高三数学总复习学案65 9页

学案65　二项式定理 导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ 自主梳理 ‎1．二项式定理的有关概念 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)，这个公式叫做______________．‎ ‎①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．‎ ‎②项数：二项展开式中共有________项．‎ ‎③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式系数．‎ ‎④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________________.‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．‎ ‎(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．‎ ‎(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝______，C＋C＋C＋…＋C＝________，C＋C＋C＋…＋C＝________.‎ 自我检测 ‎1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)‎ A．80 B．‎40 ‎ C．20 D．10‎ ‎2．(2011·陕西)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)‎ A．－20 B．－‎15 ‎ C．15 D．20‎ ‎3．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是(　　)‎ A．840 B．－‎840 ‎ C．210 D．－210‎ ‎4．(2010·四川)6的展开式中的第四项是______．‎ ‎5．(2011·山东)若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．‎ ‎6．(2011·烟台期末)已知n为正偶数，且n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是__________．(用数字作答)‎ 探究点一　二项展开式及通项公式的应用 例1　已知在n的展开式中，第6项为常数项．‎ ‎(1)求n；(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项．‎ 变式迁移1　(2010·湖北)在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．‎ 探究点二　二项式系数的性质及其应用 例2　(1)求证：C＋‎2C＋‎3C＋…＋nC＝n·2n－1；‎ ‎(2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数．‎ 变式迁移2　(2011·上海卢湾区质量调研)求C＋C＋…＋C＋…＋C的值．‎ 探究点三　求系数最大项 例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.‎ ‎(1)求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项．‎ 变式迁移3　(1)在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于(　　)‎ A．13,14 B．14,15‎ C．12,13 D．11,12,13‎ ‎(2)已知n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；‎ ‎(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ ‎1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx)n (a，b∈R)的展开式中，第r＋1项的二项式系数是C，而第r＋1项的系数为Can－rbr.‎ ‎2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项．‎ ‎3．在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，得C＋C＋…＋C＝2n；令a＝1，b＝－1，得C－C＋C－C＋…＝0，∴C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．‎ ‎4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．‎ ‎5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·山东实验中学模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)‎ A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 ‎2．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎3．(2011·黄山期末)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)‎ A．－7 B．‎7 ‎ C．－28 D．28‎ ‎4．(2010·烟台高三一模)如果n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是(　　)‎ A．7 B．－‎7 ‎ C．21 D．－21‎ ‎5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)‎ A．74 B．‎121 ‎ C．－74 D．－121‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011·湖北)(x－)18的展开式中含x15的项的系数为__________．(结果用数值表示)‎ ‎7．(2011·济南高三模拟)已知a＝(sin t＋cos t)dt，则6的展开式中的常数项为________．‎ ‎8.10的展开式中的常数项是________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(1)设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.‎ ‎①求a0＋a1＋a2＋a3＋a4；‎ ‎②求a0＋a2＋a4；‎ ‎③求a1＋a2＋a3＋a4；‎ ‎(2)求证：32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)．‎ ‎10．(12分)利用二项式定理证明对一切n∈N*，都有2≤n<3.‎ ‎11．(14分)(2011·泰安模拟)已知n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.‎ ‎(1)求展开式中各项系数的和；‎ ‎(2)求展开式中含的项； ‎ ‎(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．‎ 学案65　二项式定理 自主梳理 ‎1．(1)二项式定理　②n＋1　③C　0,1,2，…，n　④Can－kbk Can－kbk　2.(1)等距离　(2)　　‎ ‎(3)2n　2n－1　2n－1‎ 自我检测 ‎1．B　[(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝2，得x2的系数为22·C＝40.]‎ ‎2．C　[设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)r·(－2－x)6－r，即Tr＋1＝C·(－1)6－r·22rx·2rx－6x＝C·(－1)6－r·23rx－6x，∴3rx－6x＝0恒成立．∴r＝2，∴T3＝C·(－1)4＝15.∴选C.]‎ ‎3．A ‎4．－ ‎5．4‎ 解析　(x－)6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－1)r·()r·x－2r＝Cx6－3r(－1)r·()r.‎ 令6－3r＝0，得r＝2.故C()2＝60，解得a＝4.‎ ‎6．－ 课堂活动区 例1　解题导引　(1)通项Tr＋1＝Can－rbr是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第r项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C，r＝0,1,2，…，n，与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．