【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-8函数与方程学案 29页

第 8 讲　函数与方程 1．函数的零点 函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零 点 方程的根与函数零点的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔ 函数 y＝f(x)有零点 函数零点的存在定理 函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 若 f(a)·f(b)<0，则 y＝f(x)在(a，b)内存在零点 2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 3.二分法 (1)函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断； 条件 (2)在区间端点的函数值满足 f(a)·f(b)＜0 方法 不断地把函数 y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．(　　) (2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.(　　) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0 时没有零点．(　　) (5)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 则函数 y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2 个　 B．3 个 C．4 个 D．5 个 解析：选 B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间 (2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数 y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有 3 个． 函数 f(x)＝x 1 2 －(1 2 ) x 的零点有________个． 解析：函数 f(x)＝x 1 2 －(1 2 ) x 的零点个数是方程 x 1 2 －(1 2 ) x ＝0 的解 的个数，即方程 x 1 2 ＝(1 2 )x 的解的个数，也就是函数 y＝x 1 2 与 y＝ (1 2 ) x 的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为 1. 答案：1 已知函数 f(x)＝2ax－a＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得 f(x 0)＝0，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析：依题意可得 f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得 a<－3 或 a>1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) 　　　　　　函数零点所在区间的判断 [典例引领] 函数 f(x)＝ln x－ 2 x的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞) 【解析】　因为 f′(x)＝ 1 x＋ 2 x2>0(x>0)，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 f(3)＝ln 3－ 2 3>0， f(2)＝ln 2－1<0，所以 f(2)·f(3)<0，所以 f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选 B. 【答案】　B 判断函数零点所在区间的方法 方法 解读 适合题型 定理法 利用函数零点的存在性定理进行 判断 能够容易判断区间端点值所对应 函数值的正负 图象法 画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判 断 容易画出函数的图象 [通关练习] 1．在下列区间中，函数 f(x)＝3x－x2 有零点的区间是(　　) A．[0，1]　 B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0] 解析：选 D.因为 f(0)＝1，f(1)＝2，所以 f(0)f(1)＞0， 因为 f(2)＝5，f(1)＝2， 所以 f(2)f(1)＞0， 因为 f(－2)＝ 1 9－4＝－ 35 9 ，f(－1)＝ 1 3－1＝－ 2 3， 所以 f(－2)f(－1)＞0， 因为 f(0)＝1，f(－1)＝ 1 3－1＝－ 2 3， 所以 f(0)f(－1)＜0， 易知[－1，0]符合条件，故选 D. 2．若 x0 是方程(1 2 ) x ＝x 1 3 的解，则 x0 属于区间(　　) A.(2 3，1 ) B.(1 2， 2 3 ) C.(1 3， 1 2 ) D.(0， 1 3 ) 解析：选 C.令 g(x)＝(1 2 )x ，f(x)＝x 1 3 ， 则 g(0)＝1>f(0)＝0，g(1 2 )＝(1 2 ) 1 2 f(1 3 )＝(1 3 ) 1 3 ， 所以由图象关系可得 1 30 时，f(x)＝2x＋x－3，则 f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)当 x≤1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0； 当 x＞1 时，由 f(x)＝1＋log2x＝0， 解得 x＝ 1 2， 又因为 x＞1， 所以此时方程无解． 综上函数 f(x)的零点只有 0. (2)因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)＝0，所以 0 是函数 f(x)的一个零点．当 x>0 时，令 f(x)＝2x＋x－3＝0，则 2x＝－x＋3.分别作出函数 y＝2x 和 y＝－x＋3 的图象如图所示， 可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数 f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的 对称性知，当 x<0 时函数 f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为 3.故选 C. 【答案】　(1)D　(2)C 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，再结合函 数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．　 [通关练习] 1．函数 f(x)＝{x2＋x－2，x ≤ 0， －1＋ln x，x > 0 的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 解析：选 B.法一：由 f(x)＝0 得{x ≤ 0， x2＋x－2＝0或{x > 0， －1＋ln x＝0，解得 x＝－2 或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点． 法二：函数 f(x)的图象如图所示， 由图象知函数 f(x)共有 2 个零点． 