2020_2021学年新教材高中数学第十章概率章末整合课件新人教A版必修第二册 34页

章 末整合 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 　 求古典概型的概率   例 1 任取一个三位正整数 N , 则对数 log 2 N 是一个正整数的概率是 ( 　　 ) 解析 : 三位正整数有 100 ~ 999, 共 900 个 , 而满足 log 2 N 为正整数的 N 有 2 7 ,2 8 ,2 9 , 共 3 个 , 故所求事件的概率 为 答案 : C 专题一 专题二 专题三 专题四 例 2 如果有两组牌 , 它们的牌面数字分别为 1,2,3, 那么从每组牌中摸出一张牌 , 两张牌的牌面数字和等于 4 的概率是多少呢 ? 两张牌的牌面数字和为几时概率最大 ? 分析 解古典概型问题的关键在于选择正确的样本点 , 并能正确地数出样本点的个数 , 数样本点的个数可以通过列表、树状图、坐标系等使问题变得形象直观 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : ( 方法一 ) 如图总共有 9 种情况 , 每种情况发生的可能性相等 , 而两张牌的牌面数字和等于 4 的情况出现的最多 , 共 3 次 . 因此 , 牌面数字和等于 4 的概率最大 , 概率 为 专题一 专题二 专题三 专题四 ( 方法二 ) 利用列表的方法得到牌面的数字和等于 4 的概率最大 , 为 . 第一张牌的数字 第二张牌的数字 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 古典概型的解题方法主要有以下两种 : (1) 采取适当的方法 , 按照一定的顺序 , 把试验的所有结果一一列举出来 , 正确理解样本点与事件 A 的关系 . 应用公式 P ( A ) = 计算 概率 . (2) 若所求概率的事件比较复杂 , 可把它分解成若干个互斥的事件 , 利用概率的加法公式求解 ; 或求其对立事件 , 利用对立事件的概率求解 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 1 (2019 全国 Ⅱ 高考 ) 生物实验室有 5 只兔子 , 其中只有 3 只测量过某项指标 . 若从这 5 只兔子中随机取出 3 只 , 则恰有 2 只测量过该指标的概率为 ( 　　 ) 解析 : 设测量过该指标的 3 只兔子为 a , b , c , 剩余 2 只为 A , B , x 1 , x 2 , x 3 分别表示取出的 3 只兔子 , 则数组 ( x 1 , x 2 , x 3 ) 表示样本点 , 则该试验的样本空间 Ω= {( a , b , c ),( a , b , A ),( a , b , B ),( a , c , A ),( a , c , B ),( a , A , B ),( b , c , A ),( b , c , B ), ( c , A , B ),( b , A , B )}, 设 M= “ 恰有 2 只测量过该指标 ”, 则 M= {( a , b , A ),( a , b , B ),( a , c , A ),( a , c , B ),( b , c , A ),( b , c , B )}, 所以恰有 2 只测量过该指标的概率 为 , 故选 B . 答案 : B 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 2 (2019 天津高考 )2019 年 , 我国施行个人所得税专项附加扣除办法 , 涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除 . 某单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人 , 现采用分层随机抽样的方法 , 从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况 . (1) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人 ? (2) 抽取的 25 人中 , 享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人 , 分别记为 A , B , C , D , E , F. 享受情况如下表 , 其中 “○” 表示享受 ,“ × ” 表示不享受 . 现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访 . 专题一 专题二 专题三 专题四 项目 员工 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果 ; ② 设 M 为事件 “ 抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同 ”, 求事件 M 发生的概率 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : (1) 由已知 , 老、中、青员工人数之比为 6 ∶ 9 ∶ 10, 由于采用分层随机抽样的方法从中抽取 25 位员工 , 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人 ,9 人 ,10 人 . (2) ① 设 x 1 , x 2 分别表示抽取的 2 人 , 则数组 ( x 1 , x 2 ) 表示样本点 , 则该试验的样本空间 Ω= {( A , B ),( A , C ),( A , D ),( A , E ),( A , F ),( B , C ),( B , D ),( B , E ),( B , F ),( C , D ), ( C , E ),( C , F ),( D , E ),( D , F ),( E , F )} . ② 由表格知 , M= {( A , B ),( A , D ),( A , E ),( A , F ),( B , D ),( B , E ),( B , F ),( C , E ),( C , F ),( D , F ), ( E , F )} . 