2009年上海市高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 5页

1 / 5 2009 年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分） 1. 函数푓(푥) = 푥3 +1的反函数푓―1(푥) = ________． 2. 已知集合퐴 = {푥|푥 ≤ 1}，퐵 = {푥|푥 ≥ 푎}，且퐴 ∪ 퐵 = R，则实数푎的取值范围是 ________． 3. 若行列式|4 5 푥 1 푥 3 7 8 9|中，元素4的代数余子式大于0，则푥满足的条件是________． 4. 某算法的程序框如下图所示，则输出量푦与输入量푥满足的关系式是________． 5. 如图，若正四棱柱퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1的底面边长为2，高为4，则异面直线퐵퐷1与 퐴퐷所成角的大小是________（结果用反三角函数值表示）． 6. 若球푂1、푂2表面积之比푆1 푆2 = 9，则它们的半径之比푅1 푅2 = ________． 7. 已知实数푥、푦满足{ 푦 ≤ 2푥， 푦 ≥ ―2푥， 푥 ≤ 3， 则目标函数푧 = 푥 ― 2푦的最小值是________． 8. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成 的几何体体积是________． 9. 过点퐴(1, 0)作倾斜角为휋 4的直线，与抛物线푦2 = 2푥交于푀、푁两点，则|푀푁| = ________． 10. 函数푦 = 2cos2푥 + sin2푥的最小值是________． 11. 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志 愿者中男女生均不少于1名的概率是________．（结果用最简分数表示） 12. 已知퐹1、퐹2是椭圆퐶:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的两个焦点，푃为椭圆퐶上一点，且 → 푃퐹1 ⊥ → 푃퐹2．若 △ 푃퐹1퐹2的面积为9，则푏＝________． 13. 已知函数푓(푥)＝sin푥 + tan푥，项数为27的等差数列{푎푛}满足푎푛 ∈ ( ― 휋 2,휋 2)，且公 差푑 ≠ 0，若푓(푎1) + 푓(푎2) + ...푓(푎27)＝0，则当푘＝________时，푓(푎푘)＝0． 14. 某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为 格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点( ― 2, 2)，(3, 1)， (3, 4)，( ― 2, 3)，(4, 5)，(6, 6)为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外） ________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短． 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 15. 已知直线푙1：(푘 ― 3)푥 +(4 ― 푘)푦 +1 = 0与푙2:2(푘 ― 3)푥 ― 2푦 +3 = 0平行，则푘的 值是（ ） A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 16. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的 2 / 5 侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（ ） A. B. C. D. 17. 