2012年高考数学真题分类汇编F　平面向量 （文科） 8页

F　平面向量 F1　平面向量的概念及其线性运算 ‎4．H1、F1[2012·上海卷] 若d＝(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．‎ ‎4．arctan　[解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率．‎ 由已知可得直线的斜率k＝，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan.‎ ‎20．H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．‎ ‎(1)求椭圆C2的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．‎ ‎20．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)，‎ 其离心率为，故＝，则a＝4，‎ 故椭圆C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，‎ 由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，‎ 因此可设直线AB的方程为y＝kx.‎ 将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，‎ 将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，‎ 又由＝2得x＝4x，即＝，‎ 解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.‎ 解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，‎ 由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，‎ 因此可设直线AB的方程为y＝kx.‎ 将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，‎ 由＝2得x＝，y＝，‎ 将x，y代入＋＝1中，得＝1，‎ 即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，‎ 故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.‎ F2　平面向量基本定理及向量坐标运算 ‎13．F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则 ‎(1)与‎2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；‎ ‎(2)向量b－‎3a与向量a夹角的余弦值为________．‎ ‎13．[答案] (1)　(2)－　‎ ‎[解析] (1)由题意，‎2a＋b＝(3,1)，所以与‎2a＋b同向的单位向量的坐标为，即.‎ ‎(2)因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以b－‎3a＝(－2,1)．设向量b－‎3a与向量a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.‎ ‎3．F2[2012·广东卷] 若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝(　　)‎ A．(4,6) B．(－4，－6)‎ C．(－2，－2) D．(2,2)‎ ‎3．A　[解析] 因为＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．所以选择A.‎ ‎9．F2[2012·全国卷] △ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b ‎9．D　[解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量.‎ 易知a⊥b，|AB|＝，用等面积法求得|CD|＝，‎ ‎∵AD＝＝，AB＝，∴＝＝(a－b)，故选D.‎ ‎7．F2、C6[2012·陕西卷] 设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于(　　)‎ A. B. C．0 D．－1‎ ‎7．C　[解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ－1＝0.故选C.‎ ‎6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ ‎6．B　[解析] 因为a⊥b，所以a·b＝0，即x·1＋1·(－2)＝0，解得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝＝，选B.‎ F3　平面向量的数量积及应用 ‎12．F3[2012·上海卷] 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．‎ ‎12．[1,4]　[解析] 令＝n(0≤n≤1)，则＝(1－n)，在矩形ABCD中，＝＋n，‎ ＝＋(1－n)，所以·＝(＋n)·[＋(1－n)]‎ ‎＝(1－n)2＋n2＝4－3n，‎ 而函数f(n)＝4－3n在[0,1]上是单调递减的，其值域为[1,4]，‎ 所以·的取值范围是[1,4]．‎ ‎1．F3[2012·辽宁卷] 已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ ‎1．D　[解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．‎ 因为a·b＝(1，－1)·(2，x)＝1×2－1·x＝1⇒x＝1，所以答案选D.‎ ‎15．F3[2012·课标全国卷] 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|‎2a－b|＝，则|b|＝________.‎ ‎15．[答案] 3 ‎[解析] 因为|‎2a－b|＝，平方得‎4a2－‎4a·b＋b2＝10，得4－4×|b|×＋|b|2＝10，解得|b|＝3.‎ ‎12．F3[2012·江西卷] 设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.‎ ‎12.　[解析] 设c＝(1,2) ，则c⊥b，∴c∥m.∵| m |＝1，∴|m·c|＝|c|＝.‎ ‎21．H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图，设椭圆的中点为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎(1)求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．‎ ‎21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．‎ 因△AB1B2是直角三角形且|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，从而|OA|＝|OB2|，‎ 即b＝.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，‎ c2＝4b2，所以离心率e＝＝.