2．函数 f(x)＝{ex－x－2，x ≥ 0 x2＋2x，x < 0 的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 C.当 x<0 时，令 f(x)＝0，即 x2＋2x＝0，解得 x＝－2，或 x＝0(舍去)．所以当 x<0 时，只有一个零点；当 x≥0 时，f(x)＝ex－x－2，而 f′(x)＝ex－1，显然 f′(x)≥0，所以 f(x)在 [0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(2)＝e2－4>0，所以当 x≥0 时，函数 f(x) 有且只有一个零点．综上，函数 f(x)只有 2 个零点，故选 C. 　　　　　　函数零点的应用[学生用书 P33] [典例引领] (1)(分离参数法)若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数 a 的取值范围是 ________． (2)(数形结合思想)已知函数 f(x)＝{log2（x＋1），x＞0， －x2－2x，x ≤ 0， 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点， 则实数 m 的取值范围是________． 【解析】　(1)因为函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点， 所以方程 4x－2x－a＝0 在[－1，1]上有解， 即方程 a＝4x－2x 在[－1，1]上有解． 方程 a＝4x－2x 可变形为 a＝(2x－ 1 2)2－ 1 4， 因为 x∈[－1，1]， 所以 2x∈[1 2，2 ]， 所以(2x－1 2) 2 － 1 4∈[－1 4，2]. 所以实数 a 的取值范围是[－1 4，2]. (2)函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，转化为 f(x)－m＝0 的根有 3 个，进而 转化为 y＝f(x)，y＝m 的交点有 3 个．画出函数 y＝f(x)的图象，则直线 y＝ m 与其有 3 个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数 m 的取 值范围是(0，1)． 【答案】　(1)[－1 4，2]　(2)(0，1) 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法 [通关练习] 1．(2018·河南新乡模拟)若函数 f(x)＝log 2(x＋a)与 g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零 点，则 a 的值为(　　) A．4 或－ 5 2 B．4 或－2 C．5 或－2 D．6 或－ 5 2 解析：选 C.g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令 g(x)＝0，得 x＝－4 或 x＝a＋ 5，则 f(－4)＝log2(－4＋a)＝0 或 f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得 a＝5 或 a＝－2. 2．(2018·四川绵阳模拟)函数 f(x)＝2x－ 2 x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范 围是(　　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 解析：选 C.由题意，知函数 f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内， 所以{f（1） < 0， f（2） > 0，即{－a < 0， 4－1－a > 0， 解得 0 0， x2＋x，x ≤ 0，若函数 g(x)＝f(x)－m 有三个零 点，则实数 m 的取值范围是________． 解析：令 g(x)＝f(x)－m＝0，得 f(x)＝m，则函数 g(x)＝f(x)－m 有三个零 点等价于函数 f(x)与 y＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数 f(x)的 图象如图： 当 x≤0 时，f(x)＝x2＋x＝(x＋1 2 ) 2 － 1 4≥－ 1 4，若函数 f(x)与 y＝m 的图象 有三个不同的交点，则－ 1 40，即 f(0)·f(1)<0 且函数 f(x)在(0，1)内连续不断，所以 f(x)在区间(0，1)内有一个零点． 2．已知实数 a>1，01，00，由 零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1，0)上存在零点． 3．(2018·辽宁大连模拟)已知偶函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x)＝x 2－3x(x≥0)，若函数 g(x)＝ {log2x，x > 0， －1 x，x < 0， 则 y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 解析：选 B.作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有 3 个不同的交点，所以 函数 y＝f(x)－g(x)有 3 个零点，故选 B. 4．(2018·云南省第一次统一检测)已知 a，b，c，d 都是常数，a>b，c>d.若 f(x)＝2 017－(x－ a)(x－b)的零点为 c，d，则下列不等式正确的是(　　) A．a>c>b>d B．a>b>c>d C．c>d>a>b D．c>a>b>d 解析：选 D. f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又 f(a)＝f(b)＝2 017，c，d 为函数 f(x)的零点，且 a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中 作出函数 f(x)的大致图象，如图所示，由图可知 c>a>b>d，故选 D. 5．(2018·河北承德模拟)若函数 f(x)＝{2x－2a，x ≤ 0， x2－4ax＋a，x > 0有三个不同的零点，则实数 a 的取 值范围是(　　) A．(1 2，＋∞) B．(1 4， 1 2 ] C．(－∞，0)∪(1 4， 1 2 ] D．(－∞，0)∪(1 4，＋∞) 解析：选 B.由题意知，当 x≤0 时，函数 f(x)有 1 个零点，即 2x－2a＝0 在 x≤0 上有根，所 以 0<2a≤1 解得 00 时函数 f(x)有 2 个零点，只需{16a2－4a > 0， 2a > 0， a > 0， 解得 a> 1 4，综 上可得实数 a 的取值范围是 1 40，所以 f(1)f(2)<0，所以 x0∈(1， 2)． 答案：(1，2) 8．已知函数 f(x)＝{2x－a，x ≥ 1， ln（1－x），x < 1有两个零点，则实数 a 的取值范围是________． 解析：当 x<1 时，显然函数 f(x)存在唯一零点 x＝0，所以当 x≥1 时，函数 f(x)存在唯一零点， 又因为 y＝2x 在[1，＋∞)上单调递增且值域为[2，＋∞)，所以 a 的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 9．