上海市宝山区2018届高三4月教学质量检测（二模）数学试题 pdf解析版 4页

上海市宝山区 2018 届高三二模数学试卷 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 设全集U  R，若集合 {0,1,2}A  ， { | 1 2}B x x    ， ()UA C B  【解析】{2} 2. 设抛物线的焦点坐标为(1,0) ，则此抛物线的标准方程为 【解析】 2 4yx 3. 某次体检，8 位同学的身高（单位：米）分别为 1.68，1.71，1.73，1.63，1.81，1.74，1.66， 1.78，则这组数据的中位数是 （米） 【解析】1.72 4. 函数 ( ) 2sin 4 cos4f x x x 的最小正周期为 【解析】 ( ) sin8f x x ，最小正周期为 4  5. 已知球的俯视图面积为 ，则该球的表面积为 【解析】 4 6. 若线性方程组的增广矩阵为 1 2 12 20 c c   的解为 1 3 x y    ，则 12cc 【解析】 1 27c x y   ， 2 22cx， 129cc 7. 在报名的 8 名男生和 5 名女生中，选取 6 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同 的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【解析】 66 13 8 1688CC 8. 设无穷数列{}na 的公比为 q ，则 2 4 5lim( )nn a a a a       ，则 q  【解析】 24 2 511012 aa q q qq        9. 若 A、 B 满足 1() 2PA ， 4() 5PB  ， 2()5P AB  ，则 ( ) ( )P AB P AB 【解析】 2 1 3 5 10 10 10. 奇函数 ()fx定义域为 R ，当 0x  时， 2 ( ) 1mf x x x   （这里 m 为正常数），若 ( ) 2f x m对一切 0x  成立，则 m 的取值范围是 【解析】 (0) 2fm，且1 2 2 2m m m     11. 如图，已知O 为矩形 1 2 3 4PP P P 内的一点，满足 1 4OP  ， 3 5OP  ， 13 7PP  ，则 24OP OP 的值为 【解析】 2 4 1 3 4 5 cos 4OP OP OP OP O         12. 将实数 x 、y 、z 中的最小值记为 min{ , , }x y z ，在锐角 60POQ  ， 1PQ  ，点 T 在 POQ 的边上或内部运动，且 min{ , , }TO TP TO TQ ，由 T 所组成的图形为 M ，设 POQ 、 M 的面积为 POQS 、 MS ，若 : ( ) 1: 2M POQ MS S S ，则 MS  【解析】取等边三角形的特殊情况， 13 3 12M POQSS 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. “ 1sin 2x  ”是“ 6x  ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【解析】B 14. 在 62()xx  的二项展开式中，常数项等于（ ） A. 160 B. 160 C. 150 D. 150 【解析】 3 3 2 6 2 ( 1) 160C      ，选 A 15. 若函数 ()fx（ xR）满足 ( 1 )fx 、 (1 )fx 均为奇函数，则下列四个结论正确的是 （ ） A. ()fx 为奇函数 B. ()fx 为偶函数 C. ( 3)fx 为奇函数 D. ( 3)fx 为偶函数 【解析】根据题意， ()fx关于点(1,0) 、 ( 1,0) 、( 3,0) 对称，选 C 16. 对于数列 12,,xx若使得 0nmx对一切 *nN 成立的 m 的最小值存在，则称该最小 值为此数列的“准最大项”，设函数 ( ) sinf x x x （ xR）及数列 12,,yy且 106yy （ 0y  R），若 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )22 n n n n n n n f y y y y f y y y         （ *nN ），则当 0 1y  时，下列结 论正确的应为（ ） A. 数列 12,,yy的“准最大项”存在，且为2 B. 数列 12,,yy的“准最大项”存在，且为3 C. 数列 12,,yy的“准最大项”存在，且为 4 D. 数列 12,,yy的“准最大项”不存在 【解析】B 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA  底面 ABCD ， 3AD  ， 4PA AB，点 E 在侧棱 PA 上，且 1AE  ， F 为侧棱 PC 的中点. （3）求三棱锥 E ABD 的体积； （4）求异面直线CE 与 DF 所成角的大小. 