2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五） 数学（理）试题（解析版） 18页

‎2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五） 数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，.则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的运算，属于简单题.‎ ‎2．（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3．设复数，，在复平面内所对应的向量分别为，（为原点），则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.‎ ‎4．已知数列为等差数列，为前项和，若，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.‎ ‎5．若的展开式中常数项等于，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值．‎ ‎【详解】‎ 解：∵的展开式中的通项公式为，‎ 令得，可得常数项为，得，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】判断函数为偶函数，取特殊点，判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，且，函数为偶函数 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.‎ ‎7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：∵“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为，‎ ‎“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为，‎ ‎∴小明今晚复习的两本均是必修教材的概率，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题．‎ ‎8．已知函数的最小值为e，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e得，解不等式得，再代入解析式即可求出函数值．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴当函数时，，当时，，‎ 又函数的最小值为e，‎ ‎∴，∴，则，‎ 所以，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．‎ ‎9．已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算得到，画出函数图像，计算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据变换得到：，图象如图：‎ 由图可知，取到的最小可能为，因为，，所以最小值为4‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.‎ ‎10．如图，已知是圆的直径，，在圆上且分别在的两侧，其中，.现将其沿折起使得二面角为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）‎ A．，，，在同一个球面上 B．当时，三棱锥的体积为 C．与是异面直线且不垂直 D．存在一个位置，使得平面平面 ‎【答案】D ‎【解析】依次判断每个选项的正误：，所以A正确；当，A，C各在所在圆弧的中点，计算体积得到B正确；反证法证明AB与CD不垂直C正确；根据C选项知D错误，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以A正确；‎ 当，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为，所以B正确；‎ AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直．若，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE⊥平面BCD，所以，所以，所以，这与矛盾，所以AB与CD不垂直，所以C正确；‎ 假设存在一个位置，使得平面平面，过作于，则平面由于平面，与选项矛盾.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线平面的关系，体积，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ ‎11．在四边形中，已知，，，，则四边形面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，解△ABC和△ACD表示出，求出四边形的面积 ‎，令，，求得 ‎，求出N的最大值，从而求出四边形面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：设，则在中，，‎ 在中，，‎ ‎∴，∴，‎ 则四边形的面积 ‎，‎ 令，，‎ ‎，则，‎ 所以当，即，时，N取到最大值，‎ 所以面积的最大值为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解决平面几何中的面积问题，综合性很强，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎12．能说明命题“，，，是实数，若，，则”是假命题的一组数对（，，，）是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】举一组反例即得到答案.‎ ‎【详解】‎ 答案不唯一，满足条件即可．例如：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断命题为假命题，属于简单题.‎ ‎13．已知某学校高三年级1500名学生参加某次考试的成绩（单位：分）服从正态分布，估计成绩在120分以上的学生人数有________.附：若～，则，.‎ ‎【答案】34或35‎ ‎【解析】由随机变量服从正态分布，得，，根据即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由随机变量服从正态分布，得，，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴则，‎ 则成绩在120分以上的人数有，所以34或35均可．‎ 故答案为：34或35．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．‎ ‎14．设抛物线：，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与抛物线围成的图形面积为，则抛物线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意由过抛物线的焦点且平行于y轴的直线方程为，代入到抛物线方程可得交点坐标，利用积分表示出面积，解方程即可求出抛物线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：过抛物线的焦点且平行于y轴的直线方程为，‎ 则它与抛物线交于，‎ 由得，则所围成的图形的面积 ‎，‎ 则，所以抛物线的方程为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查积分的应用，考查抛物线的性质，求出积分上限和下限，是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：），根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折___次.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】根据题意计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为，所以的最大值为8．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ 三、解答题 ‎16．已知是双曲线：的一个焦点，，是双曲线的两条渐近线，过且垂直的直线与，分别交于，两点，若三角形的面积（为原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】分为和两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案.‎ ‎【详解】‎ 有如下两种情况：（1）；（2）．