点푃(4,  ― 2)与圆푥2 + 푦2 = 4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(푥 ― 2)2 +(푦 +1)2 = 1 B.(푥 ― 2)2 +(푦 +1)2 = 4 C.(푥 +4)2 +(푦 ― 2)2 = 1 D.(푥 +2)2 +(푦 ― 1)2 = 1 18. 有专业机构认为甲型푁1퐻1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为 “连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新 增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A.甲地：总体均值为3，中位数为4 B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C.丙地：中位数为2，众数为3 D.丁地：总体均值为2，总体方差为3 三、解答题（共 5 小题，满分 78 分） 19. 已知复数푧 = 푎 + 푏푖(푎、푏 ∈ 푅+)（퐼是虚数单位）是方程푥2 ― 4푥 +5 = 0的根．复 数푤 = 푢 +3푖(푢 ∈ 푅)满足|푤 ― 푧| < 2 5，求푢的取值范围． 20. 已知 △ 퐴퐵퐶的角퐴、퐵、퐶所对的边分别是푎、푏、푐，设向量 → 푚 = (푎,푏)， → 푛 = (sin퐵, sin퐴)， → 푝 = (푏 ― 2,푎 ― 2)． （1）若 → 푚 //  → 푛，求证： △ 퐴퐵퐶为等腰三角形； （2）若 → 푚 ⊥ → 푝，边长푐＝2，角퐶 = 휋 3，求 △ 퐴퐵퐶的面积． 21. 有时可用函数푓(푥) = {0.1 + 151푛 푎 푎 ― 푥 푥 ≤ 6 푥 ― 4.4 푥 ― 4 푥 > 6  ，描述学习某学科知识的掌握程 度．其中푥表示某学科知识的学习次数(푥 ∈ 푁∗)，푓(푥)表示对该学科知识的掌握程度， 正实数푎与学科知识有关． （1）证明：当푥 ≥ 7时，掌握程度的增长量푓(푥 +1) ― 푓(푥)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的푎的取值区间分别为(115, 121]，(121, 127]， 3 / 5 (127, 133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科． 22. 已知双曲线퐶的中心是原点，右焦点为퐹( 3，0)，一条渐近线푚:푥 + 2푦 = 0，设 过点퐴( ― 3 2, 0)的直线푙的方向向量푒 = (1, 푘)， （1）求双曲线퐶的方程； （2）若过原点的直线푎 // 푙，且푎与푙的距离为 6，求푘的值； （3）证明：当푘 > 2 2 时，在双曲线퐶的右支上不存在点푄，使之到直线푙的距离为 6． 23. 已知{푎푛}是公差为푑的等差数列，{푏푛}是公比为푞的等比数列 （1）若푎푛 = 3푛 +1，是否存在푚，푛 ∈ 푁∗，有푎푚 + 푎푚+1 = 푎푘？请说明理由； （2）若푏푛 = 푎푞푛(푎、푞为常数，且푎푞 ≠ 0)对任意푚存在푘，有푏푚 ⋅ 푏푚+1 = 푏푘，试求푎、 푞满足的充要条件； （3）若푎푛 = 2푛 +1，푏푛 = 3푛试确定所有的푝，使数列{푏푛}中存在某个连续푝项的和式数 列中{푎푛}的一项，请证明． 4 / 5 参考答案与试题解析 2009 年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分） 1.3 푥 ― 1 2.푎 ≤ 1 3.푥 > 8 3且푥 ≠ 4 4.푦 = {푥 ― 2,푥 > 1 2푥，푥 ≤ 1 5.arctan 5 6.3 7. ― 9 8.8 3휋 9.2 6 10.1 ― 2 11.5 7 12.3 13.14 14.(3, 3) 二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 15.C 16.B 17.A 18.B 三、解答题（共 5 小题，满分 78 分） 19. ― 2 < 푢 < 6． 