【解析】（1） 1 6 1 23V     （2）以 A 为原点建系， (4,3,0)C ， (0,0,1)E ， (0,3,0)D ， 3(2, ,2)2F ， ( 4, 3,1)CE    ， 3(2, ,2)2DF  3 1066cos 1066  ，即所成角为 3 1066arccos 1066 18. 设 1z  为关于 x 的方程 2 0x mx n   ， ,mnR 的虚根，i 为虚数单位. （1）当 1zi   时，求 m 、 n 的值； （2）若 1n  ，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P ，复数 24i 所对应的点为Q ，试求 ||PQ 的取值范围. 【解析】（1） 1zi，两根为i 和 i ，两根之和 0m，∴ 0m  ，两根之积 1n  （2）| 1| 1z ，点 P 轨迹为圆心为( 1,0) ，半径为 1 的圆，数形结合得范围，[4,6] 19. 某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究 表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为 ()gx（单位： 千克/年）养殖密度为 x ， 0x  （单位：尾/立方分米），当 x 不超过 4 时， ()gx的值恒为 2；当 4 20x ， ()gx是 x 的一次函数，且当 x 达到 20 时，因养殖空间受限等原因， ()gx 的值为 0. （1）当0 20x 时，求函数 ()gx的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数 ( ) ( )f x x g x 的最大值. 【解析】（1） 2 0 4 () 154 2082 x gx xx      （2）当 (0,4)x ， ( ) 2 8f x x，当 [4,20]x ， 21 5 25( ) (10)8 2 2f x x x f     最大 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22 127 23 xy的右焦点为双曲线 22 22:1xyC ab（ 0a  ， 0b  ）的右顶点，直线 2 1 0xy   与C 的一条渐近线平行. （1）求C 的方程； （2）如图， 1F 、 2F 为C 的左右焦点，动点 00( , )P x y （ 0 1y  ）在C 的右支上，且 12F PF 的平分线与 x 轴、 y 轴分别交于点 ( ,0)Mm （ 55m   ）、 N ，试比较m 与 2 的大 小，并说明理由； （3）在（2）的条件下，设过点 1F 、 N 的直线l 与C 交于 D 、 E 两点，求 2F DE 的面积最大值. 【解析】（1） 22 141 xy （2） 1 1 2 22 2 2 45 4 5 212 5 5 2(2 2 5) 1 MF PF PFm mMF PF PFm          （3）设 :5l x py，联立双曲线得 22( 4) 2 5 1 0p y py    ， 12 2 25 4 pyy p  ， 12 2 1 4yy p  ， 2 12 2 41|| 4 pyy p   ， 2 5p  ，∴ 12| | 4 6yy ∴面积最大值 12| | 4 30S c y y   21. 设 ( , ) ()kt kx tfx x  （这里的 ,,k t xR 且 0x  ） （1） (1,2) (1)f ， (2,2) ()fx， (1,3) (3)f 成等差数列，求 x 的值； （2）已知 (0,1) 1{ ( )} n f x ， *nN 是公比为 3 2 的等比数列， * 15,x x N 是否存在正整数u ，使 得 4 1xu ，且 4 5 ( 1)xu？若存在，求出u 的值，若不存在，请说明理由； （3）如果存在正常数 M ，使得||nyM 对于一切 *nN 的成立，那么称数列{}ny 有界， 已知 0a  ， m 为正偶数，数列{}nx 满足 1 0xb，且 1 ( , ) 1()n b a m n xfx  ， *nN ，证明： 数列{}nx 有界的充要条件是 1 20mab  . 【解析】（1） (1,2) (1) 3f  ， (2,2) 22() xfx x  ， (1,3) (3) 2f  ，∴ 2 2 5 42 x xx     （2） 1x  *N ， 4 5 1 1 81 16x x q x    *N ，设 1 16xk ， k  *N ， 5 81xk 4 4 1 2x u u k   ， 4 4 5 ( 1) 3 1x u u k     ，∴ 443 1 2 1k k k    ，∴ 2u  （3）略；