山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12讲第1课时导数与函数的单调性课件 48页

第二章 函数、导数及其应用 第十二讲　导数在研究函数中的应用 第一课时　导数与函数的单调性 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点　函数的单调性 (1) 设函数 y ＝ f ( x ) 在某个区间内 ________ ，若 f ′( x )______0 ，则 f ( x ) 为增函数，若 f ′( x )______0 ，则 f ( x ) 为减函数． (2) 求可导函数 f ( x ) 单调区间的步骤： ①确定 f ( x ) 的 __________ ； ②求导数 f ′( x ) ； ③令 f ′( x )______0( 或 f ′( x )______0) ，解出相应的 x 的范围； ④当 _______________ 时， f ( x ) 在相应区间上是增函数，当 _______________ 时， f ( x ) 在相应区间上是减函数． 可导 > < 定义域 > < f ′( x )>0 f ′( x )<0 导数与函数单调性的关系 (1) f ′( x )>0( 或 f ′( x )<0) 是 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递增 ( 或递减 ) 的充分不必要条件． (2) f ′( x )≥0( 或 f ′( x )≤0)( f ′( x ) 不恒等于 0) 是 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递增 ( 或递减 ) 的充要条件． ABD 题组二　走进教材 2 ． ( 选修 2 － 2P 26 T1 改编 ) 函数 f ( x ) ＝ x 3 － 6 x 2 的单调递减区间为 ( 　　 ) A ． (0,4) B ． (0.2) C ． (4 ，＋∞ ) D ． ( －∞， 0) [ 解析 ] 　 f ′( x ) ＝ 3 x 2 － 12 x ＝ 3 x ( x － 4) ，由 f ′( x )<0 ，得 0< x <4 ，所以单调递减区间为 (0,4) ．故选 A ． A 3 ． ( 选修 2 － 2P 32 BT1 改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 1 ＋ x － sin x ，则 f (2) ， f (3) ， f (π) 的大小关系正确的是 ( 　　 ) A ． f (2)> f (3)> f (π) B ． f (3)> f (2)> f (π) C ． f (2)> f (π)> f (3) D ． f (π)> f (3)> f (2) [ 解析 ] 　 f ′( x ) ＝ 1 － cos x ，当 x ∈ (0 ， π] 时， f ′( x )>0 ，所以 f ( x ) 在 (0 ， π] 上是增函数，所以 f (π)> f (3)> f (2) ．故选 D ． D 4 ． ( 选修 2 － 2P 31 AT3 改编 ) 已知函数 y ＝ f ( x ) 在定义域 ( － 3,6) 内可导，其图象如图，其导函数为 y ＝ f ′ ( x ) ，则不等式 f ′ ( x ) ≤ 0 的解集为 ______________. 　 [ 解析 ] 　 f ′( x )≤0 ，即 y ＝ f ( x ) 递减，故 f ′( x ) ≤ 0 ，解集为 [ － 1,2] ∪ [4,6) ． [ － 1,2]∪[4,6) 题组三　考题再现 5 ． (2017 · 浙江， 4 分 ) 函数 y ＝ f ( x ) 的导函数 y ＝ f ′( x ) 的图象如图所示，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象可能是 ( 　　 ) D [ 解析 ] 　 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数 f ( x ) 在这些零点处取得极值，排除 A ， B ；记导函数 f ′( x ) 的零点从左到右分别为 x 1 ， x 2 ， x 3 ，又在 ( －∞， x 1 ) 上 f ′( x )<0 ，在 ( x 1 ， x 2 ) 上 f ′( x )>0 ，所以函数 f ( x ) 在 ( －∞， x 1 ) 上单调递减，排除 C ，选 D ． C 考点突破 • 互动探究 考点　函数的单调性 考向 1 　不含参数的函数的单调性 —— 自主练透 B 例 1 (2) 已知 e 为自然对数的底数，则函数 y ＝ e x ＋ x 2 － x 的单调递增区间是 ( 　　 ) A ． [0 ，＋∞ ) B ． ( －∞， 0] C ． [1 ，＋∞ ) D ． ( －∞， 1] A AC 用导数 f ′( x ) 确定函数 f ( x ) 单调区间的三种类型及方法： (1) 当不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0 可解时，根据函数的定义域，解不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0 求出单调区间． (2) 当方程 f ′( x ) ＝ 0 可解时，根据函数的定义域，解方程 f ′( x ) ＝ 0 ，求出实数根，把函数 f ( x ) 的间断点 ( 即 f ( x ) 的无定义点 ) 的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定 f ′( x ) 在各个区间内的符号，从而确定单调区间． (3) 当不等式 f ′( x )>0 或 f ′( x )<0 及方程 f ′( x ) ＝ 0 均不可解时，对 f ′( x ) 化简，根据 f ′( x ) 的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定 f ′( x ) 的符号，得单调区间． 