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当 a＝1，b＝－2 时，求函数 f(x)的零点； (2)若对任意 b∈R，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝1，b＝－2 时，f(x)＝x2－2x－3，令 f(x)＝0，得 x＝3 或 x＝－1. 所以函数 f(x)的零点为 3 或－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0 有两个不同实根，所以 b2－4a(b－1)>0 恒成立，即对于 任意 b∈R，b2－4ab＋4a>0 恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得 00)． (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 0 2，函数 g(x)＝f(2－x)－ 1 4b， 其中 b∈R.若函数 y＝f(x)＋g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是(　　) A．(7，8) B．(8，＋∞) C．(－7，0) D．(－∞，8) 解析：选 A.由已知可得 f(x)＝{（x－2）2，x > 2 2－x，0 ≤ x ≤ 2，f（2－x） 2＋x，x < 0 ＝{4－x，x > 2 x，0 ≤ x ≤ 2， x2，x < 0 将 f(x)＋ g(x)＝0 转化为 f(x)＋f(2－x)＝ 1 4b，令函数 F(x)＝f(x)＋f(2－x)，则 F(x)＝{x2－5x＋8，x > 2 2，0 ≤ x ≤ 2 x2＋x＋2，x < 0 ， 作出函数 F(x)的图象，如图，要使 F(x)的图象与直线 y＝ 1 4b 有四个交点，则有 7 4< 1 4b<2，解得 7 0 有两个不同的零点，则实数 a 的 取值范围为________． 解析：当 x≤0 时，令|x2＋2x－1|＝0，解得 x＝－1－ 2(x＝－1＋ 2舍去)，所以函数 f(x)在(－ ∞，0]上有一个零点，因此 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又因为 y＝2x－1＋a 在 x∈(0，＋∞) 上单调递增，所以只需 2－1＋a<0，解得 a<－ 1 2. 答案：(－∞，－1 2) 4．函数 f(x)＝(1 2 )|x－1| ＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________． 解析：原问题可转化为求 y＝(1 2 )|x－1| 与 y＝－2cos πx 的图象在[－4，6]内的交点的横坐 标的和，因为上述两个函数图象均关于 x＝1 对称，所以 x＝1 两侧的交点关于 x＝1 对称， 那么两对应交点的横坐标的和为 2，分别画出两个函数在[－4，6]上的图象(图略)，可知在 x ＝1 两侧分别有 5 个交点，所以所求和为 5×2＝10. 答案：10 5．已知函数 f(x)＝－x2－2x， g(x)＝{x＋ 1 4x，x > 0， x＋1，x ≤ 0. (1)求 g[f(1)]的值； (2)若方程 g[f(x)]－a＝0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得 g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令 f(x)＝t，则原方程化为 g(t)＝a，易知方程 f(x)＝t 在 t∈(－∞，1)内有 2 个不同的解， 则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 y＝ g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当 1≤a< 5 4时，函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 有 2 个不同的交 点，即所求 a 的取值范围是[1， 5 4 ). 6．已知二次函数 f(x)的最小值为－4，且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3，x∈ R}． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x)＝ f（x） x －4ln x 的零点个数． 解：(1)因为 f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以 f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且 a>0. 所以 f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－2x－3. (2)因为 g(x)＝ x2－2x－3 x －4ln x＝x－ 3 x－4ln x－2(x>0)， 所以 g′(x)＝1＋ 3 x2－ 4 x＝ （x－1）（x－3） x2 . 令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝3. 当 x 变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  极大值  极小值  当 00 且 a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 值增大，图象与 y 轴接近平行 随 x 值增大，图象与 x 轴接近平行 随 n 值变化而不同 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　) (2)在(0，＋∞)内，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝xα(α>0)的增 长速度．(　　) (3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　) (4)不存在 x0，使 ax0 100. 答案：y＝{0.5x，0 < x ≤ 100， 0.4x＋10，x > 100 (教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y ＝alog4x＋b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________万元． 解析：依题意得{alog48＋b＝1 alog464＋b＝4， 即{3 2a＋b＝1， 3a＋b＝4. 解得 a＝2，b＝－2. 所以 y＝2log4x－2，当 y＝8 时，即 2log4x－2＝8. x＝1 024(万元)． 答案：1 024 　　　　　　一次函数与二次函数模型(高频考点) 高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主 要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数． [典例引领] 角度一　单一考查一次函数或二次函数模型的 建立及最值问题 某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万 元)为 y1＝4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y2＝2x，其中 x 为销售量(单位： 辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　) A．10.5 万元　　　　　　 B．11 万元 C．43 万元 D．