2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版） 9页

‎2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．已知集合A=xx‎2‎‎-2x>0‎,B=‎x‎-20‎在一个周期内的图像如图所示，其中P,Q分别是这段图像的最高点和最低点，M,N是图像与x轴的交点，且‎∠PMQ=‎‎90‎‎0‎，则A的值为 A． ‎2‎ B． ‎1‎ C． ‎3‎ D． ‎‎2‎ ‎9．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，‎∠BAD=‎‎120‎‎∘‎，AB=AD=1‎. 若点E为边CD上的动点，则AE‎·‎BE的最小值为 ‎ A． ‎25‎‎16‎ B． ‎3‎‎2‎ C． ‎21‎‎16‎ D． ‎‎3‎ ‎10．设‎{an}‎是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K‎5‎‎<‎K‎6‎，K‎6‎‎=K‎7‎>‎K‎8‎，则下列结论错误的是 A． ‎0‎K‎5‎ D． K‎6‎与K‎7‎均为Kn的最大值 ‎11．正ΔABC边长为2，点P是ΔABC所在平面内一点，且满足BP=‎‎3‎‎2‎，若AP‎=λAB+μAC，则λ+μ的最小值是 A． ‎1‎‎2‎ B． ‎5‎‎2‎ C． ‎2‎ D． ‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎12．设函数f'(x)‎是奇函数f(x)(x∈R)‎的导函数，当x>0‎时，lnx⋅f'(x)<-‎1‎xf(x)‎，则使得‎(x‎2‎-4)f(x)>0‎成立的x的取值范围是 A． ‎(-2,0)∪(0,2)‎ B． ‎(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ ‎ C． ‎(-2,0)∪(2,+∞)‎ D． ‎‎(-∞,-2)∪(0,2)‎ 二、填空题 ‎13．已知向量a‎=(1,2),b=(m,-1)‎，若a‎//(a+b)‎，则a‎⋅b=‎__________．‎ ‎14．已知， ，则__________．‎ ‎15．由曲线y=‎‎1‎x，y‎2‎‎=x与直线x=2‎，y=0‎所围成图形的面积为________．‎ ‎16．在ΔABC中，D为BC的中点，AC=2‎3‎,AD=‎7‎,CD=1‎，点P与点B在直线AC的异侧，且PB=BC，则平面四边形ADCP的面积的最大值为_______.‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列an的前nn∈‎N‎*‎项和为Sn，数列bn是等比数列，a‎1‎‎=3‎，b‎1‎‎=1‎，b‎2‎‎+S‎2‎=10‎，a‎5‎‎-2b‎2‎=‎a‎3‎．‎ ‎（1）求数列an和bn的通项公式；‎ ‎（2）若cn‎=‎‎2‎Sn，设数列cn的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前‎7‎天参加抽奖活动的人数进行统计，y表示第x天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎5‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎17‎ ‎（1）经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y‎=bx+‎a；‎ ‎（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为‎1‎‎6‎，获得“二等奖”的概率为‎1‎‎3‎．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X的分布列及数学期望．‎ 参考公式：b‎=‎i=1‎nxiyi‎-nxyi=1‎nxi‎2‎‎-nx‎2‎，a‎=y-‎bx，i=1‎‎7‎xiyi‎=364‎，i=1‎‎7‎xi‎2‎‎=140‎．‎ ‎19．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=2‎，‎∠ABC=60°‎，平面ACEF⊥‎平面ABCD，四边形ACEF是菱形，‎∠CAF=60°‎．‎ ‎（1）求证：BF⊥AE；‎ ‎（2）求二面角B-EF-D的平面角的正切值．‎ ‎20．已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的离心率为‎1‎‎2‎，且点P‎1，‎‎3‎‎2‎在椭圆E上．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过点M‎1，1‎任作一条直线l，l与椭圆E交于不同于P点的A，B两点，l与直线m:3x+4y-12=0‎交于C点，记直线PA、PB、PC的斜率分别为k‎1‎、k‎2‎、k‎3‎．