2005年湖北省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2005年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}‎．若P={0, 2, 5}‎，Q={1, 2, 6}‎，则P+Q中元素的个数是（ ）‎ A.‎6‎ B.‎7‎ C.‎8‎ D.‎‎9‎ ‎2. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：‎ ‎①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；‎ ‎②“a+5‎是无理数”是“a是无理数”的充要条件；‎ ‎③“a>b”是“a‎2‎‎>‎b‎2‎”的充分条件；‎ ‎④“a<5‎”是“a<3‎”的必要条件．‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎3. ‎(1-i)(1+2i)‎‎1+i‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎-2-i B.‎-2+i C.‎2-i D.‎‎2+i ‎4. 函数y=e‎|lnx|‎-|x-1|‎的图象大致是‎(‎        ‎‎)‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 双曲线x‎2‎m‎-y‎2‎n=1(mn≠0)‎的离心率为‎2‎，有一个焦点与抛物线y‎2‎‎=4x的焦点重合，则mn的值为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎3‎‎16‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎16‎‎3‎ D.‎‎8‎‎3‎ ‎6. 在y=‎‎2‎x，y=log‎2‎x，y=‎x‎2‎这三个函数中，当‎0‎f(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎恒成立的函数的个数是（ ）‎ A.‎0‎个 B.‎1‎个 C.‎2‎个 D.‎3‎个 ‎7. 若sinα+cosα=tanα(0<α<π‎2‎)‎，则α所在的区间（ ）‎ A.‎(0, π‎6‎)‎ B.‎(π‎6‎, π‎4‎)‎ C.‎(π‎4‎, π‎3‎)‎ D.‎‎(π‎3‎, π‎2‎)‎ ‎8. 若limx→1‎‎(a‎1-x-b‎1-‎x‎2‎)=1‎，则常数a，b的值为（ ）‎ A.a=-2‎，b=4‎ B.a=2‎，b=-4‎ C.a=-2‎，b=-4‎ D.a=2‎，‎b=4‎ ‎9. 若‎03sinx B.‎‎2x<3sinx C.‎2x=3sinx D.与x的取值有关 ‎10. 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'‎中，点E、F、H、K分别为AC'‎、CB'‎、A'B、B'C'‎的中点，G为‎△ABC的重心从K、H、G、B'‎中取一点作为P，使得该棱柱恰有‎2‎条棱与平面PEF平行，则P为（ ）‎ A.K B.H C.G D.‎B'‎ ‎11. 某初级中学有学生‎270‎人，其中一年级‎108‎人，二、三年级各‎81‎人，现要利用抽样方法抽取‎10‎人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为‎1‎，‎2‎，…，‎270‎；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为‎1‎，‎2‎，‎⋯‎，‎270‎，并将整个编号依次分为‎10‎段，如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①‎7‎，‎34‎，‎61‎，‎88‎，‎115‎，‎142‎，‎169‎，‎196‎，‎223‎，‎250‎；‎ ‎②‎5‎，‎9‎，‎100‎，‎107‎，‎111‎，‎121‎，‎180‎，‎195‎，‎200‎，‎265‎；‎ ‎③‎11‎，‎38‎，‎65‎，‎92‎，‎119‎，‎146‎，‎173‎，‎200‎，‎227‎，‎254‎；‎ ‎④‎30‎，‎57‎，‎84‎，‎111‎，‎138‎，‎165‎，‎192‎，‎219‎，‎246‎，‎270‎．‎ ‎ 7 / 7‎ 关于上述样本的下列结论中，正确的是（        ）‎ A.