43.025 万元 【解析】　该公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆， 所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－ 21 2 )2＋0.1× 212 4 ＋32. 因为 x∈[0，16]且 x∈N， 所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元，故选 C. 【答案】　C 角度二　以分段函数的形式考查一次函数和二 次函数 (2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自 行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元．根 据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超 过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数， 并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日 净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数 y＝f(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解】　(1)当 x≤6 时，y＝50x－115，令 50x－115>0，解得 x≥2.3，因为 x 为整数，所以 3≤x≤6. 当 x>6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115>0，有 3x2－68x＋115<0，结合 x 为整数得 6185， 所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多． 一次函数、二次函数及分段函数 模型的选取与应用策略 (1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)， 一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解． (2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等 一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求 法、单调性、零点等知识将实际问题解决． (3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成， 如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点： ①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； ②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． [提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域． (2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．　 [通关练习] 1．某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函数 y＝f(x)的图象，当血 液中药物残留量不小于 240 毫克时，治疗有效．设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效， 则第二次服药最迟的时间应为(　　) A．上午 10：00 B．中午 12：00 C．下午 4：00 D．下午 6：00 解析：选 C.当 x∈[0，4]时，设 y＝k1x， 把(4，320)代入，得 k1＝80，所以 y＝80x. 当 x∈[4，20]时，设 y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，0)分别代入 可得{k2＝－20， b＝400. 所以 y＝400－20x. 所以 y＝f(x)＝{80x，0 ≤ x ≤ 4， 400－20x，4 < x ≤ 20.由 y≥240， 得{0 ≤ x ≤ 4， 80x ≥ 240 或{4 < x ≤ 20， 400－20x ≥ 240. 解得 3≤x≤4 或 40)模型 [典例引领] 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子 产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x)万元，在年产 量不足 8 万件时，W(x)＝ 1 3x2＋x(万元)．在年产量不小于 8 万件时，W(x)＝6x＋ 100 x －38(万 元)．每件产品售价为 5 元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固 定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】　(1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元， 依题意得，当 00)模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)＝ax 与反比例函数 f(x)＝ b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)＝ax＋ b x的模型，有时可以将所列函数解析式转化 为 f(x)＝ax＋ b x的形式． [提醒]　(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域． (2)利用模型 f(x)＝ax＋ b x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件． 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、 右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，当矩形温室的边 长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形温室的左侧边长为 x m，则后侧边长为 800 x m， 所以蔬菜种植面积 y＝(x－4)(800 x －2)＝808－2(x＋1 600 x )(4200，即 1.12x> 2 1.3⇒x> lg 2 1.3 lg 1.12＝ lg 2－lg 1.3 lg 1.12 ≈ 0.30－0.11 0.05 ＝3.8，所以该公司全 年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019 年． (2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6. 设 9 级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为 A1，A2，则 9＝lg A1－lg A0＝lg A1 A0，则 A1 A0＝109， 5＝lg A2－lg A0＝lg A2 A0，则A2 A0＝105，所以 A1 A2＝104. 即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍． 