试探究k‎1‎‎+‎k‎2‎与k‎3‎的关系，并证明你的结论．‎ ‎21．已知函数fx=lnx+ax-x+1-aa∈R.‎ ‎(1)求函数fx的单调区间；‎ ‎(2)若存在x>1‎，使fx+x<‎‎1-xx成立，求整数a的最小值.‎ ‎22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为‎2ρsinθ+‎π‎6‎-3=0‎，曲线C的参数方程是x=2cosφy=2sinφ（φ为参数）．‎ ‎（1）求直线l和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求PA‎+‎PB．‎ ‎23．已知函数fx=x+m+‎‎2x-1‎．‎ ‎（1）当m=-1‎时，求不等式fx≤2‎的解集；‎ ‎（2）若fx≤‎‎2x+1‎在x∈‎‎1，2‎上恒成立，求m的取值范围．‎ ‎2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.‎ ‎【详解】‎ 求解一元二次不等式x‎2‎‎-2x>0‎可得A=‎x|x>2或x<0‎，‎ 据此可知A∩B=x|-20‎，所以排除D,故答案为：B.‎ 点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.‎ ‎6．A ‎【解析】‎ 由题意，数列an为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，a‎3‎‎+a‎5‎+a‎7‎=3a‎5‎=12‎，则a‎5‎‎=4‎，所以a‎1‎‎+a‎9‎=2a‎5‎=8‎.故选A.‎ ‎7．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先通过题意计算出sinα-β以及cosα+β的值，‎ 再通过sin2α=sinα-β+α+β解得sin2α的值。‎ ‎【详解】‎ 因为π‎2‎‎<β<α<‎3‎‎4‎π，cosα-β=‎‎12‎‎13‎，‎sinα+β=-‎3‎‎5‎，‎ 所以sinα-β=‎5‎‎13‎，cosα+β=-‎4‎‎5‎，‎ sinα-β+α+β=sinα-βcosα+β+cosα-βsinα+β ‎ ‎‎=‎5‎‎13‎×‎-‎‎4‎‎5‎+‎12‎‎13‎×‎-‎‎3‎‎5‎=-‎56‎‎65‎，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 在计算三角函数的时候，对于公式的灵活运用十分重要，比如说sin2α即可化简成sinα-β+α+β的值。‎ ‎8．C ‎【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，求出函数的周期，利用三角函数的图像和性质即可得到相应的结论.‎ 详解：过Q,P分别作x轴的垂线，垂足为B,C，‎ 因为函数的周期为T=‎2ππ‎2‎=4‎，所以MN=2,CN=1‎，‎ 因为‎∠PMQ=90°‎，所以PQ=2MN=4‎，即PN=2‎，‎ 则PC=PN‎2‎-NC‎2‎=‎4-1‎=‎‎3‎，即A=‎‎3‎，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的问题，在解题的过程中，需要关注题的条件，找出对应的线段的长度，利用直角三角形的特征，列出相应的等量关系式，求得结果.‎ ‎9．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，选取AB‎,‎AD为基底，设DE‎=λDC,即可表示出AE‎,‎BE，利用向量的数量积公式得到关于λ的函数，求其最值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知,RTΔADC≅RTΔABC,所以‎∠DAC=∠BAC=60°,AC=2,DC=‎‎3‎ ‎ 设DE‎=λDC, 因为AE‎=AD+DE,BE=BA+AD+‎DE，‎ 所以AE‎⋅BE=(AD+DE)⋅BE=‎ ‎ ‎(AD+λDC)⋅(BA+AD+DE)=1×1×cos‎60‎‎∘‎+‎1‎‎2‎+λDC⋅BA+λ‎2‎|‎DC‎|‎‎2‎‎ ‎ ‎=‎3‎‎2‎+λ（AC-AD)⋅BA+3‎λ‎2‎ ‎=‎3‎‎2‎+λ(2×1×cos120°-1×1×cos60°)+3λ‎2‎=‎3‎‎2‎-‎3‎‎2‎λ+3‎λ‎2‎‎ ‎ ‎ ‎=‎1‎‎2‎（6λ‎2‎-3λ+3）‎ ‎‎（0≤λ≤1）‎ 所以当λ=‎‎1‎‎4‎时，AE‎⋅‎BE有最小值‎21‎‎16‎,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算，属于难题，解题关键是根据平面几何的得出线段的长及两边的夹角.‎ ‎10．C ‎【解析】分析：利用等比数列an‎=‎a‎1‎qn-1‎的通项公式，解出Kn的通项公式，化简整理K‎5‎‎<‎K‎6‎，K‎6‎‎=K‎7‎>‎K‎8‎这三个表达式，得出结论。