‎ ‎(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．‎ 解　(1)通项公式为Tr＋1＝Cr ‎＝Cr，‎ 因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，‎ 即n＝10.‎ ‎(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，‎ ‎∴所求的系数为C2＝.‎ ‎(3)根据通项公式，由题意得 令＝k (k∈Z)，则10－2r＝3k，‎ 即r＝5－k，∵r∈N，∴k应为偶数．‎ ‎∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.‎ 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 C2x2，C5，C8x－2.‎ 变式迁移1　6‎ 解析　展开式的通项Tr＋1＝C·x20－r·(y)r ‎＝C·x20－r·yr·.‎ 由0≤r≤20，∈Z得r＝0,4,8,12,16,20.‎ 所以系数为有理数的项共有6项．‎ 例2　解题导引　(1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C＝C＝C，C＝C，kC＝nC等式子的变形技巧；‎ ‎(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f(x)、除式g(x)[g(x)≠0]、商式q(x)与余式的关系及余式的范围．‎ ‎(1)证明　方法一　设S＝C＋‎2C＋‎3C＋…＋(n－1)·C＋nC，①‎ ‎∴S＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋‎2C＋C ‎＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋‎2C＋C，②‎ ‎①＋②得2S＝n(C＋C＋C＋…＋C＋C)＝n·2n.‎ ‎∴S＝n·2n－1.原式得证．‎ 方法二　∵C＝· ‎＝＝C，‎ ‎∴kC＝nC.‎ ‎∴左边＝nC＋nC＋…＋nC ‎＝n(C＋C＋…＋C)＝n·2n－1＝右边．‎ ‎(2)解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1‎ ‎＝89－1＝(9－1)9－1‎ ‎＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，‎ 显然上式括号内的数是正整数．‎ 故S被9除的余数为7.‎ 变式迁移2　解　(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n.‎ 令x＝1得C＋C＋…＋C＋C＝22n；‎ 再令x＝－1得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0.‎ 两式相加，再用C＝1，‎ 得C＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1.‎ 例3　解题导引　(1)求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项[第项]的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项[第项与第项]的二项式系数相等且最大；‎ ‎(2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r 来，即得系数最大的项．‎ 解　(1)令x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，‎ 又展开式中各项的二项式系数之和为2n.‎ 由题意知，4n－2n＝992.‎ ‎∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，‎ ‎∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5.‎ 由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3＝C3(3x2)2＝90x6，‎ T4＝C2(3x2)3＝270.‎ ‎(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·．‎ 假设Tr＋1项系数最大，则有 ‎∴ ‎∴∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.‎ 变式迁移3　(1)D　[(1)分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13，所以n的值可能等于11,12,13，故选D.]‎ ‎(2)解　(ⅰ)∵C＋C＝‎2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∵n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，‎ T5的系数为C324＝70，‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数为C727＝3 432.‎ ‎(ⅱ)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．‎ 设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴∴9.4≤k≤10.4.‎ ‎∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝‎12C410x10＝16 896x10.‎ 课后练习区 ‎1．C ‎2．B　[(1＋3x)n的展开式中x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6，由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.]‎ ‎3．B　4.C　5.D ‎6．17‎ 解析　二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx18－r(－)r＝(－1)r()rC.令18－＝15，解得r＝2.‎ ‎∴含x15的项的系数为(－1)2()‎2C＝17.‎ ‎7．－ ‎8．4 351‎ 解析　10＝10‎ ‎＝C(1＋x)10＋C(1＋x)9＋C(1＋x)8＋C(1＋x)7＋C(1＋x)6＋…，‎ 从第五项C(1＋x)6起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C×C，C×C，C×C，C×C.‎ 故原三项展开式中常数项为 CC＋CC＋CC＋CC＝4 351.‎ ‎9．(1)解　①令x＝1，‎ 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.(2分)‎ ‎②令x＝－1得，‎ a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，‎ 而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，‎ 两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.(4分)‎ ‎③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，‎ 得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0‎ ‎＝16－1＝15.(6分)‎ ‎(2)证明　∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9‎ ‎＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9‎ ‎＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C·8＋C·1)－8n－9‎ ‎(8分)‎ ‎＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋9·8n＋9－8n－9‎ ‎＝9×82×(8n－2＋C·8n－3＋…＋C)＋64n ‎＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]，‎ 显然括号内是正整数，‎ ‎∴原式能被64整除．(12分)‎ ‎10．证明　因为n ‎＝C＋C·＋C·2＋C·3＋…＋C·n＝1＋1＋·＋·＋…＋·….(4分)‎ 所以2≤n ‎<2＋＋＋…＋(6分)‎ ‎<2＋＋＋…＋ ‎＝2＋＋＋…＋ ‎＝3－<3，(9分)‎ 仅当n＝1时，n＝2；‎ 当n≥2时，2