【答案】　(1)B　(2)6　10 000 指数型、对数型函数模型 (1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表 示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时， 往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． (2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析 式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际 意义．　 (2018·湛江模拟)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢 慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半 的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析：当 t＝0 时，y＝a； 当 t＝8 时，y＝ae－8b＝ 1 2a，故 e－8b＝ 1 2. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 y＝ae－bt＝ 1 8a，e－bt＝ 1 8＝(e－8b)3＝e－24b，则 t＝ 24，所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案：16 解决实际应用问题的四大步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立 相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： “对勾”函数的性质 函数 f(x)＝x＋ a x(a>0)． (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a]上单调递减． (2)当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a； 当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a. 易错防范 (1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域． (2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直 线 l⊥AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把图形 ABCD 分 成两部分，设 AE＝x，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为(　　) 解析：选 D.因为左侧部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加， 最后缓慢增加，只有 D 选项适合． 2．在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：选 D.根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01，y＝0.98，代 入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意． 3．利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间，年生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨) 之间的关系可近似地表示为 y＝ x2 10－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为(　　) A．240 吨 B．200 吨 C．180 吨 D．160 吨 解析：选 B.依题意，得每吨的成本为 y x＝ x 10＋4 000 x －30，则 y x≥2 x 10·4 000 x －30＝10， 当且仅当 x 10＝ 4 000 x ， 即 x＝200 时取等号， 因此，当每吨成本最低时，年产量为 200 吨． 4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原 来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时， 用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测 不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选 C.设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过 n(n∈N*)个“半衰期”后的含量 为(1 2 ) n ，由(1 2 ) n < 1 1 000得 n≥10.所以，若探测不到碳 14 含量，则至少经过了 10 个 “半衰期”．故选 C. 5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选 D.根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；以相 同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少， 故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程 为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车 高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对． 6.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的 地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 (如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为 x m，宽为 200－x 4 m， 则 S＝x· 200－x 4 ＝ 1 4(－x2＋200x)． 当 x＝100 时，Smax＝2 500 m2. 答案：2 500 m2 7．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联 通的 130 网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为 计费单位) 网络 月租费 本地话费 长途话费 甲：联通 130 12 元 0.36 元/分 0.06 元/秒 乙：移动“神州行” 无 0.60 元/分 0.07 元/秒 若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的 5 倍，若用联通 130 应最少打 ________秒长途电话才合算． 解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为 x 分钟，所需话费为 y 元，若使用联通 130，则 所需话费 y 元与通话时间 x 分钟的函数关系式为 y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用 移动“神州行”，则所需话费 y 元与通话时间 x 分钟的函数关系式为 y＝0.6×5x＋4.2x＝ 7.2x.