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  • 2021-06-25 发布

高中数学必修4:2_1平面向量的实际背景及基本概念(教\学案)

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‎2. 1平面向量的实际背景及基本概念 教材分析:‎ 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。‎ 向量不同于数量,它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此,本章在介绍向量概念时,重点说明了向量与数量的区别,然后又重新给出了向量代数的部分运算法则,包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后,又将向量与坐标联系起来,把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。‎ 本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”,内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。‎ 本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发,抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。‎ 在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义;在“向量的几何表示”中,主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中,主要介绍相等向量,共线向量定义等。‎ 教学目标:‎ ‎1、了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.‎ ‎2、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.‎ ‎3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.‎ 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.‎ 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.‎ 学 法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.‎ 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学过程:‎ 一、情景设置:‎ A B C D 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图)‎ 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.‎ 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.‎ 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?‎ 二、新课学习:‎ ‎ (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 ‎(二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片)‎ ‎1、数量与向量有何区别?‎ ‎2、如何表示向量?‎ ‎3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?‎ ‎4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?‎ ‎5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?‎ ‎6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?‎ ‎7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?‎ ‎ (三)探究学习 ‎1、数量与向量的区别:‎ 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;‎ 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. ‎ A(起点)‎ ‎ B ‎(终点)‎ a ‎2.向量的表示方法:‎ ‎①用有向线段表示;‎ ‎②用字母a、b ‎(黑体,印刷用)等表示;‎ ‎③用有向线段的起点与终点字母:;‎ ‎④向量的大小――长度称为向量的模,记作||. ‎ ‎3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.‎ 向量与有向线段的区别:‎ ‎(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;‎ ‎(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.‎ ‎4、零向量、单位向量概念:‎ ‎①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.‎ 注意0与0的含义与书写区别.‎ ‎②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.‎ 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.‎ ‎5、平行向量定义:‎ ‎①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.‎ 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.‎ ‎6、相等向量定义:‎ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.‎ 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;‎ ‎(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.‎ ‎7、共线向量与平行向量关系:‎ 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).‎ 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.‎ ‎(四)理解和巩固:‎ ‎ 例1 书本86页例1.‎ 例2判断:‎ ‎(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)‎ ‎(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)‎ ‎(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)‎ ‎(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)‎ ‎(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)‎ ‎(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同)‎ ‎(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)‎ 例3下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b 至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.‎ 例4 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.‎ 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)‎ 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)‎ 变式三:与向量共线的向量有哪些?()‎ 课堂练习:‎ ‎1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ‎①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上; ‎②单位向量都相等; ‎③任一向量与它的相反向量不相等; ‎④四边形ABCD是平行四边形当且仅当= ‎ ‎⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0; ‎⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.‎ 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.‎ ‎②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.‎ ‎③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.‎ ‎2.书本88页练习 三、小结 :‎ 1、 描述向量的两个指标:模和方向.‎ 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.‎ 3、 向量的图示,要标上箭头和始点、终点.‎ 四、课后作业:‎ ‎ 书本88页习题2.1第3、5题 ‎2.1平面向量的实际背景及基本概念 课前预习学案 一、预习目标 通过阅读教材初步了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.‎ 二、预习内容 ‎(一)、情景设置:‎ A B C D 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图)‎ 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.‎ 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.‎ 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?‎ ‎(二)、新课预习:‎ ‎ 1、向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 ‎2、请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片)‎ 1) 数量与向量有何区别?‎ 2) 如何表示向量?‎ 3) 有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?‎ 4) 长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?‎ 5) 满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?‎ 6) 有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?‎ 7) 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各 向量的终点之间有什么关系?‎ 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎1、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.‎ ‎2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.‎ 二、学习过程 ‎1、数量与向量的区别?‎ ‎-‎ A(起点)‎ ‎ B ‎(终点)‎ a ‎2.向量的表示方法?‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③ ‎ ‎④向量的大小――长度称为向量的模,记作 。 ‎ ‎3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素: 。‎ 向量与有向线段的区别:‎ ‎(1) 。‎ ‎(2) 。 ‎ ‎4、零向量、单位向量概念:‎ ‎① 叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.‎ 注意0与0的含义与书写区别.‎ ‎② 叫单位向量.‎ 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. ‎ ‎5、平行向量定义:‎ ‎① 叫平行向量;②我们规定0与 平行.‎ 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.‎ ‎6、相等向量定义: 叫相等向量。‎ 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;‎ ‎(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.‎ ‎7、共线向量与平行向量关系:‎ 平行向量就是共线向量,这是因为 (与有向线段的起点无关).‎ 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.‎ 三、理解和巩固:‎ ‎ 例1 书本86页例1.‎ 例2判断:‎ ‎(1)平行向量是否一定方向相同?‎ ‎(2)不相等的向量是否一定不平行?‎ ‎(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?‎ ‎(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?‎ ‎(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?‎ ‎(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?‎ ‎(7)共线向量一定在同一直线上吗?‎ 例3下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 例4 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.‎ 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?‎ 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?‎ 变式三:与向量共线的向量有哪些?‎ 课堂练习:‎ ‎1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ‎①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上; ‎②单位向量都相等; ‎③任一向量与它的相反向量不相等; ‎④四边形ABCD是平行四边形当且仅当= ‎ ‎⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0; ‎⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.‎ ‎2.书本88页练习 课后练习与提高 ‎1.下列各量中不是向量的是( )‎ A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 ‎2.下列说法中错误的是( )‎ A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0‎ C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 ‎3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点  D.一个单位圆 ‎4.已知非零向量,若非零向量,则与必定 .‎ ‎5.已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .‎ ‎6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则 ‎ ‎ ‎