- 451.00 KB
- 2021-06-25 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第1讲 三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[核心提炼]
1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan α.
3.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
[典型例题]
(1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标是( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·长春一模)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin β的值为________.
(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
①求sin的值;
②若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
【解】 (1)选A.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx=,
所以Q,
即Q点的坐标为.故选A.
(2)2tan(π-α)-3cos+5=0化简为-2tan α+3sin β+5=0,tan(π+α)+
- 20 -
6sin(π+β)=1化简为tan α-6sin β=1,因而sin β=.故填.
(3)①由角α的终边过点P得sin α=-,
所以sin(α+π)=-sin α=.
②由角α的终边过点P得cos α=-,
由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.
由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以cos β=-或cos β=.
应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
[对点训练]
1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则的值为________.
解析:原式==tan α.
根据三角函数的定义,得tan α==-,
所以原式=-.
答案:-
2.已知θ是第四象限角,且sin=,则tan
=________.
解析:法一:因为sin =,所以cos=sin=sin=,因为θ
- 20 -
为第四象限角,
所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<θ-<2kπ-,k∈Z,所以sin=-=-,
所以tan==-.
法二:因为θ是第四象限角,且sin=,所以θ+为第一象限角,所以cos=,所以tan===-=-.
答案:-
三角函数的图象及应用
[核心提炼]
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换
y=sin xy=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
[典型例题]
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
- 20 -
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )
A. B. C.0 D.-
(3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.[1,2] C.(0,1] D.(1,2)
【解析】 (1)由题图易知A=2,因为周期T满足=-,所以T=π,ω==2.由x=时,y=2可知2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),结合选项可知函数解析式为y=2sin.
(2)令y=f(x)=sin(2x+φ),
则f=sin=sin,
因为f为偶函数,
所以+φ=kπ+,
所以φ=kπ+,k∈Z,
所以当k=0时,φ=.
故φ的一个可能的值为.
- 20 -
故选B.
(3)画出函数f(x)在[0,2π]的图象,如图所示:
若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,
即y=f(x)和y=m在[0,2π]内恰有4个不同的交点,
结合图象,知0<m<1.
【答案】 (1)A (2)B (3)A
解决三角函数图象问题的方法及注意事项
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换,变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
[对点训练]
1.(2019·兰州市诊断考试)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )
A. B.
C. D.1
解析:选C.由图知,=,即T=π,则ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ),
因为点在函数f(x)的图象上,
- 20 -
所以sin=0,
即+φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=sin,
因为x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),
所以=,
所以x1+x2=,
所以f(x1+x2)=sin=.
2.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
解析:选D.易知C1:y=cos x=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2,故选D.
三角函数的性质
[核心提炼]
1.三角函数的单调区间
- 20 -
y=sin x的单调递增区间是(k∈Z),
单调递减区间是(k∈Z);
y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tan x的递增区间是(k∈Z).
2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=(k∈Z)时为奇函数.
[典型例题]
已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
【解】 (1)由sin =,cos =-,f=--2××,得f=2.
(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin x·cos x得
f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得
+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以,f(x)的单调递增区间是
- 20 -
(k∈Z).
三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法
求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx+φ=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求解.
(2)三角函数周期性的求法
函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为T=.
(3)三角函数最值(或值域)的求法
在求最值(或值域)时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值.
[对点训练]
1.(2019·杭州市高三期末检测)设A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min=2π,则正实数ω=( )
A. B.1 C. D.2
解析:选B.函数f(x)=sin|ωx|=,ω为正数,所以f(x)的最小值是-1,如图所示:
设A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,
且|AB|min=T==2π,
解得ω=1.故选B.
2.(2019·台州调研)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.
解析:由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立,故当x=时,函数f(x)有最大值,
- 20 -
故f=1,-=2kπ(k∈Z),所以ω=8k+(k∈Z),又ω>0,所以ωmin=.
答案:
3.(2019·高考浙江卷)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=+的值域.
解:(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数x都有
sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=或.
(2)y=+
=sin2+sin2
=+
=1-
=1-cos.
因此,函数的值域是.
三角函数与其他知识的交汇
[核心提炼]
三角函数的图象与性质是高考考查的重点,近年来,三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点,由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇.