‎ ‎ ‎ ‎（1）如图甲，可求出A，B的坐标分别为 所以；‎ 同理可得当时，满足条件的离心率 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误.‎ ‎17．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:‎ 方案一：每天回报元；‎ 方案二：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元；‎ 方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.‎ 记三种方案第天的回报分别为，，.‎ ‎（1）根据数列的定义判断数列，，的类型，并据此写出三个数列的通项公式；‎ ‎（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）为常数列；为等差数列；是等比数列；（2）应该选择方案二，详见解析 ‎【解析】（1）根据题意得到为常数列，是等差数列，是等比数列，分别计算通项公式得到答案.‎ ‎（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，分别计算比较大小得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为常数列；‎ 是首项为10，公差为10的等差数列；‎ ‎，‎ 所以是首项为0.4，公比为2的等比数列．‎ 所以．‎ ‎（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，‎ 由（1）知：，‎ 因为，所以应该选择方案二．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的应用，意在考查学生对于数列公式的灵活应用.‎ ‎18．至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据.‎ 注：年份代码～分别表示～.‎ ‎（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？‎ ‎（2）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份.‎ 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，‎ ‎【答案】（1）2013年的增长率最高，达到了26%（2）关于的回归直线方程为，预测我国发明专利申请量将在2021年突破200万件 ‎【解析】（1）分别计算每一年的增长率，比较大小得到答案.‎ ‎（2）根据公式直接计算得到回归直线方程为，再解不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：，‎ 所以2013年的增长率最高，达到了26%．‎ ‎（2）由表格可计算出：，，‎ 关于的回归直线方程为．‎ 令．‎ 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，.‎ ‎（1）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）设BF的中点为H，，连接HG，HO．证四边形AGHO是平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面BDF；‎ ‎（2）以O为原点建立如图的空间直角坐标系，设,，求得,,，再求出平面ABE与平面BDE 的法向量，求出法向量所成角的余弦值，求出a,b，得，从而．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设BF的中点为H，，连接HG，HO．‎ 因为G是BE的中点，所以，，‎ 所以四边形AGHO是平行四边形，‎ 所以，又因为平面BDF，平面BDF，‎ 所以平面BDF． ‎ ‎（2）解：因为菱形和矩形所在平面互相垂直，‎ 故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，，则，，，，‎ ‎，，．‎ 设平面ABE与平面BDE的法向量分别为，，‎ 则，，，，‎ 令、，得，，则．‎ ‎∴，则，则，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定与线线平行的判定，考查二面角的应用，属于中档题．‎ ‎20．设椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，‎ 在椭圆上.求证：‎ ‎（1）直线：是椭圆在点处的切线；‎ ‎（2）从发出的光线经直线反射后经过.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】（1）联立直线和椭圆方程计算得到证明.‎ ‎（2）设关于直线的对称点为，则的中点在直线l上，直线与l垂直，计算得到证明.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为在椭圆上，所以，所以P也在直线上．‎ 联立直线和椭圆方程 因为P在椭圆上，所以 所以直线l与椭圆相切，又因为，‎ 所以直线l是椭圆在点P处的切线．‎ ‎（2）设关于直线的对称点为，‎ 则的中点在直线l上，直线与l垂直，‎ 即，‎ 所以三点共线，‎ 所以从发出的光线经直线反射后经过．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的切线和反射问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）证明：，都有；‎ ‎（2）若函数有且只有一个零点，求的极值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）时，的极大值为e−1，极小值为0．‎ ‎【解析】（1）令，求导得，利用导数判断出的单调性，‎ 从而求出的最大值，最大值小于0，则命题得证；‎ ‎（2）由得，两边同时取对数整理得，则的零点 个数等于解的个数，令，求导，求出，得出 ‎，令，求导，借助的单调性得 出的符号，从而求出极值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：令，则，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的最大值为，即，‎ 所以，都有．‎ ‎（2）解：由得，则，所以，‎ 所以的零点个数等于方程解的个数，‎ 令，则，且，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，‎ 且由（1）知，，则当时，，‎ 所以时，有且只有一个解，‎ 所以若函数有且只有一个零点，则，此时，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，，‎ 所以当时，，当时，，当时，，‎ ‎∴当时，，则，则，‎ 同理可得：当时，；当时，；‎ 所以和分别是函数的极大值点和极小值点．‎ 所以时，的极大值为e−1，极小值为0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在研究函数的单调性和最值时的应用，考查函数的极值与零点，属于难题．‎ ‎22．在直角坐标系中，射线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.一只小虫从点沿射线向上以单位/min的速度爬行 ‎（1）以小虫爬行时间为参数，写出射线的参数方程；‎ ‎（2）求小虫在曲线内部逗留的时间.‎ ‎【答案】（1）该射线的参数方程为；（2）小虫在圆内逗留的时间为4min ‎【解析】（1）小虫爬行的距离为2t，其所在位置为，得到参数方程.‎ ‎（2）曲线C1的直角坐标方程为，根据韦达定理得到 ‎，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t后，小虫爬行的距离为2t，其所在位置为 所以该射线的参数方程为．‎ ‎（2）曲线C1的直角坐标方程为；‎ 将射线的参数方程带入曲线C1的方程，得，‎ 设t1，t2分别为小虫爬入和爬出的时间，则，‎ 逗留时间，‎ 所以小虫在圆内逗留的时间为4min．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程，极坐标方程，根据直线的参数方程利用韦达定理是解题的关键.‎ ‎23．如图，是半圆直径，为的中点，，在上，且，.‎ ‎（1）用，表示线段，的长度；‎ ‎（2）若，，，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）根据半径和勾股定理直接计算得到答案.‎ ‎（2）根据（1）知，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：如图，（1），‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的证明，根据图像得到不等式是解题的关键.‎