②，③都不能为系统抽样 B.②，④都不能为分层抽样 C.①，④都可能为系统抽样 D.①，③都可能为分层抽样 ‎12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（ ）‎ A.‎367‎‎385‎ B.‎376‎‎385‎ C.‎192‎‎385‎ D.‎‎18‎‎385‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 已知向量a‎→‎‎=(-2,2),b‎→‎=(5,k).|a‎→‎+b‎→‎|‎不超过‎5‎，则k的取值范围是________．‎ ‎14. ‎(x‎2‎+‎1‎x+‎‎2‎‎)‎‎5‎的展开式中整理后的常数项等于________．‎ ‎15. 设等比数列‎{an}‎的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1‎，Sn，Sn+2‎成等差数列，则q的值为________．‎ ‎16. 为了了解噪声污染的情况，某市环保局抽样调查了‎80‎个测量点的噪声声级（单位：分贝），并进行整理后分成五组，绘制出频率分布直方图，如图所示．已知从左至右前四组的频率分别是‎0.15‎，‎0.25‎，‎0.3‎，‎0.2‎，且噪声声级高于‎69.5‎分贝就会影响工作和生活，那么影响到工作和生活而需对附近区域进行治理的测量点有________个．‎ 三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）‎ ‎17. 已知向量a‎→‎‎=(x‎2‎, x+1)‎，b‎→‎‎=(1-x, t)‎，若函数f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎在区间‎(-1, 1)‎上是增函数，求t的取值范围．‎ ‎18. 在‎△ABC中，已知AB=‎‎4‎‎6‎‎3‎，cosB=‎‎6‎‎6‎，AC边上的中线BD=‎‎5‎，求sinA的值．‎ ‎19. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有‎4‎次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第‎4‎次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为‎0.6‎，‎0.7‎，‎0.8‎，‎0.9‎．求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥‎底面ABCD，AB=‎‎3‎，BC=1‎，PA=2‎，E为PD的中点．‎ ‎（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；‎ ‎（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥‎面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．‎ ‎21. 设A、B是椭圆‎3x‎2‎+‎y‎2‎＝λ上的两点，点N(1, 3)‎是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．‎ ‎22. 已知不等式‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎+...+‎1‎n>‎1‎‎2‎[log‎2‎n]‎，其中n为大于‎2‎的整数，‎[log‎2‎n]‎表示不超过log‎2‎n的最大整数．设数列‎{an}‎的各项为正，且满足a‎1‎‎=b(b>0)‎，an‎≤‎nan-1‎n+‎an-1‎，n=2‎，‎3‎，‎4‎，…．证明：an‎<‎‎2b‎2+b[log‎2‎n]‎，n=3‎，‎4‎，‎5‎，…．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.C ‎4.D ‎5.A ‎6.B ‎7.C ‎8.C ‎9.D ‎10.C ‎11.D ‎12.A 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎[-6, 2]‎ ‎14.‎‎63‎‎2‎‎2‎ ‎15.‎‎-2‎ ‎16.‎‎8‎ 三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）‎ ‎17.