若用联通 130 合算，则 5.4x＋12≤7.2x，解得 x≥ 20 3 (分钟)＝400(秒)． 答案：400 8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加 投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x＞20 时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万 元)与 x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年 利润＝年销售总收入－年总投资)． 解析：当 0＜x≤20 时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当 x＞20 时，y＝260－100 －x＝160－x. 故 y＝{－x2＋32x－100，0＜x ≤ 20， 160－x，x＞20 (x∈N*)． 当 0＜x≤20 时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16 时，ymax＝156.而当 x＞20 时， 160－x＜140，故 x＝16 时取得最大年利润． 答案：y＝{－x2＋32x－100，0＜x ≤ 20， 160－x，x＞20 (x∈N*)　16 9．A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供电，为保 证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供 电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为 10≤x≤90. (2)y＝5x2＋ 5 2(100－x)2(10≤x≤90)． (3)因为 y＝5x2＋ 5 2(100－x)2＝ 15 2 x2－500x＋25 000＝ 15 2 (x－100 3 )2 ＋ 50 000 3 ，所以当 x＝ 100 3 时， ymin＝ 50 000 3 .故核电站建在距 A 城 100 3 km 处，能使供电总费用 y 最少． 10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定 为 x 元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改 革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30 元，浮动 价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售每 套丛书的利润＝售价－供货价格．问： (1)每套丛书售价定为 100 元时，书商所获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为 100 元时， 销售量为 15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为 30＋ 10 5 ＝32(元)， 故书商所获得的总利润为 5×(100－32)＝340(万元)． (2)每套丛书售价定为 x 元时，由{15－0.1x > 0， x > 0， 得 00，所以 P＝－[(150－x)＋ 100 150－x]＋120， 又(150－x)＋ 100 150－x≥2 （150－x）· 100 150－x＝2×10＝20， 当且仅当 150－x＝ 100 150－x，即 x＝140 时等号成立， 所以 Pmax＝－20＋120＝100. 故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元． 1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金 120 万元，他可以在 t1 至 t4 的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不 计)．如果他在 t4 时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40 万元 B．60 万元 C．120 万元 D．140 万元 解析：选 C.甲 6 元时该商人全部买入甲商品，可以买 120÷6＝20(万份)，在 t2 时刻全部卖出， 此时获利 20×2＝40(万元)，乙 4 元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)， 在 t4 时刻全部卖出，此时获利 40×2＝80(万元)，共获利 40＋80＝120(万元)，故选 C. 2．我们定义函数 y＝[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”；定义 y＝{x}({x}表示 不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收 费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元，超过一小时，不超过 2 小时 (包括 2 小时)收费 4 元，以此类推．若李刚停车时间为 x 小时，则李刚应付费为(单位：元)(　　) A．2[x＋1] B．2([x]＋1) C．2{x} D．{2x} 解析：选 C.如 x＝1 时，应付费 2 元， 此时 2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除 A，B；当 x＝0.5 时，付费为 2 元，此时{2x}＝1 排除 D，故选 C. 3．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718… 为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保 鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时． 解析：由已知条件，得 192＝eb， 所以 b＝ln 192. 又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2， 所以 e11k＝( 48 192) 1 2 ＝( 1 4) 1 2 ＝ 1 2. 设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时，则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×( 1 2)3＝ 24. 答案：24 4．某超市 2017 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模 型． ①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. (1)能较准确反映超市月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为________． (2)若所选函数满足 f(1)＝10，f(3)＝2，则 f(x)min＝________． 