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- 2021-06-30 发布
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永安一中
2019---2020学年第一学期第二次月考
高三数学理科试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集,集合,那么=( )
A. B. C. D.
2. 下列选项中,说法正确的是( )
A.若,则
B.向量共线的充要条件是
C.命题“”的否定是“”
D.设等比数列的前项和为,则“”是“”的充要条件
3. 已知,且,则向量在方向上的投影为( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中,为其前项和,若,则( )
A.20 B.27 C.36 D.45
5.已知是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题是( )
A.若则 B.若则
C.若,则 D.若,则
6.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把图象上各点
的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),则所得图象的的一条对称轴方程为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为( )
A. B. C.D.
8.某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称药品,他先将的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;然后又将的砝码放在右盘,将药品放在左盘使之平衡,则此学生实际所得药品( )
A. 大于 B.小于 C. 大于等于 D. 小于等于
9. 已知,若,则( )
A. B. C. D.
已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知函数 其中,对于任意且,均存在唯一实数,使得,且,若有4个不相等的实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象,若函数在区间上单调递增,且的最大负零点在区间上,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷 (非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡的相应位置.
13.已知 .
14.若,,,且的最小值为9,则______.
15. 如图,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E、F分别是边AB、AC上的点,且,其中且
,若线段EF、BC的中点分别为M、N,则的最小值是 .
16.设为数列的前项和,,,则 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(本题满分12分)
如图,在平面四边形中,,,的面积为.
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)若,,求的长.
18.(本题满分12分)
设等差数列的公差为,前n项和为,
且 成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和.
19.(本题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域.
(Ⅱ)使得不等式成立,
求实数的取值范围.
20.(本题满分12分)
如图,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)当时,若直线是函数的图像的切线,求的最小值;
(Ⅱ)设函数,若在上存在极值,求的取值范围,并判断极值的正负.
22. (本题满分10分)【选修4—4 坐标系统与参数方程】
在平面直角坐标系中,曲线的方程为在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点在上,点在上,求的最小值.
23. (本题满分10分)【选修4—5 不等式选讲】
己知,函数.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)若函数,且存在使得成立,求实数 的取值范围.
参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
C
D
B
B
A
C
D
A
C
二、 填空题
13. 14. 15. 16.
17.⑴∵,,的面积为
∴
∴ .................................................................................................................3分
∴由余弦定理得
∴ .....................................................................................................................6分
⑵由(1)知中,,
∴
∵,∴ ............................................................................................8分
又∵ ,
∴在中,由正弦定理得
即,∴.....................................................................................................12分
18.(1)∵,
又
∴……………………………………………………………..2分
又成等比数列.
∴,…………………………………….3分
即,
解得,………………………………………………………..5分
∴。…………………………………………………..6分
(2)由(1)可得,………….8分
……..12分
19. (1)令,因为,所以。..................2分
当时,,单调递增;当时,,单调递减;................................................................................................................................3分
所以;
又因为,,所以;.........................................................5分
所以在上的值域为......................................................................6分
…..9分
由(1)得,
等价于
实数的取值范围是…..12分
20.(1)∵矩形和菱形所在的平面相互垂直,∴,
∵矩形菱形,∴平面,
∵平面,∴,
∵菱形中,,为的中点.∴,即,
∵,∴平面..........................................5分
(2)由(1)可知,,两两垂直,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,则,,故,,,,则,,,.......................................................7分
设平面的法向量,
则,取,得,
设平面的法向量,
则,取,得,................10分
设二面角的平面角为,则,
易知为钝角,∴二面角的余弦值为........................12分
21.解:(1)设切点坐标为设切点坐标为,
,
切线斜率,又,
∴,∴
令,......................................................................................3分
,
解得,解得,∴在上递减,在上递增.
∴,∴的最小值为................................................................5分
(Ⅱ),.
∴.
设,则.
由,得.
当时,;当时,.
∴在上单调递增,在上单调递减.
且,,.
显然.
结合函数图象可知,若在上存在极值,
则或..................................................................................................7分
(ⅰ)当,即时,
则必定,使得,且.
当变化时,,,的变化情况如下表:
-
0
+
0
-
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴当时,在上的极值为,且.
∵.
设,其中,.
∵,∴在上单调递增,,当且仅当时取等号.
∵,∴.
∴当时,在上的极值........................................9分
(ⅱ)当,即时,
则必定,使得.
易知在上单调递增,在上单调递减.
此时,在上的极大值是,且.
∴当时,在上的极值为正数...........................................................11分
综上所述:当时,在上存在极值,且极值都为正数....................12分
注:也可由,得.令后再研究在上的极值问题.若只求的范围给3分.
22. (Ⅰ)曲线C的参数方程为,...........2分
直线的极坐标方程为,即,
直线l的直角坐标方程:. …………………………………………….5分
(Ⅱ)设点的坐标为,点到直线的距离为,
由点到直线的距离公式得:
即当时,
即所求的最小值为……………………………………………10分
23. (1)当时,,
当时,由,解得;
当时,由,解得;
当时,由,解得.
综上可知,原不等式的解集为........................5分
(2).
存在使得成立,等价于.
又因为,所以,即.
解得,结合,所以实数的取值范围为..................10分
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