2013泉州5月份质检文数试卷 14页

泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测 文　科　数　学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． ‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式： ‎ 样本数据、、…、的标准差：‎ ‎，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为 A．　　 B．‎ C． D．‎ ‎3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是 A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 　D．‎ ‎4．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的值为，则输入的值为 A． B． C． D．‎ ‎5．若，，且构成等比数列，则 A．有最小值4 B．有最小值4‎ C．无最小值 D．有最小值2‎ ‎6．圆在点处的切线方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是 A． B． C． D．‎ ‎8．设，那么“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．若双曲线的一个焦点在直线上，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只须把的图象 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎ ‎11．已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，．若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为 A．或 B．或 C．或 D．‎ ‎12．如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P，以为球心，为半径作一个球.设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知向量，，若，则实数等于 ．‎ ‎14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，300以上为严重污染．‎2013年5月1日出版的《A市早报》报道了A市2013年4月份中30天的AQI统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A市该月环境空气质量优良的总天数为 ．‎ ‎15．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为 ．‎ ‎16．对于个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一．‎ 将个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为，并设其中最大的数为.‎ 两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：‎ ‎①和必相等； ②和可能相等；‎ ‎③可能大于； ④可能大于．‎ 以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．‎ 在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为、、，未达到优秀水平的事件分别为、、．‎ ‎（Ⅰ）若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平” 记为，试求事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件，使得事件发生的概率大于，并说明理由．‎ ‎18．已知外接圆的半径为，且．‎ ‎（Ⅰ）求边的长及角的大小；‎ ‎（Ⅱ）从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，试判断的形状．‎ ‎19．在数列和等比数列中，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列及的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎20．已知长方体中，底面为正方形，面，，，点在棱上，且．‎ ‎（Ⅰ）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明；‎ ‎（Ⅱ）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值．‎ ‎21．已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设：、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足（）的点，且直线的斜率为．‎ ‎①求的值；‎ ‎②若的坐标为，求实数的取值范围．‎ ‎22．定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数．‎ ‎（Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．‎ 泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测 文科数学试题参考解答及评分标准 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D ‎ 7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.‎ ‎ 13． 14． 15． 16．②③‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“，，，，，，，”，共种，………………2分 事件包含的基本事件有“，，”，共种，…4分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件发生的概率．……6分 ‎（Ⅱ）方案一：记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分 理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以．……12分 方案二：记 “该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分 理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故．………12分 ‎18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.‎ 解：（Ⅰ）依题意，………………2分 得，又，故，…4分 又为等腰三角形， ‎ 故， …………5分 而或．………………6分 ‎（Ⅱ）依题意，从圆内随机取一个点，取自内的概率，‎ 可得．………………8分 设，.‎ 设，由，得， ……① ‎ 由，得， ……②‎ 联立①②得,这是不可能的. 所以必有. …………9分 由，得， ……①‎ 由，得， …②………11分 联立①② 解得.‎ 所以为等边三角形．………………12分 ‎19．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.‎ 解法一：（Ⅰ）依题意，，………………2分 设数列的公比为，由，可知，………3分 由，得，又，则，………4分 故，………5分 又由，得．………………6分 ‎（Ⅱ）依题意．………………7分 ‎ ， ①‎ 则 ②……9分 ‎①-②得，‎ ‎…………11分 即，故．………………12分 解法二：（Ⅰ）依题意为等比数列，则（常数），‎ 由，可知，………………2分 由，‎ 得（常数），故为等差数列，…………4分 设的公差为，由，，得，‎ 故．…………6分 ‎（Ⅱ）同解法一．‎ ‎20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）取的四等分点，使得，则有平面. 证明如下：………1分 因为且，‎ 所以四边形为平行四边形，则，………2分 因为平面，平面，所以平面．………4分 ‎（Ⅱ）因为,所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．………………6分 因为，面，所以面， ………………7分 故．………………8分 所以当的长度取最小值时，的长度最小，此时点为线段和四分之一圆弧的交点，………………10分 即，‎ 所以．‎ 即长度的最小值为．………………12分 ‎21．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为（），………………1分 由，，得，‎ 由，可得，………………3分 故椭圆的方程为．………………4分 ‎（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得，………………5分 由，且存在，得，‎ 则.………………6分 ‎∵，在椭圆上，∴，，………7分 两式相减得，，‎ ‎∴．………………8分 ‎②若的坐标为，则，由①可得.‎ 设直线（），‎ 由得，…………9分 所以.‎ ‎∵，∴，. …………10分 又由，解得，………………11分 ‎∴且．………………12分 解法二：①设直线（），‎ 若，则 由满足（，），得，‎ ‎∵直线的斜率存在，∴. ………5分 由得……(*).……………6分 ‎∵、，∴. ………7分 ‎∵，满足，‎ ‎∴直线的斜率，‎ ‎ 经化简得. ………9分 ‎②若的坐标为，则，由①可得. ………10分 ‎∴方程(*)可化为，‎ ‎ 下同解法一.‎ ‎22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分.‎ 解：（Ⅰ）函数不是其定义域上的梦想函数．………………1分 理由如下：‎ 定义域，，………………2分 存在，使，故函数不是其定义域上的梦想函数．……4分 ‎（Ⅱ），，若函数在上为梦想函数，‎ 则在上恒成立，………………5分 即在上恒成立，‎ 因为在内的值域为，………………7分 所以．………………8分 ‎（Ⅲ），由题意在恒成立，‎ 故，即在上恒成立．‎ ‎①当时，显然成立；……………9分 ‎②当时，由可得对任意恒成立.‎ 令，则，…10分 令，‎ 则． ‎ 当时，因为，所以在单调递减；‎ 当时，因为，所以在单调递增．‎ ‎∵，，‎ ‎∴当时，的值均为负数.‎ ‎∵，，‎ ‎∴当时， ‎ 有且只有一个零点，且. ……………11分 ‎∴当时，，所以，可得在单调递减；‎ 当时，，所以，可得在单调递增．‎ 则．…………12分 因为，所以，‎ ‎．…………13分 ‎∵在单调递增，，，‎ ‎∴，‎ 所以，即．‎ 又因为，所以的最大整数值为．…………14分