‎ 详解：设等比数列an‎=‎a‎1‎qn-1‎，Kn是其前n项的积所以Kn‎=‎a‎1‎nqn(n-1)‎‎2‎，由此 K‎5‎‎K‎8‎⇒1>‎a‎1‎q‎7‎ 所以a‎7‎‎=a‎1‎q‎6‎=1‎，所以B正确，‎ 由‎10‎，可得gx在‎0,+∞‎上为减函数，可得在区间‎0,1‎和‎1,+∞‎上，都有fx<0‎，结合函数的奇偶性可得在区间‎-1,0‎和‎-∞,-1‎上，都有fx>0‎，原不等式等价于x‎2‎‎-4>0‎fx>0‎或x‎2‎‎-4<0‎fx<0‎，解可得x的取值范围，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设gx=lnx⋅fx,‎x>0‎，‎ 其导数g'x=lnx'fx+lnxf'x=‎1‎xfx+lnxf'‎x，‎ 又由当x>0‎时，lnx⋅f'x<-‎1‎xfx，‎ 则有g'x=‎1‎xfx+lnx⋅f'x<0‎，‎ 即函数gx在‎0,+∞‎上为减函数，‎ 又由g‎1‎=ln1⋅f‎1‎=0‎，‎ 则在区间‎0,1‎上，gx=lnx⋅fx>0‎，‎ 又由lnx<0‎，则fx<0‎，‎ 在区间‎1,+∞‎上，gx=lnx⋅fx<0‎，‎ 又由lnx>0‎，则fx<0‎，‎ 则fx在‎0,1‎和‎1,+∞‎上，fx<0‎，‎ 又由fx为奇函数，则在区间‎-1,0‎和‎-∞,-1‎上，都有fx>0‎，‎ x‎2‎‎-1‎fx>0⇔‎x‎2‎‎-4>0‎fx>0‎或x‎2‎‎-4<0‎fx<0‎，‎ 解可得x<-2‎或‎0b>0‎的离心率为‎1‎‎2‎，‎ 所以e=ca=‎1‎‎2‎⇒a=2c， ‎ 因为a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，所以b=‎3‎c．故可设椭圆E的方程为：x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1‎，‎ 因为点P‎1，‎‎3‎‎2‎在椭圆E上，‎ 所以将其代入椭圆E的方程得‎1‎‎4‎c‎2‎‎+‎9‎‎4‎‎3‎c‎2‎=1⇒c‎2‎=1‎．‎ 所以椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎． ‎ ‎（2）依题意，直线l不可能与x轴垂直，故可设直线l的方程为：y-1=kx-1‎， ‎ 即y=kx-k+1‎，Ax‎1‎‎，‎y‎1‎，Bx‎2‎‎，‎y‎2‎为l与椭圆E的两个交点．‎ 将y=kx-k+1‎代入方程‎3x‎2‎+4y‎2‎-12=0‎化简得：‎ ‎4k‎2‎+3‎x‎2‎‎-8k‎2‎‎-kx+4k‎2‎-8k-8=0‎‎．‎ 所以x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎8k‎2‎-8k‎4k‎2‎+3‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4k‎2‎-8k-8‎‎4k‎2‎+3‎． ‎ 所以k‎1‎‎+k‎2‎=y‎1‎‎-‎‎3‎‎2‎x‎1‎‎-1‎+y‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎x‎2‎‎-1‎=kx‎1‎‎-1‎-‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎-1‎+kx‎2‎‎-1‎-‎‎1‎‎2‎x‎2‎‎-1‎=2k-‎‎1‎‎2‎‎1‎x‎1‎‎-1‎‎+‎‎1‎x‎2‎‎-1‎ ‎=2k-‎1‎‎2‎⋅x‎1‎‎+x‎2‎-2‎x‎1‎x‎2‎‎-x‎1‎‎+‎x‎2‎+1‎=2k-‎1‎‎2‎⋅‎8k‎2‎-8k-2‎‎4k‎2‎+3‎‎4k‎2‎-8k-8-‎8k‎2‎-8k+‎‎4k‎2‎+3‎=‎‎6k-3‎‎5‎．‎ 又由y=kx-k+1‎‎3x+4y-12=0‎‎⇒3x+4kx-k+1‎-12=0‎，解得x=‎‎4k+8‎‎4k+3‎，y=‎‎9k+3‎‎4k+3‎，‎ 即C点的坐标为C‎4k+8‎‎4k+3‎‎，‎‎9k+3‎‎4k+3‎，所以k‎3‎‎=‎9k+3‎‎4k+3‎‎-‎‎3‎‎2‎‎4k+8‎‎4k+3‎‎-1‎=‎‎6k-3‎‎10‎．‎ 因此，k‎1‎‎+‎k‎2‎与k‎3‎的关系为：k‎1‎‎+k‎2‎=2‎k‎3‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题是圆锥曲线中的椭圆类题目，在解决这类题目时，需要对相关的性质有着足够的了解以及扎实的计算能力，并且能够对x‎1‎‎+‎x‎2‎与x‎1‎x‎2‎进行灵活运用。‎ ‎21．