20.∵ 푚 // 푛 ∴ 푎sin퐴＝푏sin퐵 即푎 ⋅ 푎 2푅 = 푏 ⋅ 푏 2푅．其中푅为 △ 퐴퐵퐶外接圆半径． ∴ 푎＝푏 ∴ △ 퐴퐵퐶为等腰三角形． 由题意，푚 ⋅ 푝＝0 ∴ 푎(푏 ― 2) + 푏(푎 ― 2)＝0 ∴ 푎 + 푏＝푎푏 由余弦定理4＝푎2 + 푏2 ― 2푎푏 ⋅ cos휋 3 ∴ 4＝푎2 + 푏2 ― 푎푏＝(푎 + 푏)2 ― 3푎푏 ∴ (푎푏)2 ― 3푎푏 ― 4＝0 ∴ 푎푏＝4或푎푏＝ ― 1（舍去） ∴ 푆△퐴퐵퐶 = 1 2푎푏sin퐶 = 1 2 × 4 × sin 휋 3 = 3 21.当푥 ≥ 7时，푓(푥 +1) ― 푓(푥) = 0.4 (푥 ― 3)(푥 ― 4) 而当푥 ≥ 7时，函数푦＝(푥 ― 3)(푥 ― 4)单调递增，且(푥 ― 3)(푥 ― 4) > 0 故函数푓(푥 +1) ― 푓(푥)单调递减 当푥 ≥ 7时，掌握程度的增长量푓(푥 +1) ― 푓(푥)总是下降 由题意可知0.1 + 151푛 푎 푎 ― 6 = 0.85 整理得 푎 푎 ― 6 = 푒0.05 解得푎 = 푒0.05 푒0.05 ― 1 ⋅ 6 = 20.50 × 6 = 123,123 ∈ (121,127] 由此可知，该学科是乙学科.. 22.（1）解：由题意知，푐 = 3，푏 푎 = 2 2 ，再由푐2 = 푎2 + 푏2，푎 = 2，푏 = 1，∴ 双 曲线方程为：푥2 2 ― 푦2 = 1． （2）解：直线푙的方程푦 ― 0 = 푘(푥 +3 2)，即푘푥 ― 푦 +3 2푘 = 0．∵ 过原点的直线 푎 // 푙，∴ 直线푎方程为：푘푥 ― 푦 = 0， 两平行线间的距离 |3 2푘| 1 + 푘2 = 6，∴ 푘 =± 2 2 ． （3）证明：设过原点且平行于푙的直线푏:푘푥 ― 푦 = 0， 则直线푙与푏的距离푑 = 3 2|푘| 1 + 푘2，当푘 > 2 2 时，푑 > 6． 又双曲线퐶的渐近线为푥 ± 2푦 = 0， 5 / 5 ∴ 双曲线퐶的右支在直线푏的右下方，∴ 双曲线퐶右支上的任意点到直线푙的距离 大于 6， 故在双曲线퐶的右支上不存在点푄，使之到直线푙的距离为 6． 23.解：（1）由푎푚 + 푎푚+1 = 푎푘，得6푚 +6 + 3푘 +1， 整理后，可得푘 ― 2푚 = 4 3，∵ 푚、푘 ∈ 푁， ∴ 푘 ― 2푚为整数∴ 不存在푛、푘 ∈ 푁∗，使等式成立． （2）当푚 = 1时，则푏1 ⋅ 푏2 = 푏푘， ∴ 푎2 ⋅ 푞3 = 푎푞푘∴ 푎 = 푞푘―3，即푎 = 푞푐，其中푐是大于等于 ― 2的整数 反之当푎 = 푞푐时，其中푐是大于等于 ― 2的整数，则푏푛 = 푞푛+푐， 显然푏푚 ⋅ 푏푚+1 = 푞푚+푐 ⋅ 푞푚+1+푐 = 푞2푚+1+2푐 = 푏푘，其中푘 = 2푚 +1 + 푐 ∴ 푎、푞满足的充要条件是푎 = 푞푐，其中푐是大于等于 ― 2的整数 （3）设푏푚+1 + 푏푚+2 +... + 푏푚+푝 = 푎푘 当푝为偶数时，( ∗ )式左边为偶数，右边为奇数， 当푝为偶数时，( ∗ )式不成立． 由( ∗ )式得3푚+1(1 ― 3푝) 1 ― 3 = 2푘 +1， 整理得3푚+1(3푝 ― 1) = 4푘 +2 当푝 = 1时，符合题意． 当푝 ≥ 3，푝为奇数时，3푝 ― 1 = (1 + 2)푝 ― 1 = 퐶0푝 + 퐶1푝 ⋅ 21 + 퐶2푝 ⋅ 22 + + 퐶푝푝 ⋅ 2푝 ― 1 = 퐶1푝 ⋅ 21 + 퐶2푝 ⋅ 22 + + 퐶푝푝 ⋅ 2푝 = 2(퐶1푝 + 퐶2푝 ⋅ 2 + + 퐶푝푝 ⋅ 2푝―1) = 2[2(퐶2푝 + 퐶2푝 ⋅ 22 + + 퐶푝푝 ⋅ 2푝―2) + 푝] ∴ 由3푚+1(3푝 ― 1) = 4푘 +2，得3푚+1[2(퐶2푝 + 퐶2푝 ⋅ 22 + + 퐶푝푝 ⋅ 2푝―2) + 푝] = 2푘 +1 ∴ 当푝为奇数时，此时，一定有푚和푘使上式一定成立． ∴ 当푝为奇数时，命题都成立．