫作相等向量 D．共线向量是在一条直线上的向量 解析：对A，方向相同或相反的非零向量是平行向量，错误；对B，零向量是0，正确；对C，方向相同且长度相等的向量叫作相等向量，错误；对D，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.‎ 答案：B ‎2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)‎ A．一条线段　　　　　　 B．一条直线 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆 解析：由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线．‎ 答案：B ‎3．已知A、B、D三点共线，存在点C，满足＝＋λ，则λ＝(　　)‎ A . 　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，∴，即λ＝－.‎ 答案：C ‎4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，( a＋λb)∥c则λ＝(　　)‎ A. B. C． 1 D．2‎ 8‎ 解析：可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.‎ 答案：B ‎5．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的(　　)‎ A．重心　外心 B．重心　内心 C．外心　重心 D．外心　内心 解析：由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＝＋，取BC边的中的点D，则＝＋＝2，知A、N、D三点共线，且AN＝2ND，故点N是△ABC的重心．‎ 答案：C ‎6．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈(，π)，b＝(0，－1)，则a与b的夹角等于(　　)‎ A．θ－ B.＋θ C.－θ D．θ 解析：设a与b的夹角为α，a·b＝cos θ×0＋sin θ×(－1)＝－sin θ，|a|＝1，|b|＝1，∴cos α＝＝－sin θ＝cos ，∵θ∈，α∈[，π]，‎ ‎∴y＝cos x在[0，π]上单调递减，∴α＝－θ，故选C.‎ 答案：C ‎7．等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于(　　)‎ A．3 B．－3‎ C. D．－ 解析：由平面向量的数量积的定义知，‎ a·b＋b·c＋c·a＝|a|·|b|cos(π－C)＋‎ ‎|b|·|c|cos(π－A)＋|c|·|a|cos(π－B)‎ ‎＝cos(π－C)＋cos(π－A)＋cos(π－B)‎ ‎＝－cos C－cos A－cos B＝－3cos 60°＝－.‎ 故应选D.‎ 8‎ 答案：D ‎8．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|‎2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π 解析：∵|‎2a＋b|2＝4|a|2＋‎4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，∴4＋‎4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan ∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.‎ 答案：B ‎9．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为(　　)‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．形状无法确定 解析：∵(＋)·(－)＝0，∴－＝0，＝，∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形．‎ 答案：C ‎10．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：依题意，不妨设＝，＝2，则有－＝(－)，‎ 即＝＋；－＝2(－)，‎ 即＝＋.‎ 所以·＝·＝(2＋)·(＋2)‎ ‎＝(22＋22＋5·)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，选A.‎ 答案：A ‎11．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a 8‎ ‎|＝1，则向量a与c的夹角为(　　)‎ A．60° B．30°‎ C．120° D．150°‎ 解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，‎ ‎∴|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋‎2a·b＝2＋2cos 60°＝3，∴|c|＝.‎ 又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝－，‎ 设向量c与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.‎ 答案：D ‎12．在△ABC中，AC＝6，BC＝7，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中0≤x≤1,0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图，∵＝x＋y，其中0≤x≤1,0≤y≤1，‎ ‎∴动点P的轨迹所覆盖的区域是以OA，OB为邻边的平行 四边形OAMP，则动点P的轨迹所覆盖的面积S＝AB×r，‎ r为△ABC的内切圆的半径．‎ 在△ABC中，由向量的减法法则得＝－，∴＝(－)2，‎ 即||2＝||2＋||2－2||||cos A，‎ 由已知得72＝62＋||2－2×6·||×，‎ ‎∴5||2－12||－65＝0，∴||＝5.‎ ‎∴S△ABC＝×6×5×sin A＝6，又O为△ABC的内心，故O到△ABC各边的距离均为r，‎ 此时△ABC的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，‎ ‎∴S△ABC＝(6＋5＋7)×r，即(6＋5＋7)×r＝6，‎ ‎∴r＝，所求的面积S＝AB×r＝5×＝.