依定义f(x)‎＝x‎2‎‎(1-x)+t(x+1)‎＝‎-x‎3‎+x‎2‎+tx+t，则f'(x)‎＝‎-3x‎2‎+2x+t．‎ 若f(x)‎在‎(-1, 1)‎上是增函数，则在‎(-1, 1)‎上f‎'‎‎(x)≥0‎恒成立．‎ ‎∴ f'(x)≥0⇔t≥3x‎2‎-2x，在区间‎(-1, 1)‎上恒成立，‎ 考虑函数g(x)‎＝‎3x‎2‎-2x，由于g(x)‎的图象是对称轴为x=‎‎1‎‎3‎，开口向上的抛物线，‎ 故要使t≥3x‎2‎-2x在区间‎(-1, 1)‎上恒成立‎⇔t≥g(-1)‎，即t≥5‎．‎ 而当t≥5‎时，f'(x)‎在‎(-1, 1)‎上满足f'(x)>0‎，即f(x)‎在‎(-1, 1)‎上是增函数；‎ 故t的取值范围是t≥5‎．‎ ‎18.解：解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE // AB，且DE=‎1‎‎2‎AB=‎‎2‎‎6‎‎3‎，设BE=x．‎ 由DE // AB可得出‎∠BED=π-∠B，即cos∠BED=-‎‎6‎‎6‎ 在‎△BDE中利用余弦定理可得：BD‎2‎=BE‎2‎+ED‎2‎-2BE⋅EDcos∠BED，‎5=x‎2‎+‎8‎‎3‎+2×‎2‎‎6‎‎3‎×‎6‎‎6‎x，‎ 解得x=1‎，x=-‎‎7‎‎3‎（舍去）．‎ 故BC=2‎，从而AC‎2‎=AB‎2‎+BC‎2‎-2AB⋅BCcosB=‎‎28‎‎3‎，即AC=‎‎2‎‎21‎‎3‎ 又sinB=‎‎30‎‎6‎，故‎2‎sinA‎=‎‎2‎‎21‎‎3‎‎30‎‎6‎，sinA=‎‎70‎‎14‎．‎ 解法二：以B为坐标原点，BC‎→‎为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限．‎ 由sinB=‎‎30‎‎6‎，则BA‎→‎‎=(‎4‎‎6‎‎3‎cosB, ‎4‎‎6‎‎3‎sinB)=(‎4‎‎3‎, ‎4‎‎5‎‎3‎)‎，‎ 设BC‎→‎‎=(x, 0)‎，则BD‎→‎‎=(‎4+3x‎6‎, ‎2‎‎5‎‎3‎)‎．‎ 由条件得‎|BD‎¯‎|=‎(‎4+3x‎6‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎5‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎．‎ 从而x=2‎，x=-‎‎14‎‎3‎（舍去）．故CA‎→‎‎=(-‎2‎‎3‎, ‎4‎‎5‎‎3‎)‎．‎ 于是cosA=‎|BA‎→‎|⋅|CA‎→‎|‎‎˙‎=‎-‎8‎‎9‎+‎‎80‎‎9‎‎16‎‎9‎‎+‎80‎‎9‎⋅‎‎4‎‎9‎‎+‎‎80‎‎9‎=‎‎3‎‎14‎‎14‎．‎ ‎∴ sinA=‎1-cos‎2‎A=‎‎70‎‎14‎．‎ 解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC．‎ 过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=‎‎4‎‎3‎，AH=‎‎4‎‎5‎‎3‎，‎ ‎ 7 / 7‎ BN=BP‎2‎-PN‎2‎=BP‎2‎-AH‎2‎=‎(2‎5‎‎)‎‎2‎-(‎‎4‎‎5‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎10‎‎3‎‎，‎ 而HB=‎‎4‎‎3‎，∴ CN=‎‎4‎‎3‎，HC=‎‎2‎‎3‎，AC=AH‎2‎+HC‎2‎=‎‎2‎‎21‎‎3‎．‎ 故由正弦定理得‎2‎sinA‎=‎‎2‎‎21‎‎3‎‎30‎‎6‎，∴ sinA=‎‎70‎‎14‎．‎ ‎19.解：ξ的取值分别为‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎．‎ ξ=1‎‎，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，‎ 故P(ξ=1)=0.6‎ ξ=2‎‎，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，‎ 故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28‎ ξ=3‎‎，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096‎‎．