2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第二章 函数、导数及其应用 第12节 5页

第二章 第12节 ‎1．(2020·沈阳市一模)设函数f(x)＝xex＋1，则(　　 )‎ A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：D　[由于f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，‎ 令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1，‎ 令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数 令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数 所以x＝－1为f(x)的极小值点．]‎ ‎2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)‎ A.　　　　　　 B．1‎ C．0 D．不存在 解析：A　[f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得00恒成立．‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．‎ 所以fmin(x)＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选A.]‎ ‎5．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为　________　.‎ 解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，‎ ⇒ 所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，‎ 则x＝0或x＝2.‎ 所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.‎ 答案：4‎ ‎6．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　________　.‎ 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－20，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，‎ 所以x＝1是f(x)的极大值点．‎ ‎②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.‎ 因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1－1.‎ 答案：a>－1 ‎ ‎9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ 解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，‎ 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.‎ x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，‎ 且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，‎ 无极大值．‎ ‎10．已知函数f(x)＝ln x＋.‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若函数F(x)＝f(x)＋ax在区间[2，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．‎ 解： (1)由题意可知x＞0，且f′(x)＝，‎ 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)min＝f(1)＝1.‎ ‎(2)由F′(x)＝－＋a＝，‎ 当a＝0时，F′(x)＝＞0，‎ F(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，符合题意，‎ 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋x－1，此时F(x)在[2，＋∞)上只能是单调递减，‎ 故F′(x)≤0，即ax2＋x－1≤0，a≤－，∴a≤min，解得a≤－.‎ 当a＞0时，F(x)在[2，＋∞)上只能是单调递增，‎ 故F′(x)≥0，即ax2＋x－1≥0，a≥－，‎ 得a≥－，故a＞0.‎ 综上a∈∪[0，＋∞)．‎