2019年高考数学精讲二轮教案第二讲圆锥曲线的方程与性质 24页

第二讲　圆锥曲线的方程与性质 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝‎2a(‎2a>|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝‎2a(‎2a<|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2018·江西九江模拟)F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF‎1F2＝45°，则△AF‎1F2的面积为(　　)‎ A．7 B. C. D. ‎[解析]　由题意可得，a＝3，b＝，c＝，|AF1|＋|AF2|＝6.‎ ‎∴|AF2|＝6－|AF1|.‎ 在△AF‎1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F‎1F2|2－2|AF1|·|F‎1F2|·cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，‎ 解得|AF1|＝，‎ ‎∴△AF‎1F2的面积S＝××2×＝，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)‎ 的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[解析]　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，∴＝，①‎ 又||＝＝4，c2＝a2＋b2，‎ ‎∴a2＋2b2＝16，②‎ 由①②可得，a2＝4，b2＝6，‎ ‎∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x ‎[解析]　设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线－＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)‎ A．4＋ B．4(1＋)‎ C．2(＋) D.＋3 ‎[解析]　由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(－，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝‎2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋‎2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋‎2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎[快速审题]　看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．‎ ‎　求解圆锥曲线标准方程的思路方法 ‎(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．‎ ‎(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.‎ 考点二　圆锥曲线的几何性质 ‎1．在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ .‎ ‎2．在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎ ‎ ‎[解析]　(1)解法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.‎ 解法二：由e＝＝ ＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.‎ ‎(2)设|F‎1F2|＝‎2c，|AF1|＝m，‎ 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义可知△F1AB的周长为‎4a，‎ 所以‎4a＝‎2m＋m，m＝2(2－)a.‎ 所以|AF2|＝‎2a－m＝(2－2)a.‎ 因为|AF1|2＋|AF2|2＝|F‎1F2|2，‎ 所以4(2－)‎2a2＋4(－1)‎2a2＝‎4c2，‎ 所以e2＝9－6，e＝－，故选D.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)D ‎[探究追问1]　本例(2)中若椭圆改为双曲线－＝1(a>0，b>0)过F2的直线与双曲线交于A，B两点，其他条件不变，则双曲线离心率e的值为________．‎ ‎[解析]　如图所示：‎ 因为|AF1|－|AF2|＝‎2a，|BF1|－|BF2|＝‎2a，|AF1|＝|AF2|＋|BF2|，‎ 所以|BF2|＝‎2a，|BF1|＝‎4a.‎ 所以|AF1|＝‎2a，|AF2|＝‎2a－‎2a.‎ 因为|F‎1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，‎ 所以(‎2c)2＝(‎2a)2＋(‎2a－‎2a)2，‎ 所以e2＝5－2，e＝.‎ ‎[答案]　 ‎[探究追问2]　在本例(2)中若条件变为“在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点，若在线段BF上存在点P，使得△PA‎1A2构成以A‎1A2为斜边的直角三角形”，则双曲线离心率e的取值范围是________．‎ ‎[解析]　由题意知以线段A‎1A2为直径的圆和线段BF有公共点，则原点到直线BF的距离小于或等于a，‎ 又直线BF的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，‎ 所以≤a，整理得a4－‎3a‎2c2＋c4≤0，‎ 即e4－3e2＋1≤0，解得≤e2≤，又e>1，所以1b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. C.－1 D．4－2 ‎[解析]　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c.由y＝－x得∠AOF2＝，∠AOF1＝，∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝‎2a，‎ ‎∴c＋c＝‎2a，∴e＝＝－1，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎2．(2018·南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝‎6a，且△PF‎1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)‎ A.x±y＝0 B．x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ ‎[解析]　由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，‎ ‎|PF1|－|PF2|＝‎2a，‎ 又|PF1|＋|PF2|＝‎6a，‎ 解得|PF1|＝‎4a，|PF2|＝‎2a.‎ 在△PF‎1F2中，|F‎1F2|＝‎2c，而c>a，‎ 所以|PF2|<|F‎1F2|，‎ 所以∠PF‎1F2＝30°，所以(‎2a)2＝(‎2c)2＋(‎4a)2－2×‎2c×4acos30°，‎ 得c＝a，所以b＝＝a，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0，故选A.‎ ‎[答案]　A 考点三　抛物线中的最值问题 抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．‎ ‎[解题指导]　‎ ―→―→‎ ―→ ‎(2)―→―→ ‎[解析]　(1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心C(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|CF|－r＝－1＝－1，故选C.‎ ‎(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，‎ 故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.‎ 当A、P、M三点共线时，‎ ‎|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)C ‎　与抛物线最值有关问题的两种转化 ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2018·郑州检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎[解析]　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则 ‎|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到 x轴的距离d≥2，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为(　　)‎ A．6 B．2＋4 C．2 D．4 ‎[解析]　由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎1．(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)‎ A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)‎ C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)‎ ‎[解析]　∵a2＝3，b2＝1，∴c＝＝2.又∵焦点在x轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎2．