‎ 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故 S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2，‎ 由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.‎ 因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知B1(－2,0)、B2(2,0)．由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为：x＝my－2.代入椭圆方程得 ‎(m2＋5)y2－4my－16＝0.(*)‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此 y1＋y2＝，y1·y2＝.‎ 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以 ·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2‎ ‎＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2‎ ‎＝(m2＋1)y1y2－‎4m(y1＋y2)＋16‎ ‎＝－＋16‎ ‎＝－，‎ 由PB2⊥QB2，知·＝0，即‎16m2‎－64＝0，解得m＝±2.‎ 当m＝2时，方程(*)化为：9y2－8y－16＝0，‎ 故y1＝，y2＝，|y1－y2|＝，‎ ‎△PB2Q的面积S＝|B1B2|·|y1－y2|＝.‎ 当m＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S＝.‎ 综上所述，△PB2Q的面积为.‎ ‎9．F3[2012·江苏卷] 如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．‎ 图1－3‎ ‎9.　[解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置．‎ 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则＝(，0)．‎ 设＝(x,2)，则由条件得x＝，得x＝1，‎ 从而F(1,2)，＝(，1)，＝(1－，2)，‎ 于是·＝.‎ ‎15．F3[2012·湖南卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.‎ 图1－5‎ ‎15．18　[解析] 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示．‎ ·＝·(＋2)‎ ‎＝2·＝2·＝2||·||＝18.‎ ‎[易错点] 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化＝，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了在向量上的射影等于||.‎ ‎13．F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则 ‎(1)与‎2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；‎ ‎(2)向量b－‎3a与向量a夹角的余弦值为________．‎ ‎13．[答案] (1)　(2)－　‎ ‎[解析] (1)由题意，‎2a＋b＝(3,1)，所以与‎2a＋b同向的单位向量的坐标为，即.‎ ‎(2)因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以b－‎3a＝(－2,1)．设向量b－‎3a与向量a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.‎ ‎10．F3[2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎10．D　[解析] 根据新定义得：‎ a∘b＝＝＝＝(n∈Z)，(1)‎ b∘a＝＝＝＝(m∈Z)，(2)‎ 以上两式相乘得：cos2θ＝(n，m∈Z)．‎ ‎∵θ∈，∴cos2θ∈，即 <，所以00时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当λ<0时，可有|a＋b|＝|a|－|b|，故D不正确．‎ 法二：特值验证排除，先取a＝(2,0)，b＝(－1,0)，满足|a＋b|＝|a|－|b|，但两向量不垂直，故A错；再取a＝(2,0)，b＝(1,0)，满足a＝λb，但不满足|a＋b|＝|a|－|b|，故D错；取a＝(2,0)，b＝(0，－1)，满足a⊥b，但不满足|a＋b|＝|a|－|b|，故B错，所以答案为C.‎ ‎[点评] 由|a＋b|＝|a|－|b|判断a，b方向相反，且有|a|≥|b|是一个重要的结论，由此可以对各选项加以正确分析与应用．‎ ‎15．C8、F3[2012·浙江卷] 在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.‎ ‎15．－16　[解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：‎ ·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝||2－||2＝9－5×5＝－16.‎ 法二：特例法：假设△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图，‎ AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝，cos∠BAC＝＝－，·＝||·||·cos∠BAC＝－16.‎ ‎6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ ‎6．B　[解析] 因为a⊥b，所以a·b＝0，即x·1＋1·(－2)＝0，解得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝＝，选B.‎ F4 单元综合 ‎7．F4[2012·四川卷] 设a、b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b C．a∥b D．a＝2b ‎7．D　[解析] 要使得＝，在a，b为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，‎ 结合四个选项，只有D满足这一条件．‎ ‎16．C9、F4[2012·山东卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．‎ 图1－5‎ ‎16．(2－sin2,1－cos2)　[解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．‎ 根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C‎2M⊥y轴于M, ∠PC2Q＝2，∠PC‎2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，‎ 点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.‎