山东省菏泽市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析 18页

‎2019-2020学年度第二学期期末考试 高二数学试题（B）‎ 本试卷共4页满分150分 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.‎ ‎3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 第1卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. （ ）‎ A. 10 B. 20 C. 30 D. 60‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排列数的计算公式计算出结果.‎ ‎【详解】依题意.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查排列数的计算，属于基础题.‎ ‎2. 若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ 先求出，再确定复平面内对应的点，最后确定所在象限即可.‎ ‎【详解】解：∵，∴，则在复平面内对应的点位于第一象限 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数对应的点所在象限，是基础题.‎ ‎3. 已知，（ ）‎ A. 1 B. m C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用组合数的公式进行计算，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查组合数的公式，属于基础题.‎ ‎4. 若，则（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算出函数值.‎ ‎【详解】依题意.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.‎ ‎5. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）‎ A. 7 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】C - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数.‎ 详解】解：根据题意分两步完成任务：‎ 第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；‎ 第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，‎ 根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题.‎ ‎6. 的展开式中的系数为（ ）‎ A. B. 160 C. D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.‎ ‎【详解】二项式的展开式的通项公式为，‎ 令，所以的展开式中的系数为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于基础题.‎ ‎7. 某导游团有外语导游10人，其中6人会说英语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说英语的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型概率计算公式计算出所求概率.‎ ‎【详解】外语导游10人，其中6人会说英语，人不会说英语.选出4人去完成一项任务，则有2人会说英语的概率为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.‎ ‎8. 一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出黑球和白球的数量，然后根据条件概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】设黑球有个（），则白球有个. 从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，没有白球的概率为.即，由于，故解得.所以黑球有个，白球有个.‎ 设事件｛第2次取得白球｝，事件｛第1次取得黑球｝，‎ ‎，‎ 所以已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为 ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查条件概率计算，属于基础题.‎ - 18 -‎ 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.‎ ‎9. 如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（ ）‎ A. X取每一个可能值的概率是正数 B. X取所有可能值的概率和为1‎ C. X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和 D. X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离散型随机变量的知识判断出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误.‎ 对于B选项，X取所有可能值的概率和为1，故B选项正确.‎ 对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.‎ 对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.‎ 故选：BC ‎【点睛】本小题主要考查离散型随机变量的有关知识的判断，属于基础题.‎ ‎10. 下列各式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常函数，三角函数和幂函数的导数运算，逐一排除即可．‎ ‎【详解】解：对于，，选项错误；‎ 对于，，选项错误；‎ - 18 -‎ 对于，，选项正确；‎ 对于，，选项正确；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算及基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题．‎ ‎11. 以下四个命题中，其中正确的是（ ）‎ A. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则.‎ B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0‎ C. 在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位；‎ D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相关系数的相关程度可判断B，利用回归直线方程的性质可判断其余选项 ‎【详解】对于选项A，，，代入回归直线方程为，即，则，正确；‎ 对于选项B，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，错误；‎ 对于选项C， 在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位，正确；‎ 对于选项D，对两边取对数得，设，则，与比较得，则，，即，正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查了回归直线方程性质，相关系数的相关性.‎ - 18 -‎ ‎12. 关于函数，下列判断正确的是（ ）‎ A. 是的极小值点 B. 存在正实数k，使得恒成立 C. 函数有两个零点 D. 对任意两个正实数，，且，若，则 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A先求导函数，判断当时，；当时，，从而判断是的极小值点，故选项A正确；选项B先假设存在正实数k，使得恒成立，再求无解，从而判断不存在，故选项B错误；选项C先求导函数，判断单调性，最后判断函数有两个零点，判断选项C正确；选项D先根据单调性得到，再令得到，假设成立，最后推出矛盾说明假设错误，判断选项D错误.‎ ‎【详解】选项A：因为，所以，当时，；当时，，所以是的极小值点，故选项A正确；‎ 选项B：假设存在正实数k，使得恒成立，当时，，解得：；当时，，解得：，故选项B错误；‎ 选项C：因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，；当时，；当时，，所以函数有两个零点，故选项C正确；‎ 选项D：因为函数在上单调递减，在上单调递增，‎ - 18 -‎ ‎，若当时有，则，，整理得：，令，则，，，假设，则，又因为只需证，但当时，，说明不等式不成立，所以假设错误，故选项D错误.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】本题考查利用导函数研究函数的极值、零点问题，利用导函数证明函数不等式问题，是偏难题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 复数__________．‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】 ，故答案为 ‎14. 