2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲一次函数反比例函数及二次函数课件 33页

第 8 讲　一次函数、反比例函数及二次函数 课标要求 考情风向标 1. 学会运用函数图象理解和研 究函数的性质 . 2. 结合二次函数的图象，判断一 元二次方程根的存在性及根的 个数，从而了解函数的零点与 方程根的联系 本节复习时，应从“数”与 “ 形”两个角度来把握二次函 数的图象和性质，重点解决二 次函数在闭区间上的最值问 题，此类问题经常与其他知识 结合命题，应注重分类讨论思 想与数形结合思想的综合应用 1. 一次函数 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) ， 当 k >0 时，在实数集 R 上是增函数； 当 k <0 时，在实数集 R 上是减函数 . 2. 反比例函数 当 k >0 时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 当 k <0 时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数. 3. 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式： f ( x )＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0). (2)顶点式： f ( x )＝_____________________，顶点为( h ， k ). (3) 两根式： f ( x ) ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0) ， x 1 ， x 2 为二次函数 图象与 x 轴的两个交点的横坐标. a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠ 0) 解析式 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ＞ 0) f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ＜ 0) 图象 开口 向上 向下 顶点 对称性 定义域 ( －∞，＋∞ ) 4. 二次函数的图象及性质 ( 续表 ) 1. 若二次函数 f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ＋ 3 ，则 f ( x ) 在 [0,1] 上的值域为 ________ ，在 [0,3] 上的值域为 __________. [0,3] [ － 1,3] 解析： ∵ 函数图象的对称轴方程为 x ＝－ － 4 2 ＝ 2 ， ∴ f ( x ) 在 [0,1] 上单调递减，最大值为 f (0) ＝ 3 ，最小值为 f (1) ＝ 1 － 4 ＋ 3 ＝ 0 ，值域为 [0,3]. 当 x ∈[0,3] 时， f ( x ) 在 [0,2] 上单调递减，在 [2,3] 上单调递增，最大值 f (0) ＝ 3 ，最小值为 f (2) ＝ 2 2 － 4×2 ＋ 3 ＝ － 1 ，值域为 [ － 1,3]. B 3. (2019 年河南信阳模拟 ) 函数 y ＝－ 2 x 2 － 4 ax ＋ 3 在区间 [ － 4 ，－ 2] 上是单调函数，则 a 的取值范围是 ( 　　 ) C A.( － ∞ ， 1] C.( － ∞ ， 2]∪[4 ，＋ ∞ ) B.[4 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ， 1]∪[2 ，＋ ∞ ) 解析： 函数 y ＝－ 2 x 2 － 4 ax ＋ 3 的图象的对称轴为 x ＝－ a ， 由题意可得－ a ≤ － 4 或－ a ≥ － 2 ，解得 a ≤ 2 或 a ≥ 4 ，故选 C. 取值范围是 ___________. 4. (2017 年北京 ) 已知 x ≥ 0 ， y ≥ 0 ，且 x ＋ y ＝ 1 ，则 x 2 ＋ y 2 的 考点 1 二次函数的图象及应用 A B C D 答案： A (2) 设 abc ＞ 0 ，二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象可能是 ( ) A B C D 答案： D (3) ( 多选 ) 图 281 是二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 图象的一部分， 图象过点 A (－3,0)，对称轴为 x ＝－1.给出下面四个结论，其中 正确的是 ( ) 图 2-8-1 A. b 2 >4 ac C. a － b ＋ c ＝ 0 B.2 a － b ＝ 1 D.5 a < b 解析： ∵ 图象与 x 轴交于两点， ∴ b 2 － 4 ac >0 ，即 b 2 >4 ac ， A 正确 . 结合图象，当 x ＝－ 1 时， y >0 ，即 a － b ＋ c >0 ， C 错误 . 由对称轴为 x ＝－ 1 知， b ＝ 2 a . 又函数图象开口向下， ∴ a <0 ，∴ 5 a <2 a ，即 5 a < b ， D 正确 . 答案： AD 考点 2 含参数问题的讨论 考向 1 区间固定对称轴动型 答案： D (2) 已知函数 f ( x ) ＝ 4 x 2 － 4 ax ＋ a 2 － 2 a ＋ 2 在闭区间 [0,2] 上 的最小值为 3，则实数 a 的取值集合为_________. 【 规律方法 】 “ 区间固定对称 轴动 ”以及“对称轴固定区 间动” 是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应该引起 同学们足够的重视 . 本例 (1) 中的二次函数是区间 [0,1] 固定，对称 考向 2 对称轴固定区间动型 例 3 ： 已知二次函数 f ( x )＝ x 2 －16 x ＋ q ＋3. (1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数 q 的取值范围； (2)问是否存在常数 t ( t ≥ 0)，当 x ∈[ t, 10]时， f ( x )的值域为区 间 D ，且区间 D 的长度为 12－ t (视区间[ a ， b ]的长度为 b － a )， 若存在，求出所有满足条件的 t ，若不存在，说明理由. 【规律方法】 本例中的二次函数是 “ 对称轴固定区间动 ” ， 即对称轴 x ＝ 8 固定，而区间 [ t, 10] 不固定，因此需要讨论该区间 相对于对称轴的位置关系，即分 0 ≤ t ≤ 6,6 ＜ t ≤ 8 及 8 ＜ t ＜ 10 三种情况讨论 . 【跟踪训练】 1. 已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 4 x 在区间 [ m ， n ] 上的值域是 [ － 5,4] ， 则 m ＋ n 的取值范围是 ( ) A A.[1,7] B.[1,6] C.[ － 1,1] D.[0,6] 解析： ∵ f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 4 x ＝－ ( x － 2) 2 ＋ 4 ， ∴ f (2)＝4. 又由 f ( x )＝－5，得 x ＝－1 或 5. 由 f ( x )的图象知，－1 ≤ m ≤ 2，2 ≤ n ≤ 5. 因此 1 ≤ m ＋ n ≤ 7. 思想与方法 ⊙ 运用分类讨论的思想探讨不等式恒成立问题 【规律方法】 不等式恒成立问题： ①对于 f ( x ) ≥ 0 在区间 [ a ， b ] 上恒成立的问题，一般等价转 化为 f ( x ) min ≥ 0 ， x ∈ [ a ， b ] ； ②对于 f ( x ) ≤ 0 在区间 [ a ， b ] 上恒成立的问题，一般等价转 化为 f ( x ) max ≤ 0 ， x ∈ [ a ， b ] ； ③若 f ( x ) 含有参数，则要对参数进行讨论或分离参数 . 特别地： 【 跟踪训练 】 答案： D 1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般 规律 . (1) 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函 数的图象数形结合来解，一般从“ ① 开口方向； ② 对称轴的位 置； ③ 判别式； ④ 端点函数值符号”四个方面分析 . (2) 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二 次函数的图象和性质求解 . 2. 与恒成立有关的问题要注意二次项系数为零的特殊情形 . 对于函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠0 ，当题目条件中未说明 a ≠0 时，就要讨论 a ＝ 0 和 a ≠0 两 种情况 .