所以 , 事件 M 发生的概率 P ( M ) = . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 　 互斥事件、对立事件的判断及概率公式的应用   例 3 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅 , 记事件 A= “ 只订甲报 ”, 事件 B= “ 至少订一种报 ”, 事件 C= “ 至多订一种报 ”, 事件 D= “ 不订甲报 ”, 事件 E= “ 一种报也不订 ”, 判断下列每对事件是不是互斥事件 , 如果是 , 再判断它们是不是对立事件 . (1) A 与 C ;(2) B 与 E ;(3) B 与 D ;(4) B 与 C ;(5) C 与 E. 分析 利用互斥事件、对立事件的定义并结合具体情况 , 要先弄清楚样本空间中所有的样本点 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : (1) 由于事件 C “ 至多订一种报 ” 中有可能只订甲报 , 即事件 A 与事件 C 有可能同时发生 , 故 A 与 C 不互斥 . (2) 事件 B “ 至少订一种报 ” 与事件 E “ 一种报也不订 ” 是不可能同时发生的 , 故 B 与 E 是互斥事件 ; 由于事件 B 与事件 E 在一次试验中有且仅有一个发生 , 故 B 与 E 还是对立事件 . (3) 事件 B “ 至少订一种报 ” 中有可能只订乙报 , 即有可能不订甲报 , 即事件 B 发生时 , 事件 D 也可能发生 , 故 B 与 D 不互斥 . (4) 事件 B “ 至少订一种报 ” 中包括 “ 只订甲报 ”“ 只订乙报 ”“ 订甲、乙两种报 ”, 事件 C “ 至多订一种报 ” 中包括 “ 什么也不订 ”“ 只订甲报 ”“ 只订乙报 ” . 由于这两个事件可能同时发生 , 故 B 与 C 不互斥 . (5) 由 (4) 的分析知 , 事件 E “ 一种报也不订 ” 只是事件 C 的一种可能 , 事件 C 与事件 E 有可能同时发生 , 故 C 与 E 不互斥 . 专题一 专题二 专题三 专题四 例 4 ( 多选题 )(2020 全国高一课时练习 ) 黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表 : 已知同种血型的人可以输血 ,O 型血可以给任何一种血型的人输血 , 任何血型的人都可以给 AB 型血的人输血 , 其他不同血型的人不能互相输血 , 下列结论正确的是 ( 　　 ) A. 任找一个人 , 其血可以输给 A 型血的人的概率是 0.63 B. 任找一个人 ,B 型血的人能为其输血的概率是 0.29 C. 任找一个人 , 其血可以输给 O 型血的人的概率为 1 D. 任找一个人 , 其血可以输给 AB 型血的人的概率为 1 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0 . 28 0 . 29 0 . 08 0 . 35 专题一 专题二 专题三 专题四 解析 : 任找一个人 , 其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记为 A' , B' , C' , D' , 它们两两互斥 . 由已知 , 有 P ( A' ) = 0 . 28, P ( B' ) = 0 . 29, P ( C' ) = 0 . 08, P ( D' ) = 0 . 35 . 因为 A,O 型血可以输血给 A 型血的人 , 所以 “ 任找一个人 , 其血可以输给 A 型血的人 ” 为事件 A' ∪ D' , 根据互斥事件概率的加法公式 , 得 P ( A' ∪ D' ) =P ( A' ) +P ( D' ) = 0 . 28 + 0 . 35 = 0 . 63, 故 A 正确 ;B 型血的人能为 B,AB 型血的人输血 , 其概率为 0.29+0.08=0.37,B 错误 ; 由 O 型血只能接受 O 型血的人输血知 ,C 错误 ; 由任何血型的人都可以给 AB 型血的人输血知 ,D 正确 . 答案 : AD 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 (1) 互斥事件与对立事件的联系与区别 ① 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件 . ② 对立事件则要同时满足两个条件 : 一是不可能同时发生 ; 二是必有一个发生 . ③ 在一次试验中 , 两个互斥事件有可能都不发生 , 也可能只有一个发生 , 而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生 . ④ 对立事件一定是互斥事件 , 而互斥事件不一定是对立事件 . 