例 2 考向 2 　含参数的函数的单调性 —— 师生共研 (1) 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论． (2) 划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点． (3) 个别导数为 0 的点不影响在区间的单调性，如 f ( x ) ＝ x 3 ， f ′( x ) ＝ 3 x 2 ≥ 0( f ′( x ) ＝ 0 在 x ＝ 0 时取到 ) ， f ( x ) 在 R 上是增函数． 考向 3 　利用导数解决函数的单调性的应用问题 —— 多维探究 角度 1 　比较大小 例 3 A D 例 4 角度 2 　解不等式 若函数 f ( x ) ＝ kx － ln x 在区间 (1 ，＋∞ ) 上单调递增，则 k 的取值范围是 ( 　　 ) A ． ( －∞，－ 2] B ． ( －∞，－ 1] C ． [2 ，＋∞ ) D ． [1 ，＋∞ ) [ 分析 ] 　 利用函数 f ( x ) ＝ kx － ln x 在区间 (1 ，＋∞ ) 上单调递增等价于 f ′( x )≥0 在 (1 ，＋∞ ) 恒成立求解．或利用区间 (1 ，＋∞ ) 是 f ( x ) 的增区间的子集求解． 角度 3 　已知函数的单调性求参数取值范围 D 例 5 [ 引申 ] 本例中 (1) 若 f ( x ) 的增区间为 (1 ，＋∞ ) ，则 k ＝ ______ ； (2) 若 f ( x ) 在 (1 ，＋∞ ) 上递减，则 k 的取值范围是 ________________ ； (3) 若 f ( x ) 在 (1 ，＋∞ ) 上不单调，则 k 的取值范围是 ______________ ； (4) 若 f ( x ) 在 (1 ，＋∞ ) 上存在减区间，则 k 的取值范围是 ________________ ； (5) 若 f ( x ) 在 (1,2) 上单调，则 k 的取值范围是 __________ __ ___________. 1 ( －∞， 0] (0,1) ( －∞， 1) 已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法 (1) 利用集合间的包含关系处理： y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调，则区间 ( a ， b ) 是相应单调区间的子集． (2) 转化为不等式的恒成立问题：利用 “ 若函数单调递增，则 f ′( x ) ≥ 0 ；若函数 f ( x ) 单调递减，则 f ′( x ) ≤ 0 ” 来求解． 提醒： f ( x ) 为增函数的充要条件是对任意的 x ∈( a ， b ) 都有 f ′( x )≥0 且在 ( a ， b ) 内的任一非空子区间上 f ′( x ) 不恒等于 0. 应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． A A C 名师讲坛 • 素养提升 (1) 若函数 f ( x ) 的定义域为 R ，且满足 f (2) ＝ 2 ， f ′( x )>1 ，则不等式 f ( x ) － x >0 的解集为 ________________. (2) 设函数 f ′( x ) 是奇函数 f ( x )( x ∈ R ) 的导函数， f ( － 1) ＝ 0 ，当 x >0 时， xf ′( x ) － f ( x )<0 ，则使得 f ( x )>0 成立的 x 的取值范围是 ( 　　 ) A ． ( －∞，－ 1)∪(0,1) B ． ( － 1,0)∪(1 ，＋∞ ) C ． ( －∞，－ 1)∪( － 1,0) D ． (0,1)∪(1 ，＋∞ ) 构造法在导数中的应用 (2 ，＋∞ ) 例 6 A (1) 若知 xf ′( x ) ＋ f ( x ) 的符号，则构造函数 g ( x ) ＝ xf ( x ) ； 一般地，若知 xf ′( x ) ＋ nf ( x ) 的符号，则构造函数 g ( x ) ＝ x n f ( x ) ． 〔 变式训练 3〕 (1) (2020 · 云南玉溪一中月考 ) 设 f ( x ) 、 g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x <0 时， f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) · g ′( x )>0 ，且 g ( － 3) ＝ 0 ，则不等式 f ( x ) g ( x )<0 的解集是 ( 　　 ) A ． ( － 3,0)∪(3 ，＋∞ ) B ． ( － 3,0)∪(0,3) C ． ( －∞，－ 3)∪(3 ，＋∞ ) D ． ( －∞，－ 3)∪(0,3) D B