解析：(1)因为 f(x)＝pqx，f(x)＝logpx＋q 是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q 中，f′(x)＝2x＋p， 令 f′(x)＝0，得 x＝－ 1 2p，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应 选③f(x)＝x2＋px＋q 模拟函数． (2)因为 f(1)＝10，f(3)＝2， 所以{1＋p＋q＝10， 9＋3p＋q＝2， 解得，p＝－8，q＝17， 所以 f(x)＝x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，所以 f(x)min＝f(4)＝1. 答案：(1)③　(2)1 5．声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y＝10lg ( I 10－12)给出，其中 I 为声强(单位：W/m2)． (1)平常人交谈时的声强约为 10－6W/m2，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到的最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级 Y≤50 分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为 5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？ 解：(1)当声强为 10－6W/m2 时，由公式 Y＝10lg ( I 10－12)得 Y＝10lg( 10－6 10－12)＝10lg 106＝60(分 贝)． (2)当 Y＝0 时，由公式 Y＝10lg( I 10－12) 得 10lg( I 10－12)＝0. 所以 I 10－12＝1，即 I＝10－12W/m2， 则最低声强为 10－12W/m2. (3)当声强为 5×10－7W/m2 时，声强级 Y＝10lg(5 × 10－7 10－12 )＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5， 因为 50＋10lg 5>50， 所以这两位同学会影响其他同学休息． 6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单 位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金 y(单位：万元)随投资收益 x(单 位：万元)的增加而增加且资金不超过 5 万元，同时资金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数模型 y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝ 1 20x＋1； (ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为 y＝f(x)， 则该函数模型满足的条件是： ①当 x∈[10，100]时，f(x)是增函数； ②当 x∈[10，100]时，f(x)≤5 恒成立． ③当 x∈[10，100]时，f(x)≤ x 5恒成立． (2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝ 1 20x＋1， 它在[10，100]上是增函数，满足条件①； 但当 x＝80 时，y＝5，因此，当 x>80 时，y>5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求． (b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①， x＝100 时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即 f(x)≤5 恒成立．满足条件②， 设 h(x)＝log2x－2－ 1 5x，则 h′(x)＝ log2e x － 1 5， 又 x∈[10，100]， 所以 1 100≤ 1 x≤ 1 10， 所以 h′(x)< log2e 10 － 1 5< 2 10－ 1 5＝0， 所以 h(x)在[10，100]上是递减的，因此 h(x)0，b>0 时 [特例]　当 a＝b＝1 时，函数化为 f(x)＝x＋ 1 x. ①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－x＋ 1 －x＝－ (x＋1 x )＝ － f(x) ， 函 数 为 奇 函 数 ． 之 后 只 需 讨 论 x>0 时 的 情 况 . 当x > 0时，③单调性：Δy＝ x2－x1 x1x2 (x1x2－1)，令 x1＝x2＝x，x1x2－1＝ 0，解得 x＝1，当 0 0时，③单调性：Δy＝ax2＋ b x2－ax1－ b x1＝ x2－x1 x1x2 ·(ax1x2－b)，令 x1＝x2＝ x，ax1x2－b＝0 解得 x＝ ab a ，当 00，b>0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶 性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数.当x > 0时，③单调性：Δy＝ x1－x2 x1x2 (ax1x2－b)，同情况 1，x＝ ab a ，得 f(x)在(0， ab a )上为增函数，在 ( ab a ，＋∞)上为减函数．④渐近线：当 x→0＋时，y→－ b x；当 x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象 略．⑥值域：当 x＝ ab a 时，f(x)＝－a ab a － ab ab＝－2 ab，即为最大值－2 ab，值域为 (－∞，－2 ab). 当 a>0，b<0 时 [特例]　当 a＝1，b＝－1 时，函数化为 f(x)＝x－ 1 x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇 偶性：f(－x)＝－(x－1 x )＝－f(x)，函数为奇函数.当x > 0时，③单调性：Δy＝ x2－x1 x1x2 (x1x2＋1)， 得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当 x→0＋时，y→－ 1 x；当 x→＋∞时 y→x＋.⑤作出函数 图象，如图 3.⑥值域为(－∞，＋∞)． [推广]　改函数为 f(x)＝ax－ b x(此时 b>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－ x)＝－(ax－b x)＝－f(x)，函数为奇函数.当x > 0时，③单调性：Δy＝ x2－x1 x1x2 (ax1x2＋b)，得Δ y>0，f(x)为增函数．④渐近线：当 x→0＋时，y→－ b x；当 x→＋∞时，y→ax＋.⑤图象略．⑥ 值域为(－∞，＋∞)． 当 a<0，b>0 时 此情况与情况 3 基本相同，作出函数图象，如图 4.设函数为 f(x)＝－ax＋ b x(此时 a>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇 偶 性 ： f( － x) ＝ － f(x) ， 函 数 为 奇 函 数 ． ③ 单 调 性 ： Δ y ＝ x1－x2 x1x2 ·(ax1x2＋b)(x>0)，得Δy<0，f(x)为减函数．④渐近线：当 x→0 ＋ 时 ， y → b x；当 x→ ＋ ∞ 时 ， y → － ax ＋ . ⑤ 图 象 略 ． ⑥ 值 域 为 (－∞，＋∞).