‎ 答案：A 8‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为________．‎ 解析：ma＋4b＝(‎2m－4,‎3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋4b与a－2b共线，∴－1(‎2m－4)＝4(‎3m＋8)，解得m＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎14.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，‎ 设＝a，＝b，若＝2，则＝________‎ ‎(用向量a和b表示)．‎ 解析：∵＝μ＝μ(＋)＝μ＝μa＋b ‎∵μ＋＝1，解得μ＝.∴＝a＋b.‎ 答案：a＋b ‎15．已知两点A(－1,0)，B(－1，)．O为坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC＝120°，设＝－3＋λ(λ∈R)，则λ＝________.‎ 解析：由题意，得＝－3(－1,0)＋λ(－1，)＝(3－λ，λ)，∵∠AOC＝120°，∴＝－， 即＝，解得λ＝.‎ 答案： ‎16. 若将向量a＝(1,2)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标是________．‎ 解析：如图，设b＝(x，y)，则|b|＝|a|＝，‎ a·b＝|a||b|·cos ＝××＝，‎ 即x2＋y2＝5，又a·b＝x＋2y，得x＋2y＝，‎ 解得x＝－，y＝(舍去x＝，y＝)．‎ 故b＝.‎ 答案： 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 8‎ ‎17.(12分)如图所示，D，E分别是△ABC中边AB，‎ AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，‎ 已知＝a，＝b，试用a，b分别表示 ，，.‎ 解析：由三角形中位线定理，知DE綊BC，‎ 故＝，即＝a.‎ ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.‎ ＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.‎ ‎18．(12分)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.‎ 证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．‎ 因为＝，所以(x1＋1，y1)＝(2,2)，‎ 所以点E的坐标为，‎ 同理点F的坐标为，所以＝，‎ 又因为×(－1)－4×＝0，所以∥.‎ ‎19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．‎ ‎(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；‎ ‎(2)若|b|＝，且a＋2b与‎2a－b垂直，求a与b的夹角θ.‎ 解析：(1)由a＝(1,2)，得|a|＝＝，‎ 又|c|＝2，所以|c|＝2|a|.‎ 又因为c∥a，所以c＝±‎2a，所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．‎ ‎(2)因为a＋2b与‎2a－b垂直，所以(a＋2b)·(‎2a－b)＝0，‎ 即2|a|2＋‎3a·b－2|b|2＝0，将|a|＝，|b|＝代入，得a·b＝－.‎ 8‎ 所以cos θ＝＝－1.又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a与b的夹角为π.‎ ‎20．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.‎ 求证：△P1P2P3是正三角形．‎ 证明：∵＋＋＝0，∴＋＝－，‎ ‎∴ (＋)2＝(－)2，∴||2＋||2＋2·＝||2.‎ ‎∴·＝－，cos ∠P1OP2＝＝－，∴∠P1OP2＝120°.‎ ‎∴||＝|－|＝ ＝ ＝.‎ 同理可得||＝||＝.‎ 故△P1P2P3是正三角形．‎ ‎21．(13分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.‎ ‎(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．‎ 解析：(1)证明：由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，‎ 整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.‎ ‎(2)由已知条件 又0<β<α<π，由①，有cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α，‎ 代入②，得sin α＋sin(π－α)＝1，‎ 所以sin α＝，得α＝，或α＝.‎ 当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.‎ 综上，α＝，β＝为所求．‎ ‎22.(13分)(1)如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，‎ 若＝a，＝b，试用a，b表示，并判断 ＋与＋的关系；‎ ‎(2)受(1)的启示，如果点A1，A2，A3，…，An－1是 AB的n(n≥3)等分点，你能得到什么结论？‎ 请证明你的结论．‎ 8‎ 解析：(1)＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ 同理＝a＋b.‎ ＋＝a＋b＝＋.‎ ‎(2)结论：＋OAn－1＝＋OAn－2＝…＝＋.‎ 证明如下：‎ 由(1)可推出＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，‎ ‎∴＝a＋b，‎ 同理OAn－1＝a＋b，‎ ＝a＋b，OAn－2＝a＋b，‎ ‎……‎ 因此有＋OAn－1＝＋OAn－2＝…＝＋.‎ 8‎