专题一 专题二 专题三 专题四 (2) 互斥事件与对立事件的概率计算 ① 若事件 A 1 , A 2 , … , A n 彼此互斥 , 则 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ) =P ( A 1 ) +P ( A 2 ) + … +P ( A n ) . ( 3) 求复杂事件的概率通常有两种方法 ① 将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 . ② 先求其对立事件的概率 , 然后再应用公式 P ( A ) = 1 -P ( ) 求解 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 3 ( 多选题 )(2020 广东高二期末 ) 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2 张 , 一次任意取出 2 张卡片 , 则与事件 “2 张卡片都为红色 ” 互斥而非对立的事件是 ( 　　 ) A.2 张卡片都不是 红色 B.2 张卡片恰有一张红色 C.2 张卡片至少有一张 红色 D.2 张卡片都为绿色 解析 : 从 6 张卡片中一次取出 2 张卡片的所有情况有 “2 张都为红色 ”“2 张都为绿色 ”“2 张都为蓝色 ”“1 张红色 1 张绿色 ”“1 张红色 1 张蓝色 ”“1 张绿色 1 张蓝色 ”, 在选项给出的四个事件中与 “2 张卡片都为红色 ” 互斥而非对立的事件有 “2 张卡片都不是红色 ”“2 张卡片恰有一张红色 ”“2 张卡片都为绿色 ”, 其中 “2 张卡片至少有一张红色 ” 包含事件 “2 张卡片都为红色 ”, 二者并非互斥事件 . 答案 : ABD 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 4 现有 8 名数理化成绩优秀者 , 其中 A 1 , A 2 , A 3 数学成绩优秀 , B 1 , B 2 , B 3 物理成绩优秀 , C 1 , C 2 化学成绩优秀 , 从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名 , 组成一个小组代表学校参加竞赛 . (1) 求 C 1 被选中的概率 ; (2) 求 A 1 和 B 1 不全被选中的概率 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : (1) 从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名 , 其一切可能的结果组成的样本空间 Ω= {( A 1 , B 1 , C 1 ),( A 1 , B 1 , C 2 ),( A 1 , B 2 , C 1 ),( A 1 , B 2 , C 2 ),( A 1 , B 3 , C 1 ),( A 1 , B 3 , C 2 ),( A 2 , B 1 , C 1 ),( A 2 , B 1 , C 2 ),( A 2 , B 2 , C 1 ),( A 2 , B 3 , C 2 ),( A 2 , B 3 , C 1 ),( A 2 , B 3 , C 2 ),( A 3 , B 1 , C 1 ),( A 3 , B 1 , C 2 ),( A 3 , B 2 , C 1 ),( A 3 , B 2 , C 2 ),( A 3 , B 3 , C 1 ),( A 3 , B 3 , C 2 )} . 由 18 个样本点组成 . 由于每一个样本点被抽取的机会均等 . 因此这些样本点的发生是等可能的 . 用 M 表示 “ C 1 恰被选中 ” 这一事件 , 则 M= {( A 1 , B 1 , C 1 ),( A 1 , B 2 , C 1 ),( A 1 , B 3 , C 1 ),( A 2 , B 1 , C 1 ),( A 2 , B 2 , C 1 ),( A 2 , B 3 , C 1 ),( A 3 , B 1 , C 1 ),( A 3 , B 2 , C 1 ),( A 3 , B 3 , C 1 )} . 事件 M 由 9 个样本点组成 , 因而 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三 　 独立事件及其概率求解   例 5 如图 , 已知电路中 4 个开关闭合的概率 都是 , 且是相互独立的 , 则灯亮的概率为 ( 　　 ) 专题一 专题二 专题三 专题四 答案 : C 专题一 专题二 专题三 专题四 例 6 某企业有甲、乙两个研发小组 , 他们研发新产品成功的概率分别 为 . 现安排甲组研发新产品 A , 乙组研发新产品 B. 设甲、乙两组的研发相互独立 . 求至少有一种新产品研发成功的概率 . 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1) 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 . (2) 正面计算较繁 ( 如求用 “ 至少 ” 表述的事件的概率 ) 或难以入手时 , 可从其对立事件入手计算 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 5 (2019 全国 Ⅰ , 理 15) 甲、乙两队进行篮球决赛 , 采取七场四胜制 ( 当一队赢得四场胜利时 , 该队获胜 , 决赛结束 ) . 根据前期比赛成绩 , 甲队的主客场安排依次为 “ 主主客客主客主 ” . 设甲队主场取胜的概率为 0 . 6, 客场取胜的概率为 0 . 5, 且各场比赛结果相互独立 , 则甲队以 4 ∶ 1 获胜的概率是 　　　　　 .  解析 : 前五场中有一场客场输时 , 甲队以 4 ∶ 1 获胜的概率是 0 . 6 3 × 0 . 5 × 0 . 5 × 2 = 0 . 108; 前五场中有一场主场输时 , 甲队以 4 ∶ 1 获胜的概率是 0 . 4 × 0 . 6 × 2 × 0 . 5 2 × 0 . 6 = 0 . 072 . 综上所述 , 甲队以 4 ∶ 1 获胜的概率是 0 . 108 + 0 . 072 = 0 . 18 . 答案 : 0 . 18 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 6 (2019 全国 Ⅱ , 理 18)11 分制乒乓球比赛 , 每赢一球得 1 分 . 