（1）当a≤0‎时，x∈(0,‎1+‎‎1-4a‎2‎)‎，f(x)‎单调递增，当x∈(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎时， f(x)‎单调递减；当‎0‎xlnx+2x-1‎x-1‎，构造新函数，g(x)=‎xlnx+2x-1‎x-1‎，求导算出零点的范围，从而求出结果 解析：（1）由题意可知，x>0‎，f‎'‎‎(x)=‎1‎x-ax‎2‎-1=‎‎-x‎2‎+x-ax‎2‎，‎ 方程‎-x‎2‎+x-a=0‎对应的Δ=1-4a，‎ 当Δ=1-4a≤0‎，即a≥‎‎1‎‎4‎时，当x∈(0,+∞)‎时，f‎'‎‎(x)≤0‎，‎ ‎∴f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递减； ‎ 当‎00‎，函数f(x)‎单调递增，‎ 在‎（0，‎1-‎‎1-4a‎2‎），(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎上f‎'‎‎(x)<0‎，函数f(x)‎单调递减；‎ 当a≤0‎时，‎1-‎‎1-4a‎2‎‎<0‎，‎1+‎‎1-4a‎2‎‎>0‎， ‎ 此时当x∈(0,‎1+‎‎1-4a‎2‎),f‎'‎(x)>0‎，f(x)‎单调递增，‎ 当x∈(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎单调递减； ‎ 综上：当a≤0‎时，x∈(0,‎1+‎‎1-4a‎2‎)‎，f(x)‎单调递增，当x∈(‎1+‎‎1-4a‎2‎,+∞)‎时， f(x)‎单调递减；‎ 当‎0xlnx+2x-1‎，‎ 即存在x>1‎，使a>‎xlnx+2x-1‎x-1‎成立．‎ 设g(x)=‎xlnx+2x-1‎x-1‎，x>1‎，‎ 则g'(x)=‎x-lnx-2‎‎(x-1)‎‎2‎， ‎ 设h(x)=x-lnx-2‎，‎ 则h‎'‎‎(x)=1-‎1‎x=x-1‎x>0‎，∴h(x)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增．‎ 又h(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,h(4)=4-ln4-2=2-2ln2>0‎，根据零点存在性定理，可知h(x)‎在‎(1,+∞)‎上有唯一零点，设该零点为x‎0‎， 则x‎0‎‎∈(3,4)‎，且h(x‎0‎)=x‎0‎-lnx‎0‎-2=0‎，即x‎0‎‎-2=lnx‎0‎，‎ ‎∴g‎(x)‎min=x‎0‎lnx‎0‎+2x‎0‎-1‎x‎0‎‎-1‎=x‎0‎+1‎ ‎ 由题意可知a>x‎0‎+1‎，又x‎0‎‎∈(3,4)‎，a∈Z，∴a的最小值为‎5‎.‎ 点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果。‎ ‎22．（1）x+‎3‎y-3=0‎，x‎2‎‎+y‎2‎=4‎；（2）‎‎3‎‎3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲线C的普通方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于t的二次，PA‎+PB=t‎1‎+‎t‎2‎ ‎=t‎1‎‎+‎t‎2‎=3‎‎3‎.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）‎2ρsin(θ+π‎6‎)-3=0‎，‎ 化为‎3‎ρsinθ+ρcosθ-3=0‎，‎ 即l的普通方程为x+‎3‎y-3=0‎，‎ x=2cosφy=2sinφ消去φ，得C的普通方程为x‎2‎‎+y‎2‎=4‎.‎ ‎（Ⅱ）在x+‎3‎y-3=0‎中令y=0‎得P(3,0)‎，‎ ‎∵k=-‎‎3‎‎3‎，∴倾斜角α=‎‎5π‎6‎，‎ ‎∴l的参数方程可设为x=3+tcos‎5π‎6‎y=0+tsin‎5π‎6‎即x=3-‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎t，‎ 代入x‎2‎‎+y‎2‎=4‎得t‎2‎‎-3‎3‎t+5=0‎，Δ=7>0‎，∴方程有两解，‎ t‎1‎‎+t‎2‎=3‎‎3‎‎，t‎1‎t‎2‎‎=5>0‎，∴t‎1‎，t‎2‎同号，‎ PA‎+PB=t‎1‎+‎t‎2‎‎ ‎=t‎1‎‎+‎t‎2‎=3‎‎3‎.‎ ‎23．（1）x‎0≤x≤‎‎4‎‎3‎；（2）‎m∈‎‎-3，0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将m=-1‎带入函数fx中，再通过去绝对值将函数fx转化为分段函数，依次解出fx≤2‎的解集；‎ ‎（2）可通过x∈‎‎1，2‎将函数fx化简为fx=x+m+2x-1‎，‎ 把‎2x+1‎化简为‎2x+1‎，再通过fx≤2x+1‎解出m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当m=-1‎时，fx=x-1‎+‎‎2x-1‎，‎ ‎①x≥1‎时，fx=3x-2≤2‎，解得‎1≤x≤‎‎4‎‎3‎；‎ ‎②当‎1‎‎2‎‎