‎ ξ=4‎‎，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故 P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024‎‎．‎ ‎∴ 李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ‎∴ ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544‎．李明在一年内领到驾照的概第为 ‎1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.9976‎‎．‎ ‎20.解：（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE // PB，‎ ‎∴ ‎∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．‎ 在‎△AOE中，AO=1‎，OE=‎1‎‎2‎PB=‎‎7‎‎2‎，AE=‎1‎‎2‎PD=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴ cosEOA=‎1+‎7‎‎4‎-‎‎5‎‎4‎‎2×‎7‎‎2‎×1‎=‎‎3‎‎7‎‎14‎．‎ 即AC与PB所成角的余弦值为‎3‎‎7‎‎14‎．‎ ‎（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则‎∠ADF=‎π‎6‎．‎ 连PF，则在Rt△ADF中DF=ADcosADF=‎‎2‎‎3‎‎3‎，AF=ADtanADF=‎‎3‎‎3‎．‎ 设N为PF的中点，连NE，则NE // DF，‎ ‎∵ DF⊥AC，DF⊥PA，∴ DF⊥‎面PAC．从而NE⊥‎面PAC．‎ ‎∴ N点到AB的距离‎=‎1‎‎2‎AP=1‎，N点到AP的距离‎=‎1‎‎2‎AF=‎‎3‎‎6‎．‎ ‎21.（1）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y＝k(x-1)+3‎，‎ 代入‎3x‎2‎+‎y‎2‎＝λ，整理得：‎(k‎2‎+3)x‎2‎-2k(k-3)x+(k-3‎)‎‎2‎-λ＝‎0‎①‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，则x‎1‎，x‎2‎是方程①的两个不同的根，‎ ‎∴ ‎△‎＝‎4[λ(k‎2‎+3)-3(k-3‎)‎‎2‎]>0‎，②‎ 且x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎2k(k-3)‎k‎2‎‎+3‎．由N(1, 3)‎是线段AB的中点，得x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎2‎，‎ ‎∴ k(k-3)‎＝k‎2‎‎+3‎解得k＝‎-1‎，代入②得λ>12‎，‎ 即λ的取值范围是‎(12, +∞)‎．‎ 于是直线AB的方程为y-3‎＝‎-(x-1)‎，即x+y-4‎＝‎0‎．‎ 解法二：设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，则有‎3x‎1‎‎2‎+y‎1‎‎2‎=λ‎3x‎2‎‎2‎+y‎2‎‎2‎=λ.‎‎ ⇒3 (x‎1‎-x‎2‎) (x‎1‎+x‎2‎)+(y‎1‎-y‎2‎)‎＝‎0‎．‎ 依题意，x‎1‎‎≠‎x‎2‎，∴ kAB‎=-‎‎3(x‎1‎+x‎2‎)‎y‎1‎‎+‎y‎2‎．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∵ N(1, 3)‎是AB的中点，∴ x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎2‎，y‎1‎‎+‎y‎2‎＝‎6‎，从而kAB＝‎-1‎．‎ 又由N(1, 3)‎在椭圆内，∴ λ>3×‎1‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎＝‎12‎，‎ ‎∴ λ的取值范围是‎(12, +∞)‎．‎ 直线AB的方程为y-3‎＝‎-(x-1)‎，即x+y-4‎＝‎0‎．‎ ‎（2）解法一：∵ CD垂直平分AB，‎ ‎∴ 直线CD的方程为y-3‎＝x-1‎，即x-y+2‎＝‎0‎代入椭圆方程，整理得‎4x‎2‎+4x+4-λ＝‎0‎．