当某局打成 10 ∶ 10 平后 , 每球交换发球权 , 先多得 2 分的一方获胜 , 该局比赛结束 . 甲、乙两位同学进行单打比赛 , 假设甲发球时甲得分的概率为 0 . 5, 乙发球时甲得分的概率为 0 . 4, 各球的结果相互独立 . 在某局双方 10 ∶ 10 平后 , 甲先发球 , 两人又打了 X 个球该局比赛结束 . (1) 求 P ( X= 2); (2) 求事件 “ X= 4 且甲获胜 ” 的概率 . 解 : (1) X= 2 就是 10 ∶ 10 平后 , 两人又打了两个球该局比赛结束 , 则这两个球均由甲得分 , 或者均由乙得分 . 因此 P ( X= 2 ) = 0 . 5 × 0 . 4 + (1 - 0 . 5) × (1 - 0 . 4) = 0 . 5 . (2) X= 4 且甲获胜 , 就是 10 ∶ 10 平后 , 两人又打了 4 个球该局比赛结束 , 且这 4 个球的得分情况为 : 前两球是甲、乙各得 1 分 , 后两球均为甲得分 . 因此所求概率为 [0 . 5 × (1 - 0 . 4) + (1 - 0 . 5) × 0 . 4] × 0 . 5 × 0 . 4 = 0 . 1 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四 　 统计与概率的应用   例 7 中华文明 , 源远流长 ; 中华汉字 , 寓意深广 . 为了传承中华民族优秀传统文化 , 我市某中学举行 “ 汉字听写 ” 比赛 , 赛后整理参赛学生的成绩 , 将学生的成绩分为 A , B , C , D 四个等级 , 并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图 , 但均不完整 . 专题一 专题二 专题三 专题四 请你根据统计图解答下列问题 : (1) 参加比赛的学生共有多少名 ? (2) 在扇形统计图中 , m 的值为多少 ? 表示 D 等级的扇形的圆心角为多少度 ? (3) 组委会决定从本次比赛获得 A 等级的学生中 , 选出 2 名去参加全市中学生 “ 汉字听写 ” 大赛 . 已知 A 等级学生中男生有 1 名 , 请用列表法或画树状图法求出所选 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率 . 分析 (1) 根据等级为 A 的人数除以所占的百分比求出总人数 . (2) 根据 D 级的人数求得 D 等级扇形圆心角的度数 , 根据 C 等级的人数求出 m 的值 . (3) 列表得出所有等可能的情况数 , 找出一男一女的情况数 , 即可得出所求的概率 . 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 名师点析 (1) 概率和统计的交汇题在统计方面一般考查简单随机抽样和一些统计的图示 , 在概率方面一般是归结为古典概型的知识 . (2) 求解古典概型的交汇问题 , 关键是把相关的知识转化为事件 , 然后利用古典概型的有关知识解决 , 一般步骤为 : ① 将题目条件中的相关知识转化为事件 ; ② 判断事件是否为古典概型 ; ③ 选用合适的方法确定样本点个数 ; ④ 代入古典概型的概率公式求解 . 专题一 专题二 专题三 专题四 变式训练 7 (2017 北京 , 文 17) 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评 , 根据男女学生人数比例 , 使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生 , 记录他们的分数 , 将数据分成 7 组 :[20,30),[30,40),…,[80,90], 并 整理得到如下频率分布直方图 : (1) 从总体的 400 名学生中随机抽取一人 , 估计其分数小于 70 的概率 ; (2) 已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人 , 试估计总体中分数在区间 [40,50) 内的人数 ; (3) 已知样本中有一半男生的分数不小于 70, 且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等 . 试估计总体中男生和女生人数的比例 . 专题一 专题二 专题三 专题四 解 : (1) 根据频率分布直方图可知 , 样本中分数不小于 70 的频率为 (0 . 02 + 0 . 04) × 10 = 0 . 6, 所以样本中分数小于 70 的频率为 1 - 0 . 6 = 0 . 4 . 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人 , 其分数小于 70 的概率估计为 0 . 4 . (2) 根据题意 , 样本中分数不小于 50 的频率为 (0 . 01 + 0 . 02 + 0 . 04 + 0 . 02) × 10 = 0 . 9, 分数在区间 [40,50) 内的人数为 100 - 100 × 0 . 9 - 5 = 5 . 所以总体中分数在区间 [40,50) 内的人数估计为 400 × = 20 . 专题一 专题二 专题三 专题四 (3) 由题意可知 , 样本中分数不小于 70 的学生人数为 (0 . 02 + 0 . 04) × 10 × 100 = 60, 所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60 × = 30 . 所以样本中的男生人数为 30 × 2 = 60, 女生人数为 100 - 60 = 40, 男生和女生人数的比例为 60 ∶ 40 = 3 ∶ 2 . 所以根据分层随机抽样原理 , 总体中男生和女生人数的比例估计为 3 ∶ 2 .