在240个零件中，一级品有160个，二级品有80个，用分层抽样法从中抽取容量为60的样本，一级品被抽到________件.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分层抽样公式进行计算.‎ ‎【详解】依题意一级品被抽到（件）.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查分层抽样，属于基础题.‎ ‎15. 已知，则________.‎ - 18 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，‎ 令得 令得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数和的有关计算.‎ ‎16. 已知函数，若，则________；若函数在单调递增，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求得.‎ ‎（2）利用在区间上恒成立，分离常数后结合导数求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，.‎ ‎（2）依题意在区间上恒成立，‎ 即在区间上恒成立，‎ - 18 -‎ 构造函数，‎ ‎，所以在区间上，递增；在区间上，递减.所以在区间上的极大值也即是最大值为.‎ 所以.‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据导数求参数，考查根据单调性求参数的取值范围，属于中档题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知复数z满足，且z的虚部为，z在复平面内所对应的点在第四象限.‎ ‎（1）求z；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意设，再由已知列式求得，则可求；‎ ‎（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】解：（1）设，‎ 因为，‎ 所以，‎ 得或，‎ 又z在复平面内所对应的点在第四象限，‎ - 18 -‎ 所以；‎ ‎（2），‎ 所以；‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题．‎ ‎18. 已知的展开式中，第4项的系数与第5项的系数之比为.‎ ‎（1）求n值；‎ ‎（2）求展开式中的常数项.‎ ‎【答案】（1）；（2）180.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得二项式展开式的通项公式，根据第4项的系数与第5项的系数之比列方程，解方程求得的值.‎ ‎（2）利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 解得；‎ ‎（2），其中，‎ 令，解得，‎ 所以展开式中的常数项为.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.‎ ‎19. 随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注，下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.‎ 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 a c ‎25‎ 不选修生涯规划课 b ‎19‎ 总计 ‎29‎ ‎50‎ ‎（1）求a，b，c.‎ ‎（2）根据列联表，运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”.‎ ‎（3）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求恰好抽到2名成绩不够优秀的学生的概率（将频率当作概率计算）.‎ 参考附表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式，其中.‎ ‎【答案】（1），，；（2）有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据列联表提供数据计算出.‎ - 18 -‎ ‎（2）补全列联表，计算出的值，由此判断出有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”.‎ ‎（3）利用独立重复实验概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（1）由列联表，得，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由题意知，‎ 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 不选修生涯规划课 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 总计 ‎21‎ ‎29‎ ‎50‎ ‎，‎ 所以有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”.‎ ‎（3）由题意知，设在全校选修生涯规划课的学生中，随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，随机抽取1名学生成绩不够优秀的概率为.‎ 所以从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，恰好抽到2名成绩不够优秀的学生的概率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表及独立性检验，考查独立重复实验的概率计算，属于中档题.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）若，求的极大值 ‎（2）曲线若在处的切线与曲线相切，求a的值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的极大值.‎ ‎（2）先求得在处的切线方程，设直线与曲线相切于点，利用切点和斜率列方程组，化简求得的值.‎ ‎【详解】（1），，，‎ 所以，‎ 当，，为增函数；‎ 当，，为减函数；‎ 当，，为增函数；‎ 所以当时，的极大值为；‎ ‎（2）由，得，‎ ‎，，.‎ 所以曲线在处的切线方程为，‎ 设直线与曲线相切于点，‎ ‎，‎ 所以，得，所以，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究切线，属于中档题.‎ ‎21. 某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：‎ - 18 -‎ ‎（1）求a的值；并求高二这100名学生的锻炼时间的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间大于30分钟的概率；‎ ‎（3）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X - 18 -‎ 表示从高二学生中随机抽取50人，其锻炼时间位于的人数，求X的数学期望.‎ 注：①计算得；②若，则：，.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用频率之和为列方程，解方程求得的值.根据频率分布直方图计算出平均数.‎ ‎（2）利用相互独立事件概率计算公式，结合对立事件概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎（3）先求得从高二中随机抽取一人，其锻炼时间位于的概率，根据二项分布期望公式，计算出.‎ ‎【详解】（1）依题意知，‎ 得，‎ ‎；‎ ‎（2）设事件A：在高一中随机抽取一人，其锻炼时间大于30分钟，‎ 事件B：在高二中随机抽取一人，其锻炼时间大于30分钟，‎ 事件C：在高一、高二中随机抽取一人，至少有一人锻炼时间大于30分钟，‎ ‎，，‎ 所以；‎ ‎（3）由题意知，‎ 从而，‎ 所以从高二中随机抽取一人，其锻炼时间位于的概率为0.6826，‎ 依题意知，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查二项分布、正态分布等知识，属于中档题.‎ - 18 -‎ ‎22. 已知函数（是自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求的单调区间 ‎（2）讨论在区间上零点的个数.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）当或时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求得的单调区间.‎ ‎（2）先求得，然后对分成等三种情况进行分类讨论，求得在区间上零点的个数.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 令，得，‎ 所以当时，，的单调递增；‎ 当时，，的单调递减；‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ ‎①当时，在上单调递增且，‎ 所以在上有一个零点.‎ ‎②当时，在上单调递减，‎ 所以在上有一个零点.‎ ‎③当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ - 18 -‎ 而，‎ 当，即时，在上有两个零点；‎ 当，即时，在上有一个零点.‎ 综上所述，当或时，在上有1个零点；‎ 当时，在上有2个零点.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.‎ - 18 -‎