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  • 2021-06-25 发布

2019年高考数学精讲二轮教案第二讲圆锥曲线的方程与性质

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第二讲 圆锥曲线的方程与性质 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=‎2a(‎2a>|F‎1F2|);‎ ‎(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=‎2a(‎2a<|F‎1F2|);‎ ‎(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2018·江西九江模拟)F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且∠AF‎1F2=45°,则△AF‎1F2的面积为(  )‎ A.7 B. C. D. ‎[解析] 由题意可得,a=3,b=,c=,|AF1|+|AF2|=6.‎ ‎∴|AF2|=6-|AF1|.‎ 在△AF‎1F2中,|AF2|2=|AF1|2+|F‎1F2|2-2|AF1|·|F‎1F2|·cos45°=|AF1|2-4|AF1|+8,∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8,‎ 解得|AF1|=,‎ ‎∴△AF‎1F2的面积S=××2×=,故选C.‎ ‎[答案] C ‎2.(2018·河南新乡二模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)‎ 的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若=2,且||=4,则双曲线C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[解析] 不妨设B(0,b),由=2,F(c,0),可得A,代入双曲线C的方程可得×-=1,即·=,∴=,①‎ 又||==4,c2=a2+b2,‎ ‎∴a2+2b2=16,②‎ 由①②可得,a2=4,b2=6,‎ ‎∴双曲线C的方程为-=1,故选D.‎ ‎[答案] D ‎3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线的方程为(  )‎ A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=x ‎[解析] 设M(x,y),因为|OF|=,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,由抛物线定义知x+=2p,所以x=p,所以y=±p,又△MFO的面积为4,所以××p=4,解得p=4(p=-4舍去).所以抛物线的方程为y2=8x,故选B.‎ ‎[答案] B ‎4.(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线-=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为(  )‎ A.4+ B.4(1+)‎ C.2(+) D.+3 ‎[解析] 由题意知F(,0),设左焦点为F0,则F0(-,0),由题可知△APF的周长l为|PA|+|PF|+|AF|,而|PF|=‎2a+|PF0|,∴l=|PA|+|PF0|+‎2a+|AF|≥|AF0|+|AF|+‎2a=++2×2=4+4=4(+1),当且仅当A、F0、P三点共线时取得“=”,故选B.‎ ‎[答案] B ‎[快速审题] 看到求圆锥曲线方程,想到待定系数法、定义法;看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形,想到定义的应用.‎ ‎ 求解圆锥曲线标准方程的思路方法 ‎(1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.‎ ‎(2)计算,即利用定义或待定系数法求出方程中的a2,b2或p.‎ 考点二 圆锥曲线的几何性质 ‎1.在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e== .‎ ‎2.在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.‎ ‎3.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.‎ ‎ ‎ ‎[解析] (1)解法一:由题意知,e==,所以c=a,所以b==a,所以=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选A.‎ 解法二:由e== =,得=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选A.‎ ‎(2)设|F‎1F2|=‎2c,|AF1|=m,‎ 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,所以|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m.由椭圆的定义可知△F1AB的周长为‎4a,‎ 所以‎4a=‎2m+m,m=2(2-)a.‎ 所以|AF2|=‎2a-m=(2-2)a.‎ 因为|AF1|2+|AF2|2=|F‎1F2|2,‎ 所以4(2-)‎2a2+4(-1)‎2a2=‎4c2,‎ 所以e2=9-6,e=-,故选D.‎ ‎[答案] (1)A (2)D ‎[探究追问1] 本例(2)中若椭圆改为双曲线-=1(a>0,b>0)过F2的直线与双曲线交于A,B两点,其他条件不变,则双曲线离心率e的值为________.‎ ‎[解析] 如图所示:‎ 因为|AF1|-|AF2|=‎2a,|BF1|-|BF2|=‎2a,|AF1|=|AF2|+|BF2|,‎ 所以|BF2|=‎2a,|BF1|=‎4a.‎ 所以|AF1|=‎2a,|AF2|=‎2a-‎2a.‎ 因为|F‎1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,‎ 所以(‎2c)2=(‎2a)2+(‎2a-‎2a)2,‎ 所以e2=5-2,e=.‎ ‎[答案]  ‎[探究追问2] 在本例(2)中若条件变为“在双曲线-=1(a>0,b>0)中,A1,A2是左、右顶点,F是右焦点,B是虚轴的上端点,若在线段BF上存在点P,使得△PA‎1A2构成以A‎1A2为斜边的直角三角形”,则双曲线离心率e的取值范围是________.‎ ‎[解析] 由题意知以线段A‎1A2为直径的圆和线段BF有公共点,则原点到直线BF的距离小于或等于a,‎ 又直线BF的方程为+=1,即bx+cy-bc=0,‎ 所以≤a,整理得a4-‎3a‎2c2+c4≤0,‎ 即e4-3e2+1≤0,解得≤e2≤,又e>1,所以1b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C.-1 D.4-2 ‎[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c.由y=-x得∠AOF2=,∠AOF1=,∴|AF2|=c,|AF1|=c.由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=‎2a,‎ ‎∴c+c=‎2a,∴e==-1,故选C.‎ ‎[答案] C ‎2.