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[解析]　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝‎3a2，∴c2＝a2＋b2＝‎4a2，‎ 由题意可设A(‎2a,‎3a)，B(‎2a，－‎3a)，‎ ‎∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，‎ 则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9，∴双曲线的方程为－＝1，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF‎1F2为等腰三角形，∠F‎1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①‎ 直线PF2的方程为y＝(x－c)．②‎ 联立①②得y＝(a＋c)，‎ 如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)．‎ 因为∠PF2H＝60°，PF2＝F‎1F2＝‎2c，PH＝(a＋c)，‎ 所以sin60°＝＝‎ ＝，‎ 即a＋c＝‎5c，即a＝‎4c，‎ 所以e＝＝，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．‎ ‎[解析]　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴‎ c2＝‎4a2，∴e＝＝2.‎ ‎[答案]　2‎ ‎5．(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．‎ ‎[解析]　‎ 解法一：如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．‎ ‎∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，‎ ‎∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.‎ 连接F‎1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF‎1F2＝30°.‎ 设椭圆的焦距为‎2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝‎2a，即(＋1)c＝‎2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝ ‎＝－1.‎ 解法二：双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组 解得＝－1.‎ ‎[答案]　－1　2‎ 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．‎ 热点课题15　几何情境下的圆锥曲线问题 ‎ [感悟体验]‎ ‎1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F‎1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝，则E的离心率是(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎[解析]　如图所示，设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，‎2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2，故a＝，从而e＝＝＝，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎2.‎ ‎(2018·贵阳监测)已知点P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是________．‎ ‎[解析]　由题意可知，ON为△PF‎1F2的中位线，∴PF1∥ON，‎ ‎∴tan∠PF‎1F2＝tan∠NOF2＝kON＝，‎ ‎∴ 解得 又|PF2|－|PF1|＝‎2a，∴2b－‎2a＝‎2a，b＝‎2a，c＝＝a，e＝＝.‎ ‎[答案]　 专题跟踪训练(二十五)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　)‎ A. B．‎1 C. D．2‎ ‎[解析]　由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>0，∴p＝2，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[解析]　椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±，0)，可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎3．(2018·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[解析]　易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a＝2.又双曲线的离心率e＝，所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.‎ ‎[答案]　A ‎4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎[解析]　根据题意，该双曲线的离心率为，即e＝＝，则有c＝a，进而b＝＝a.又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎5．(2018·郑州一模)已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．4‎ ‎[解析]　双曲线－x2＝1的两条渐近线方程是y＝±2x，抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±p ‎.又△AOB的面积为1，∴··2p＝1.∵p>0，∴得p＝，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎6．(2018·东北三校联考)已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|＝2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　设|F1Q|＝t(t>0)，则|PF1|＝2t，由双曲线的定义有，|F2Q|＝t＋‎2a，|PF2|＝2t＋‎2a，又F2Q⊥PQ，所以△F‎1F2Q，△PQF2都为直角三角形．由勾股定理有即 解得 故离心率e＝＝，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎7．(2018·长沙一模)A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)‎ A．x＝－1 B．y＝－1‎ C．x＝－2 D．y＝－2‎ ‎[解析]　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A.‎ ‎[答案]　A ‎8．(2018·陕西西安三模)已知圆x2＋y2－4x＋3＝0与双曲线－＝1‎ 的渐近线相切，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B．2 C．2 D. ‎[解析]　将圆的一般方程x2＋y2－4x＋3＝0化为标准方程(x－2)2＋y2＝1.由圆心(2,0)到直线x－y＝0的距离为1，得＝1，解得2＝，所以双曲线的离心率为e＝ ＝，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y＝x和椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　由题意可知，M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M点坐标为，则＝c，则3b2＝2ac，即‎3c2＋2ac－‎3a2＝0.‎ 上式两边同除以a2，整理得3e2＋2e－3＝0，解得e＝－或e＝.由0b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又00)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．‎ ‎[解析]　易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线－＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.‎ ‎[答案]　 ‎14．(2018·湖北八校联考)‎ 如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________．‎ ‎[解析]　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，‎ 由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝‎2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，‎ 于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎[答案]　＋＝1‎ ‎15．(2018·西安四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点，若P恰为线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为____________．‎ ‎[解析]　根据题意，P是线段F1Q的中点，QF1⊥QF2，且O是线段F‎1F2的中点，故OP⊥F1Q，而两条渐近线关于y轴对称，故∠POF1＝∠QOF2，又∠POF1＝∠POQ，所以∠QOF2＝60°，渐近线的斜率为±，故渐近线方程为y＝±x.‎ ‎[答案]　y＝±x ‎16.‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ ‎[解析]　由已知条件易得B，C，F(c,0)，∴＝，＝，‎ 由∠BFC＝90°，可得·＝0，‎ 所以＋2＝0，‎ c2－a2＋b2＝0，‎ 即‎4c2－‎3a2＋(a2－c2)＝0，‎ 亦即‎3c2＝‎2a2，‎ 所以＝，则e＝＝.‎ ‎[答案]