[典型例题]
- 20 -
(1)(2019·台州市高考一模)已知θ∈[0,π),若对任意的x∈[-1,0],不等式x2cos θ+(x+1)2sin θ+x2+x>0恒成立,则实数θ的取值范围是( )
A. B. C. D.
(2)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为________;当ω最小时,函数g(x)=f-在区间[0,22]的零点个数为________.
【解析】 (1)设f(x)=x2cos θ+(x+1)2sin θ+x2+x=(1+sin θ+cos θ)x2+(2sin θ+1)x+sin θ,
因为θ∈[0,π),
所以1+cos θ+sin θ≠0,且其对称轴为x=-.
因为f(x)在[-1,0]的最小值为f(0)或f(1)或f,
所以,即,
所以.所以<θ<.
(2)由题意得φ=,且当x=时,函数f(x)取到最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈N,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,因此,g(x)=f-=sin x-的零点个数是8个.
【答案】 (1)A (2)1+12k(k∈N) 8
解决三角函数与其他知识的交汇问题,可利用数形结合思想.利用“数形结合”思想还可以解决以下问题:
(1)讨论含有参数的方程的解的个数问题.
(2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题.
(3)求一些特殊函数的周期.
- 20 -
(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等.
[对点训练]
1.(2019·湖州市高三期末考试)若α,β∈,且αsin α-βsin β>0,则必有( )
A.α2<β2 B.α2>β2
C.α<β D.α>β
解析:选B.α,β∈,且αsin α-βsin β>0,即αsin α>βsin β,再根据y=xsin x为偶函数,且在上单调递增,可得|α|>|β|,即α2>β2,故选B.
2.(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t+1)cos x-tsin x=t+2在(0,π)上有实根,则实数t的最大值是________.
解析:由题意可得,-==1-,
令P(cos x,sin x),A(2,1),
则kPA=,因为x∈(0,π),所以-10)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析:选D.由T==,又f(x)的最大值为2,所以=2,
即ω=,
所以f(x)=2sin.
当2kπ-≤πx-≤2kπ+,
- 20 -
即2k-≤x≤2k+,k∈Z时函数f(x)单调递增,
则f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为.
7.(2019·温州调研)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.因为x∈,所以ωx+∈,因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,
所以
又ω>0,所以0<ω≤,选B.
8.(2019·宁波市高三调研)已知函数f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,则f(x)的值域是( )
A.[-1,1] B.
C. D.
解析:选C.f(x)=
作出[0,2π]区间内f(x)的图象,如图所示,
由f(x)的图象,可得f(x)的值域为.
9.(2019·宁波市高考模拟)已知函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为______,振幅的最小值为________.
解析:函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,
- 20 -
化简可得:f(x)=sin(2x+θ)=·sin(2x+θ),其tan θ=.
函数f(x)的最小正周期T==π.
振幅为 ,
当a=-时,可得振幅的最小值.
答案:π
10.已知-<α<0,sin α+cos α=,则sin α-cos α=________.
解析:sin α+cos α=,平方可得sin2α+2sin α·cos α+cos2α=,即2sin α·cos α=-,因为(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=,又-<α<0,所以sin α<0,cos α>0,所以sin α-cos α<0,
所以sin α-cos α=-.
答案:-
11.已知f(x)=sin 2x-cos 2x,若对任意实数x∈,都有|f(x)|0),若方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为________.
解析:因为f(x)=2sin,方程2sin=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,即sin=-在(0,π)上有且只有四个实数根.设t=ωx-,因为0
相关文档
- 【数学】2014高考专题复习:第4章 三2021-06-25122页
- 浙江专用2021届高考数学一轮复习第2021-06-2529页
- 【数学】2020届数学(理)一轮复习人教2021-06-2511页
- 高一三角函数试题及答案:同角三角函2021-06-257页
- 2018届二轮复习三角函数、向量课件2021-06-25287页
- 浙江专用2020高考数学二轮复习专题2021-06-2549页
- 三角函数的图象与性质教案52021-06-253页
- 2021届高考数学一轮总复习第三章三2021-06-2549页
- 高考数学一轮复习练案24第三章三角2021-06-2510页
- 2020届二轮复习三角函数的图象和性2021-06-259页