(2018·南昌调研)已知F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=‎6a,且△PF‎1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是(  )‎ A.x±y=0 B.x±y=0‎ C.x±2y=0 D.2x±y=0‎ ‎[解析] 由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,‎ ‎|PF1|-|PF2|=‎2a,‎ 又|PF1|+|PF2|=‎6a,‎ 解得|PF1|=‎4a,|PF2|=‎2a.‎ 在△PF‎1F2中,|F‎1F2|=‎2c,而c>a,‎ 所以|PF2|<|F‎1F2|,‎ 所以∠PF‎1F2=30°,所以(‎2a)2=(‎2c)2+(‎4a)2-2×‎2c×4acos30°,‎ 得c=a,所以b==a,‎ 所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0,故选A.‎ ‎[答案] A 考点三 抛物线中的最值问题 抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.‎ ‎[解题指导] ‎ ―→―→‎ ―→ ‎(2)―→―→ ‎[解析] (1)由题意得圆x2+(y-4)2=1的圆心C(0,4),半径r=1,抛物线的焦点F(1,0).由抛物线的几何性质可得:点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|CF|-r=-1=-1,故选C.‎ ‎(2)过P作PM⊥l于M,则由抛物线定义知|PM|=|PF|,‎ 故|PA|+|PF|=|PA|+|PM|.‎ 当A、P、M三点共线时,‎ ‎|PA|+|PM|最小,此时点P坐标为(2,2),故选C.‎ ‎[答案] (1)C (2)C ‎ 与抛物线最值有关问题的两种转化 ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2018·郑州检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎[解析] 由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则 ‎|MM1|=.因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点M到 x轴的距离d≥2,故选D.‎ ‎[答案] D ‎2.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点,O为坐标原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为(  )‎ A.6 B.2+4 C.2 D.4 ‎[解析] 由已知可得抛物线y2=-8x的焦点为F(-2,0),准线方程为x=2.设点A的坐标为(x0,y0),根据抛物线的定义可得2-x0=4,所以x0=-2,y0=±4.O关于准线的对称点为O′(4,0),则当点P为AO′与准线x=2的交点时,|PA|+|PO|有最小值,且最小值为|AO′|=2,故选C.‎ ‎[答案] C ‎1.(2018·浙江卷)双曲线-y2=1的焦点坐标是(  )‎ A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0)‎ C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2)‎ ‎[解析] ∵a2=3,b2=1,∴c==2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0),故选B.‎ ‎[答案] B ‎2.(2018·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[解析] ∵双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e2=1+=4,∴=3,即b2=‎3a2,∴c2=a2+b2=‎4a2,‎ 由题意可设A(‎2a,‎3a),B(‎2a,-‎3a),‎ ‎∵=3,∴渐近线方程为y=±x,‎ 则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1==a,d2==a,又∵d1+d2=6,∴a+a=6,解得a=,∴b2=9,∴双曲线的方程为-=1,故选C.‎ ‎[答案] C ‎3.(2018·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF‎1F2为等腰三角形,∠F‎1F2P=120°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 由题意易知直线AP的方程为y=(x+a),①‎ 直线PF2的方程为y=(x-c).②‎ 联立①②得y=(a+c),‎ 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c).‎ 因为∠PF2H=60°,PF2=F‎1F2=‎2c,PH=(a+c),‎ 所以sin60°==‎ =,‎ 即a+c=‎5c,即a=‎4c,‎ 所以e==,故选D.‎ ‎[答案] D ‎4.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是________.‎ ‎[解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,∴b=c,∴b2=c2,又b2=c2-a2,∴‎ c2=‎4a2,∴e==2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎5.(2018·北京卷)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.‎ ‎[解析] ‎ 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.‎ ‎∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=x,‎ ‎∴=.设m=k,则n=k,则双曲线N的离心率e2==2.‎ 连接F‎1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF‎1F2=30°.‎ 设椭圆的焦距为‎2c,则|CF2|=c,|CF1|=c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=‎2a,即(+1)c=‎2a,∴椭圆M的离心率e1=== ‎=-1.‎ 解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组 解得=-1.‎ ‎[答案] -1 2‎ 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容.以选择、填空题的形式考查,常出现在第4~11或15~16题的位置,着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程,难度中等.‎ 热点课题15 几何情境下的圆锥曲线问题 ‎ [感悟体验]‎ ‎1.(2018·福建福州质检)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,|F‎1F2|=6,P是E右支上的一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|=,则E的离心率是(  )‎ A.2 B. C. D. ‎[解析] 如图所示,设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N,依题意,有|MA|=|AQ|,|NP|=|MP|,|NF2|=|QF2|,|AF1|=|AF2|=|QA|+|QF2|,‎2a=|PF1|-|PF2|=(|AF1|+|MA|+|MP|)-(|NP|+|NF2|)=2|QA|=2,故a=,从而e===,故选C.