③‎ 又设C(x‎3‎, y‎3‎)‎，D(x‎4‎, y‎4‎)‎，CD的中点为M(x‎0‎, y‎0‎)‎，‎ 则x‎3‎，x‎4‎是方程③的两根，‎ ‎∴ x‎3‎‎+‎x‎4‎＝‎-1‎，且x‎0‎‎=x‎3‎‎+‎x‎4‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎，y‎0‎＝x‎0‎‎+2=‎‎3‎‎2‎，即M(-‎1‎‎2‎, ‎3‎‎2‎)‎ 于是由弦长公式可得‎|CD|=‎=+‎‎(-‎1‎k)‎‎2‎⋅|x‎3‎-x‎4‎|=‎‎2(λ-3)‎．④‎ 将直线AB的方程x+y-4‎＝‎0‎代入椭圆方程得‎4x‎2‎-8x+16-λ＝‎0‎．⑤‎ 同理可得‎|AB|=‎1+‎k‎2‎⋅|x‎1‎-x‎2‎|=‎‎2(λ-12)‎．⑥‎ ‎∵ 当λ>12‎时，‎2(λ-3)‎‎>‎‎2(λ-12)‎，‎ ‎∴ ‎|AB|<|CD|‎．‎ 假设存在λ>12‎，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．‎ 点M到直线AB的距离为d=‎|x‎0‎+y‎0‎-4|‎‎2‎=‎|-‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎-4|‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．⑦‎ 于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得‎|MA‎|‎‎2‎＝‎|MB‎|‎‎2‎＝d‎2‎‎+|AB‎2‎‎|‎‎2‎=‎9‎‎2‎+λ-12‎‎2‎=λ-3‎‎2‎=|‎CD‎2‎‎|‎‎2‎．‎ 故当λ>12‎时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，‎|CD‎2‎|‎为半径的圆上．‎ ‎（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：‎ A‎、B、C、D共圆‎⇔ACD为直角三角形，A为直角‎⇔|AN‎|‎‎2‎＝‎|CN|⋅|DN|‎，‎ 即‎(‎|AB|‎‎2‎)‎‎2‎‎=(|CD‎2‎|+d)(|CD‎2‎|-d)‎．⑧‎ 由⑥式知，⑧式左边‎=‎λ-12‎‎2‎，‎ 由④⑦知，⑧式右边＝‎(‎2(λ-3)‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎2‎)(‎2(λ-3)‎‎2‎-‎3‎‎2‎‎2‎)=λ-3‎‎2‎-‎9‎‎2‎=‎λ-12‎‎2‎．‎ ‎∴ ⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）‎ 解法二：由‎(‎Ⅱ‎)‎解法一知λ>12‎，‎ ‎∵ CD垂直平分AB，‎ ‎∴ 直线CD的方程为y-3‎＝x-1‎，代入椭圆方程，整理得‎4x‎2‎+4x+4-λ＝‎0‎．③‎ 将直线AB的方程x+y-4‎＝‎0‎代入椭圆方程整理得‎4x‎2‎-8x+16-λ＝‎0‎．⑤‎ 解③和⑤式可得x‎1,2‎‎=‎‎2±‎λ-12‎‎2‎，x‎3,4‎‎=‎‎-1±‎λ-3‎‎2‎，‎ 不妨设A(1+‎1‎‎2‎λ-12‎, 3-‎1‎‎2‎λ-12‎)‎，‎ C(‎-1-‎λ-3‎‎2‎, ‎3-‎λ-3‎‎2‎)‎‎，D(‎-1+‎λ-3‎‎2‎, ‎3+‎λ-3‎‎2‎)‎．‎ ‎∴ CA‎→‎‎=(‎3+λ-12‎+‎λ-3‎‎2‎, ‎3-λ-12‎+‎λ-3‎‎2‎)‎，‎ DA‎→‎‎=(‎3+λ-12‎-‎λ-3‎‎2‎, ‎3-λ-12‎-‎λ-3‎‎2‎)‎‎，‎ 计算可得CA‎→‎‎⋅DA‎→‎=0‎，‎ ‎∴ A在以CD为直径的圆上．‎ 又B为A关于CD的对称点，‎ ‎∴ A、B、C、D四点共圆．‎ ‎22.证明：设f(n)=‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+...+‎‎1‎n，首先利用数学归纳法证不等式an‎<‎b‎1+f(n)b，n=3‎，‎4‎，‎5‎．‎ ‎(I)‎当n=3‎时，由a‎3‎‎≤‎3‎a‎2‎‎3+‎a‎2‎=‎3‎‎3‎a‎2‎‎+1‎≤‎3‎‎3⋅‎2+‎a‎1‎‎2‎a‎1‎+1‎=‎b‎1+f(3)b，知不等式成立．‎ ‎(II)‎假设当n=k(k≥3)‎时，不等式成立，即ak‎<‎b‎1+f(n)b，则ak+1‎‎≤‎(k+1)‎ak‎(k+1)+‎ak=k+1‎k+1‎ak‎+1‎