【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第一章第1讲　集合及其运算学案 14页

知识点 考纲下载 集 合 ‎ 集合的含义与表示 ‎(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．‎ ‎(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．‎ ‎ 集合间的基本关系 ‎(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．‎ ‎(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．‎ ‎ 集合的基本运算 ‎(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．‎ ‎(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．‎ ‎(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.‎ 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎ 理解命题的概念．‎ ‎ 了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎ 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．‎ ‎ 理解全称量词和存在量词的意义．‎ ‎ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 第1讲　集合及其运算 ‎1．集合与元素 ‎(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 记法 基本 关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素 x∈A⇒ x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 ‎∀x，x∉∅，∅⊆A ‎∅‎ ‎3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合的运算性质 ‎(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；‎ A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．‎ ‎(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；‎ A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．‎ ‎(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．‎ ‎(4)∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；‎ ‎∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)‎ ‎(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)‎ ‎(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)‎ ‎(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　)‎ ‎(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×‎ ‎ (教材习题改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)‎ A．a∈P　　　　　　　 B．{a}∈P C．{a}⊆P D．a∉P 答案：D ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝(　　)‎ A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}‎ C．{2，3，4} D．{1，3，4}‎ 答案：A ‎ (教材习题改编)已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∪B＝{1，2}，则满足条件的集合B的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选D.因为A＝{1，2}，B∪A＝{1，2}，‎ 所以B⊆A，故满足条件的集合B的个数为22＝4个．‎ ‎ (教材习题改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝________．‎ 解析：由题意得∁UB＝{2，5，8}，所以A∩(∁UB)＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．‎ 答案：{2，5}‎ ‎ (教材习题改编)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|22}．‎ 答案：{x|x≤1或x>2} ‎ 集合的概念 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．3‎ C．6 D．9‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A． B． C．0 D．0或 ‎(3)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ ‎【解析】　(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.‎ 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．‎ ‎(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.‎ ‎(3)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，‎ 则m＝1或m＝－，‎ 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；‎ 当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)D　(3)－ 求解与集合中的元素有关问题的注意事项 ‎(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．‎ ‎(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C．因为∈Z，‎ 所以2－x的取值有－3，－1，1，3，‎ 又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.‎ ‎2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝______．‎ 解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.‎ 答案：2‎ 集合的基本关系 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)‎ A．AB　　　　　　　　　　 B．BA C．A⊆B D．B＝A ‎(2)设A，B是全集I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，3}，则满足A⊆B的B的个数是(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ ‎【解析】　(1)由题意知A＝{x|y＝，x∈R}，‎ 所以A＝{x|－1≤x≤1}．‎ 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，‎ 所以BA，故选B．‎ ‎(2)由题意知B可以为{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B ‎(1)判断两集合关系的方法 ‎①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系．‎ ‎②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．‎ ‎(2)根据两集合间的关系求参数的方法 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．‎ ‎[注意]　空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|00时，因为A＝{x|－10}，则(　　)‎ A．A∩B＝　　 B．A∩B＝∅‎ C．A∪B＝ D．A∪B＝R ‎(2)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)‎ A．[2，3] B．(－2，3]‎ C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)‎ ‎【解析】　(1)由3－2x＞0得x＜，则B＝，‎ 所以A∩B＝，故选A．‎ ‎(2)因为Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x|x≥2或x≤－2}，所以∁RQ＝{x|－23}，则A∩B＝(　　)‎ A．{x|－22}，则∁UA＝(　　)‎ A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ 解析：选C．根据补集的定义可知，∁UA＝{x|－2≤x≤2}＝[－2，2]，故选C．‎ ‎3．(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝(　　)‎ A．{2} B．{1，2，4}‎ C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}‎ 解析：选B．因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B．‎ ‎4．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选B．A＝{x|2x2－5x－3≤0}＝{x|－≤x≤3}，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B＝{0，1，2}，故选B．‎ ‎5．(2018·福州综合质量检测)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B＝(　　)‎ A．∅ B．(1，2]‎ C．{2} D．{1，2}‎ 解析：选C．法一：因为A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}＝{1，2}，所以A∩B＝{2}，故选C．‎ 法二：因为1∉A，所以1∉A∩B，故排除D；因为1.1∉B，所以1.1∉A∩B，故排除B；因为2∈A，2∈B，所以2∈A∩B，故排除A．故选C．‎ ‎6．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁ZB)＝(　　)‎ A．{－2} B．{－1}‎ C．[－2，0] D．{－2，－1，0}‎ 解析：选D.由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁ZB)＝{－2，－1，0}，故选D.‎ ‎7．(2018·陕西质量检测(一))已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则A∩B＝(　　)‎ A．∅ B．{x|2＜x＜3}‎ C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}‎ 解析：选C．化简集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝{x|2≤x＜3}，选C．‎ ‎8．(2018·洛阳第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}‎ C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}‎ 解析：选D.依题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.‎ ‎9．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝(　　)‎ A．{2，3} B．{－1，2，5}‎ C．{2，3，5} D．{－1，2，3，5}‎ 解析：选D.由A∩B＝{2，－1}，可得或当时，此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当时，此时不符合题意，舍去．‎ ‎10．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．1或2‎ 解析：选B．当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2.选B．‎ ‎11．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析：选C．由题意，得B＝{0，1，，，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C．‎ ‎12．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]‎ 解析：选B．因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤－1.‎ ‎13．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．‎ 解析：因为B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，所以a＝1或a2＋3＝1，‎ 因为a∈R，所以a＝1.经检验，满足题意．‎ 答案：1‎ ‎14．设集合I＝{x|－3