‎ ‎[答案] C ‎2.‎ ‎(2018·贵阳监测)已知点P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是________.‎ ‎[解析] 由题意可知,ON为△PF‎1F2的中位线,∴PF1∥ON,‎ ‎∴tan∠PF‎1F2=tan∠NOF2=kON=,‎ ‎∴ 解得 又|PF2|-|PF1|=‎2a,∴2b-‎2a=‎2a,b=‎2a,c==a,e==.‎ ‎[答案]  专题跟踪训练(二十五)‎ 一、选择题 ‎1.(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于(  )‎ A. B.‎1 C. D.2‎ ‎[解析] 由题意3x0=x0+,x0=,则=2,∵p>0,∴p=2,故选D.‎ ‎[答案] D ‎2.(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎[解析] 椭圆3x2+8y2=24的焦点为(±,0),可得c=,设所求椭圆的方程为+=1,可得+=1,又a2-b2=5,得b2=10,a2=15,所以所求的椭圆方程为+=1,故选C.‎ ‎[答案] C ‎3.(2018·福州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合,且其离心率e=,则该双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[解析] 易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以双曲线的右顶点是(2,0),所以a=2.又双曲线的离心率e=,所以c=3,b2=c2-a2=5,所以双曲线的方程为-=1,故选A.‎ ‎[答案] A ‎4.(2018·合肥二模)若中心在原点,焦点在y轴上的双曲线离心率为,则此双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎[解析] 根据题意,该双曲线的离心率为,即e==,则有c=a,进而b==a.又由该双曲线的焦点在y轴上,则其渐近线方程为y=±x=±x,故选B.‎ ‎[答案] B ‎5.(2018·郑州一模)已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为1,则p的值为(  )‎ A.1 B. C.2 D.4‎ ‎[解析] 双曲线-x2=1的两条渐近线方程是y=±2x,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-,故A,B两点的纵坐标分别是y=±p ‎.又△AOB的面积为1,∴··2p=1.∵p>0,∴得p=,故选B.‎ ‎[答案] B ‎6.(2018·东北三校联考)已知F1,F2是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与E的左支交于P,Q两点,若|PF1|=2|F1Q|,且F2Q⊥PQ,则E的离心率是(  )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 设|F1Q|=t(t>0),则|PF1|=2t,由双曲线的定义有,|F2Q|=t+‎2a,|PF2|=2t+‎2a,又F2Q⊥PQ,所以△F‎1F2Q,△PQF2都为直角三角形.由勾股定理有即 解得 故离心率e==,故选D.‎ ‎[答案] D ‎7.(2018·长沙一模)A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是(  )‎ A.x=-1 B.y=-1‎ C.x=-2 D.y=-2‎ ‎[解析] 过A向准线作垂线,设垂足为B,准线与x轴的交点为D.因为∠OFA=120°,所以△ABF为等边三角形,∠DBF=30°,从而p=|DF|=2,因此抛物线的准线方程为x=-1,故选A.‎ ‎[答案] A ‎8.(2018·陕西西安三模)已知圆x2+y2-4x+3=0与双曲线-=1‎ 的渐近线相切,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B.2 C.2 D. ‎[解析] 将圆的一般方程x2+y2-4x+3=0化为标准方程(x-2)2+y2=1.由圆心(2,0)到直线x-y=0的距离为1,得=1,解得2=,所以双曲线的离心率为e= =,故选D.‎ ‎[答案] D ‎9.(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y=x和椭圆+=1(a>b>0)交于不同的两点M,N,若M,N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 由题意可知,M,N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则M点坐标为,则=c,则3b2=2ac,即‎3c2+2ac-‎3a2=0.‎ 上式两边同除以a2,整理得3e2+2e-3=0,解得e=-或e=.由0b>0),∠B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b20,即e2+e-1>0,e>或e<,又00)和抛物线y2=8x有相同的焦点,则双曲线的离心率为________.‎ ‎[解析] 易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以双曲线-=1的焦点为(2,0),则a2+2=22,即a=,所以双曲线的离心率e===.‎ ‎[答案]  ‎14.(2018·湖北八校联考)‎ 如图所示,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为________.‎ ‎[解析] 由题意可得c=5,设右焦点为F′,连接PF′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,∴∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,∴∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|===8,‎ 由椭圆的定义,得|PF|+|PF′|=‎2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,‎ 于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎[答案] +=1‎ ‎15.(2018·西安四校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点,若P恰为线段F1Q的中点,且QF1⊥QF2,则此双曲线的渐近线方程为____________.‎ ‎[解析] 根据题意,P是线段F1Q的中点,QF1⊥QF2,且O是线段F‎1F2的中点,故OP⊥F1Q,而两条渐近线关于y轴对称,故∠POF1=∠QOF2,又∠POF1=∠POQ,所以∠QOF2=60°,渐近线的斜率为±,故渐近线方程为y=±x.‎ ‎[答案] y=±x ‎16.‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.‎ ‎[解析] 由已知条件易得B,C,F(c,0),∴=,=,‎ 由∠BFC=90°,可得·=0,‎ 所以+2=0,‎ c2-a2+b2=0,‎ 即‎4c2-‎3a2+(a2-c2)=0,‎ 亦即‎3c2=‎2a2,‎ 所以=,则e==.‎ ‎[答案]